Правила работы и некоторые операции: (p,q) = (s,w)  (p,w) = (q,s); (p,q) + (s,w) = (pw + sq, qw) для запоминания можно написать (опять же на черновике), что p/q +s/w = (pw+qs)/qw

Вид материала

Лекция

Содержание Например, двоичное число вида 0,010101… является суммой ряда Конечные, счетно-бесконечные и несчетные множества чисел

Подобный материал:

• Операционный менеджмент и операционная функция Операции, 231.15kb.
• Учебник мнемотехники Система запоминания «Джордано», 2018.61kb.
• Учебник мнемотехники Система запоминания «Джордано», 2096.95kb.
• Как написать сочинение Для тех, кому совсем худо… (несколько полезных советов), 52.44kb.
• Как написать и на отлично защитить дипломную работу, 113.48kb.
• И о каждом из них можно было бы написать сочинение, 191.14kb.
• Как писать синопсис научной или учебной студенческой работы, 49.03kb.
• Использование пиктограмм в коррекции нарушений развития учащихся, 133.96kb.
• Правила сетевого этикета, 172.74kb.
• Методические указания по выполнению контрольной работы по учебной дисциплине «валютные, 450.92kb.

Лекция 7.

Сведение числовых систем к натуральным числам. Равномощные множества и кардинальные числа. Парадокс Галилея и трансфинитные числа. Конечные, счетно-бесконечные и несчетные множества чисел


Сведение числовых систем к натуральным числам.

Рассмотрим некоторые примеры:

1. Целые Числа.
   

Целое число можно определить как упорядоченную пару натуральных чисел (m,n), понимая, что целое число равно m-n. При этом нельзя писать целое число таком образом.

Некоторые правила работы с целыми числами и операции над ними:

• (m,n) = (p,q)  m+q = n+p;
  
• (m,n)*(p,q) = (mp+nq, mq+np)
  

для запоминания на черновике (!) можно записать, что

(m-n)*(p-q) = mp-mq-np+nq =mp+nq-(mq+np);

• (m,n)<(p,q) <=> (m+q)< (n+p);
  
• (m,n) + (p,q) = (m+p,n+q);
  
• (m,0) = m
  
• (0,0) = 0 (нейтральный элемент сложения);
  
• (1,0) = 1 (нейтральный элемент умножения).
  

2. Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел: p/q, где q не равно 0.
   

Правила работы и некоторые операции:

• (p,q) = (s,w)  (p,w) = (q,s);
  
• (p,q) + (s,w) = (pw + sq, qw)
  

для запоминания можно написать (опять же на черновике), что

p/q +s/w = (pw+qs)/qw;

• (p,q)*(s,w) = (ps,qw);
  
• (p,q)^-1 = (q,p)
  

3. Дейстительные числа – числа, которые являются суммой сходящихся рядов.
   

Например, двоичное число вида 0,010101… является суммой ряда

(1/2)² + (1/2)⁴ + (1/2)⁶ + …

q = (1/4) lim ((1/4)* (1-(1/4)ⁿ)/(1-1/4)) 1/3 при n 

В разных системах исчисления действительные числа можно представить в виде: b₀+b₁/r +b₂/r² +…+b_n/rⁿ (это общий вид сходящегося ряда, где r – база системы исчисления).


Канторово сведение натурального числа к множеству.


Множество – это объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью;

1. Множество М¹ называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда любой элемент множества М¹ принадлежит множеству М;
   
2. Мощность или кардинальное число множества – это то общее, что объединяет его со всеми равномощными ему множествами;
   
3. Мощность пустого множества равно 0: |0|=0;
   
4. Мощность множества из одного элемента равна 1: |{a}|=1;
   
5. Единичное множество – множество, все элементы которого тождественны: |A|=|B|, если A~B;
   
6. |A|<|B|,  C: (A~C)&(C B).
   

А - подмножество В.




Например:

Пусть А = {а,b}; В = {m,n}; |A| = 2; |B| = 2;

А*В = {(a,m),(a,n),(b,m),(b,n)}; |A*B|= 4;

Операции над множествами:

• |A|+|B|=|A+B|, если A B=0;
  
• |A|*|B|=|A*B|;
  
• |A| ^|B| =|A^B|.
  

Парадокс Галилея и трансфинитные числа.

Бесконечное подмножество бесконечного множества равномощно самому множеству.

Доказательство:

: Рассмотрим множество квадратов натуральных чисел

1, 4, 9, 16, 25, 36,… Общее число членов – N₁ N. Пронумеруем это множество натуральным рядом:

1













Можно построить взаимооднозначное соответствие, доказав таким образом, что |N₁|=|N|. 


Конечные, счетно-бесконечные и несчетные множества чисел


Множества:

1. счетные:
   

• конечные - множества, содержащие конечное число элементов (не равномощны никакому своему подмножеству; их мощность – это конечное или натуральное число);
  
• счетно-бесконечные (множества, равномощные множеству натуральных чисел, т.е. множество счетно-бесконечное, если его элементы можно пронумеровать натуральными числами без пропусков и повторений);
  

2. несчетные (их мощность: 2 , 2² ,…).
   

Алеф-нуль (_–первое трансфинитное число – равно мощности множества всех натуральных чисел; Трансфинитные числа (finis – “конец”, лат.) - мощность бесконечного множества. Трансфинитные числа обозначают буквами еврейского алфавита

Свойства трансфинитных чисел:

1. ___
   
2. ___
   

Кантор создал шкалу трансфинитных чисел:

_ _, 2 2 _, …

Первые три числа (элементарные бесконечности) единственные трансфинитные числа, остальные придумывают в различных теориях. Кантор представил континуум гипотезу о том, что числа этой шкалы единственные трансфинитные числа, но он не смог ни доказать, ни опровергнуть эту теорию.