§ Множества: определение и основные свойства
Вид материала | Документы |
- Введение в математическую логику, 29.8kb.
- Для кафедр пм и к вопросы по курсу «Дискретная математика». 19. 05. 2010г, 52.29kb.
- Урок химии в 9 классе. Тема: «Оксиды азота», 68.76kb.
- Словесное задание. Перечислением элементов (для конечных множеств) Указание характеристического, 49.85kb.
- Список вопросов к экзаменационным билетам по дисциплине "Методы оптимизации" 2003 год., 40.42kb.
- Урок алгебры в 10 классе Тема: «Логарифмы, логарифмическая функция, её свойства и график», 66.6kb.
- Вопросы по структурам данных, 86.52kb.
- 1. Определение электронных приборов. Классификация электронных приборов по характеру, 163.96kb.
- Α Множество всех подмножеств данного множества называется булеаном данного множества., 83.26kb.
- Определение понятия надежность изделия. Схема структуры надежности, свойства, параметры, 24.52kb.
Глава 2. Числовые множества
§ 2.1. Множества: определение и основные свойства
М

Можно привести другое определение множества:
М

Дополнительные определения и операции над множествами
- Множество, которое не имеет ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.
- Единичное множество – множество, все элементы которого тождественны.
- Множество М1 называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда любой элемент множества М1 принадлежит множеству М.
- Множества называются равными, если они имеют одни и те же элементы.
- Подмножество М1 множества М называется собственным подмножеством множества М, если М1 является его подмножеством, но при этом существует хотя бы один элемент, принадлежащий М, но не принадлежащий М1.
- Пусть А и В – два множества. Множество М=А U В такое, что его каждый элемент принадлежит А или В (а возможно и А и В), называется суммой или объединением множеств А и В.
- Пусть А и В – два множества. Множество М=А ∩ В такое, что его каждый элемент принадлежит и А и В одновременно, называется пересечением множеств А и В.
- Пусть А и В – два множества. Множество М=А \ В такое, что оно состоит из тех элементов множества А, которых нет во множестве В, называется разностью множеств А и В, или дополнением В до А.
- Пусть А и В – два множества. Множество М=А × В такое, что оно образовано из всех пар (a, b) таких, что a принадлежит A и b принадлежит B, называется декартовым произведением множеств А и В.
Пусть А = {а,b}; В = {m,n}
Тогда А×В = {(a,m),(a,n),(b,m),(b,n)}
- Пусть А – множество. Множество М, элементами которого являются подмножества множества А, включая само А и пустое множество, называется множеством всех подмножеств множества А или булеаном А и обозначается Р(А).
Пусть А = {а,b,c}
Тогда M= Р(А)={Ø, (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c)}
- Отображением f множества А в множество В называется некое правило, по которому каждому элементу множества А ставят в соответствие элемент множества В.
- Множество всех отображений множества А в В обозначается как ВА (В в степени А).
Пусть А = {а,b,c}; В = {m,n}
Тогда ВА это набор функций fi приведенных в таблице 2.1 (1).
Таблица 2.1 (1)
A | f1(A) | f2(A) | f3(A) | f4(A) | f5(A) | f6(A) | f7(A) | f8(A) |
a | m | m | m | m | n | n | n | n |
b | m | m | n | n | m | m | n | n |
c | m | n | m | n | m | n | m | n |
Каждая такая функция задана своими значениями в каждой из трех точек области определенности.
§ 2.2. Классификация множеств
М

М

Мощность множества – это характеристика, которая объединяет данное множество с другими множествами, применение процедуры сравнения к которым дает основание предполагать, что каждый элемент одного множества имеет парный элемент из другого множества и наоборот.
Далее мощность будем называть кардинальным числом множества.
Кардинальные числа некоторых множеств
1. Мощность пустого множества равна 0: | Ø |=0.
2. Мощность множества из одного элемента равна 1: |{a}|=1.
3. Если множества равномощны (A~B), то их кардинальные числа равны: |A|=|B|.
4. Если А - подмножество В и C: (A~C)&(C B), то кардинальное число А не превосходит кардинального числа В, т.е. |A|≤|B|.
5. Мощность булеана множества А равна 2|А|: |P(A)|=2|А|
6. Мощность множества всех отображений А в В равна |В|А||: |ВА|=|В|А||
Конечные, счетно-бесконечные и несчетные множества чисел
Можно классифицировать множества, опираясь на такой признак, как конечность.
К

Тогда все множества делятся на два класса конечные и бесконечные, которые в свою очередь делятся на два подкласса: счетно-бесконечные и несчетные.
С


Несчетные - бесконечные множества, не равномощные множеству натуральных чисел.
Можно классифицировать множества и по другому признаку: счетности. Тогда все множества делятся на два класса: счетные и несчетные. Счетные множества в свою очередь делятся на два подкласса: конечные и счетно-бесконечные.
С

Важное свойство конечных множеств: конечные множества не равномощны никакому своему собственному подмножеству.
Важное свойство бесконечных множеств: бесконечное собственное подмножество бесконечного множества может быть равномощно самому множеству (внимание, именно «может быть», а вовсе не «всегда» - пример тому несчетные множества, рассмотренные далее).
Иллюстрацией данного факта могут служить два известных парадокса.
Т

Хотя большинство натуральных чисел не является квадратами, всех натуральных чисел не больше, чем квадратов (если сравнивать эти множества по мощности).
Доказательство
Рассмотрим множество квадратов натуральных чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36,… Назовем его N1. Пусть его мощность равна |N1|. По построению N1 N (N1собственное подмножество N). Пронумеруем множество N1 натуральным рядом: 1 , , , , , ,
Т.о. можно построить взаимнооднозначное соответствие, доказав, что |N1|=|N|, значит, квадратов натуральных чисел столько же, сколько и самих натуральных чисел, Q.E.D.
Т

Если гостиница с бесконечным количеством номеров полностью заполнена, в неё можно поселить ещё посетителей, даже бесконечное число.
Доказательство
Первого постояльца следует поселить во второй номер, второго – в третий, далее аналогично, n-ого в (n+1)-ый. Поскольку номеров бесконечное количество, места всем хватит, т.к. для каждого натурального n найдется число n+1. Подобную процедуру можно повторять столько, сколько потребуется, Q.E.D.
Это оригинальная версия парадокса, в ней под бесконечным числом постояльцев следует понимать счетно-бесконечное число. Для обозначения мощности конечных множеств используются натуральные числа. Для обозначения мощности бесконечных множеств нужны числа иного рода, их называют трансфинитными.
Т

Алеф-нуль (– первое трансфинитное число. По определению это мощность множества всех натуральных чисел. Это наименьшая бесконечная мощность.