Тема. Построение правильных многоугольников

Вид материала

Урок

Содержание III. Повторение пройденного материала. 2. Работа в группах. IV. Объяснение новой темы. Практическая работа. V. Остановимся на отдельных областях применение правильных многоугольников.

Подобный материал:

• Урок геометрии и информатики. Тема урока по учебному плану: Построение правильных многоугольников, 131.04kb.
• Блок Тема. Хроника развития учения о правильных многогранниках, 46.41kb.
• «Решение задач на построение сечений многоугольников», 72.88kb.
• Методика изучения правильных многоугольников в курсе планиметрии Курсовая работа, 313.94kb.
• Новые научные идеи – новые научные гипотезы на стыке физики, математики, человековедения, 19.71kb.
• Исследовательская работа по математике в области Прикладная и фундаментальная математика, 114.02kb.
• Тема доклада: Таинства знакомой нам звезды, 136.74kb.
• Тема «Экология и мы», 86.86kb.
• Тема Теоретические вопросы курса Нормирование труда, 684.51kb.
• Лекция Тема «Построение эффективной системы взаимоотношений оптовой и розничной торговли», 111.43kb.

Правильные многоугольники в курсе геометрии в 9-м классе

Тема. Построение правильных многоугольников.

Цели урока. Научить учащихся строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки, познакомить их с отдельными областями применения правильных многоугольников в жизни.

Оборудование. Модели правильных многоугольников, технические детали, рисунки паркетов, коврики из лоскутков ткани, циркуль, линейка, карандаш, бумага.

Ход урока.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

– Ребята, где вы могли видеть правильные многоугольники? (Паркеты, узоры, технические детали – болты, гайки…).

Чтобы все это сделать, необходимо уметь строить правильные многоугольники. Для получения паркета или узора необходимы лекало или шаблон, а для технических деталей – чертеж. (Демонстрируются болт, гайка и соответствующий чертеж; узор, паркет и соответствующий шаблон). Для построения правильных многоугольников будем использовать связь с окружностью. Научимся рисовать орнаменты с помощью циркуля.

III. Повторение пройденного материала.

1. Теоретический опрос.

Какой многоугольник называется правильным? (Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его углы равны и все его стороны равны) [1]

Какой треугольник является правильным? Почему? (Равносторонний т.к. все его стороны равны и все его углы).

Является ли правильным четырехугольником прямоугольник, ромб, квадрат? Почему? (Хотя в прямоугольнике все углы равны, он не является правильным т.к. не все его стороны равны т.е. одно из условий правильного многоугольника не выполняется;

в ромбе все стороны равны, но не все углы равны;

квадрат – правильный многоугольник, т.к. все его стороны равны, все его углы равны).

2. Работа в группах.

Учащиеся делятся на группы по 3 – 4 ученика в каждой и решают тесты в течение 3 – 5 минут.

Тест для самостоятельной работы.

1. Какая из ломанных является многоугольником?



2.Какой многоугольник выпуклый?



3. Может ли пятиугольник иметь стороны длиной 3 см, 4 см, 8 см, 6см, 25 см?

1) да; 2) нет.

4. В правильном n-угольнике сумма внутренних углов равна 360⁰. Сколько сторон у этого многоугольника?

1) 4; 2) 3; 3) 5.

5. У правильного пятиугольника внешний угол равен:

1) 36⁰; 2) 45 ⁰; 3) 72 ⁰.



2. Многоугольник является правильным, если все его ….

1) углы равны; 2) углы и стороны равны; 3) стороны равны.

IV. Объяснение новой темы.

– Ребята, где вы могли видеть правильные многоугольники? (Паркеты, узоры, технические детали – болты, гайки…).

Чтобы все это сделать, необходимо уметь строить правильные многоугольники. Для получения паркета или узора необходимы лекало или шаблон, а для технических деталей – чертеж. (Демонстрируются болт, гайка и соответствующий чертеж; узор, паркет и соответствующий шаблон).

Для построения правильных многоугольников будем использовать связь с окружностью.

Практическая работа.

Учащиеся выполняют работу на альбомных листах с помощью циркуля, линейки и карандаша.



Проведите в окружности два перпендикулярных диаметра и соедините отрезками их концы. Докажите, что полученный четырехугольник правильный.

А теперь построим правильный пятиугольник.



Радиусами ОА, ОВ, ОС, ОД, и ОЕ. Разобьем круг на пять секторов с центральным углом, равным 360⁰/5=72⁰ и соединим последовательно точки А,В,С,Д,Е. Получим многоугольник АВСДЕ. Докажите, что полученный пятиугольник правильный.

Можно построить правильный пятиугольник и другим способом.

Для деления окружности на пять равных частей поступают так:

1. Делят радиус ОА пополам;
   
2. Из полученной точки В радиусом ВС делают засечку на горизонтальном диаметре (точка Д);
   
3. Пользуясь отрезком СД, как стороной правильного пятиугольника, размечают его вершины;
   

– Как связаны между собой радиус описанной окружности и сторона правильного шестиугольника? R = а. Поэтому для построения правильного шестиугольника в качестве вершины выберем произвольно точку окружности. Из нее, как из центра, циркулем сделаем засечки радиусом, равным радиусу окружности, – это остальные вершины. Все они последовательно соединяются отрезками.

Чтобы построить правильный вписанный треугольник, соединим через одну вершины правильного вписанного шестиугольника.

Зная как построить правильный n – угольник, легко можно построить 2n – угольник. (Проведя биссектрисы углов треугольника (?АОВ) рис 3. до пересечения с окружностью. Соединив эти точки на окружности получим 2n – угольник, из имеющегося n – угольника.

Разделив центральный угол пополам, получим сторону правильного десятиугольника.

Считалось, что если можно построить квадрат, правильный треугольник, пятиугольник, то легко построить правильный вписанный 2 n – угольник. И все. На этом ограничивались. Но в 1796 году немецкий математик Карл Гаусс еще юношей поразил весь математический мир разрешением проблемы построения правильного 17 –угольника. [2]

Этому открытию сам Гаусс придавал большое значение и даже завещал выгравировать на своем надгробии правильный 17-угольник, вписанный в круг. Хотя в современном мире компьютерной технике этим никого не удивишь.

V. Остановимся на отдельных областях применение правильных многоугольников.

Ребята, посмотрите на эти виды паркета. Какие они красивые. (Демонстрируются рисунки паркета, составленного из правильных многоугольников).

Где применить правильные многоугольники, человеку подсказка сама природа. Ребята, какими правильными многоугольниками можно заполнит плоскость так, чтобы не было пропусков, т.е. уложить их в виде паркета? Такими многоугольниками могут быть только правильные треугольники, квадраты или правильные шестиугольники. Ребята, вы все видели пчелиные соты. (Демонстрируются настоящие соты, если их нет, то рисунок). Из каких фигур они составлены? (Из правильных многоугольников).

Пчелы – удивительно творцы. Геометрические способности пчел проявляется при построение сот. Возникают вопросы: “Почему пчелы строят соты именно так? Почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?”

Почему пчела выбрала правильный шестиугольник?

Во-первых, в каждой точке сходится не более трех шестиугольников. Во-вторых, при таком построение мало уходит воска. Поэтому, если мы хотим разбить поле на участки так, чтобы на ограждения пошло как можно меньше материала, то участкам нужно будет придавать форму правильных шестиугольников.

Подобные расчеты находят применение в обувной промышленности. Для изготовления обуви используют колодки определенных размеров. Для определения размера используют паркет, составленный из правильных шестиугольников.

В математике 6 является совершенном числом. Есть много примеров: в Древней Греции на 6 – м месте на званом перу возлежал самый уважаемый и самый знаменитый и почетный гость; в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей; в Библии утверждается, что мир создан за 6 дней. 6 – самое маленькое, самое первое совершенное число, не даром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер.

Обратим внимание на один из видов народного ремесла. (Демонстрируются наволочки для диванных подушек). Этот древний вид искусства использовали разные народы. У тех, кто дома пользуется иголкой и ножницами, всегда остаются лоскутки тканей. Из них можно изготовить покрывала, наволочки, коврики. [3]

Предметы, сделанные своими руками, всегда принято использовать. В зависимости от вашей фантазии вы можете получить довольно оригинальные вещи.

Ребята, как вы думаете, в каких случаях и почему на практике чаще используют правильные многоугольники? (При изготовлении технических деталей, например, болтов, гаек, это удобно. А при составлении паркетов, узоров, это и красиво).

С помощью циркуля можно построить красивые узоры. Принципы построение узоров не сложны. Рисунки 1 – 7. [4]

Поэтому в качестве домашнего задания предлагаю вам:

1. Составить из правильных многоугольников рисунок красивого паркета или узора.
   
2. Решить задачу.
   

Для построенных правильных многоугольников вычислить длины сторон а_3, а₄, а₅, а₆, если R=4 см.

Литература.

1. Учебник “Геометрия” Атанасян А.С. для 7 – 9 кл. 2002 г.
   
2. “История математики в школе”, 7 – 8 кл. Г.И. Глейзер. Москва “Просвещение” 1988 г.
   
3. Журнал “Башкортостан кызы”, №2 1996 г.
   
4. “Ловкий циркуль” Киев “Вэсэлка” 1988 г.
   

Приложение 1 (орнаменты)

Приложение 2 (рисунки)