Исследовательская работа по математике в области Прикладная и фундаментальная математика

Вид материала

Исследовательская работа

Содержание Глава I. Паркеты. Паркеты из одинаковых правильных многоугольников Паркеты из разных правильных многоугольников

Подобный материал:

• Темы работы , 219.31kb.
• «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Рабочая программа, 182.62kb.
• Рабочая программа, 160.99kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Цифровая обработка сигналов, 137.86kb.
• Проект постановление ученого совета сгту по вопросу: «О переименовании кафедры «Прикладная, 8.11kb.
• Тарасевич Лариса Васильевна учитель английского языка, Абанская сош №3 Прикладная, 274.87kb.
• Факультет МиЕН, 39.35kb.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Гимназия № 1»


Исследовательская работа

по математике

в области

Прикладная и фундаментальная математика


Геометрические вариации на «пчелиную» тему


Выполнил:

Ученик 10 Т класса

Журавлев Дмитрий

Руководитель:

Учитель математики

Воробьева О. Э.


Сосновоборск 2011


Содержание:

1. Введение.
   
2. Глава I теоретическая:
   
   1. Паркеты.
      
   2. Сравнение периметров равновеликих фигур.
      
3. Глава II исследовательская:
   
   1. Строение ячейки пчелиной соты.
      

3.2 Нахождение площади поверхности многогранников.

4. Заключение.

5. Литература.

Введение

Пчелы – удивительные творения природы. Геометрические способности пчел проявляются при строение сот. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета. Возникает вопрос: «Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?»

Цель работы: Выяснение критерия оптимальности формы ячейки пчелиной соты.

Предмет исследования: Математическая модель ячейки пчелиной соты.

Для построения математической модели были решены следующие задачи:

• Заполнение плоскости правильными многоугольниками.

• Выяснение оптимальной объемной структуры сот на основе решения задачи о паркетах.

• Нахождение площади поверхности многогранников.


Глава I. Паркеты.

Паркет (или мозаика) - бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники.
Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость?

Паркеты из одинаковых правильных многоугольников

Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:



Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.



Паркеты из разных правильных многоугольников

Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).

Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях:



Остальные варианты паркетов, а также доказательство того, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек).

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо предварительно выяснить, каким правильным многоугольником можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т. е. уложить их в виде паркета.

Выполняя несложные расчеты, убеждаемся, что такими многоугольниками могут быть только правильные треугольники, квадраты или шестиугольники. Действительно, сумма внутренних углов выпуклого n - угольника равна (n-2)*_, где n – число сторон многоугольника. Сумма углов правильных n – угольников, сходящихся в одной вершине паркеты, равна _. Тогда

_то есть_, или _, где k – число углов, сходящихся в одной вершине. Отсюда _.

Если n=3, то k=6, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться шесть правильных треугольников.

Если n=4, то k=4, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться четыре квадрата.

Если n=5, то k=3,3, т.е. не существует паркеты из правильных пятиугольников.

Если n=6, то k=3, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться три правильных шестиугольника.

Если n=7, то k=2,8, т.е. не существует паркета из правильных семиугольников. И так далее.

Теперь рассуждаем следующим образом: _, так как внутренний угол правильного многоугольника меньше _; значит, _, или _.

По смыслу задачи значения n, k и _ могут быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на n-2. Отсюда n=3,4,6.

Итак, мы выяснили, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники. Попробуем дальше развить «пчелиную» тему.


Сравнение периметров равновеликих фигур.

Для того чтобы выяснить, почему пчела строит соты, перпендикулярное сечение которых есть правильный шестиугольник, а не правильных треугольник или квадрат, рассматривается вспомогательная задача 1: « Даны три равновеликие друг другу фигуры - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший периметр?»

Пусть S – площадь каждой из названных фигур, a₃, a₄, a₆ – сторона соответствующего n-угольника.

Тогда S=a_3/4 – площадь правильного треугольника, S=a₄ – площадь квадрата, S=3a_6/2 –площадь правильного шестиугольника.

Теперь нетрудно вычислить периметр P_n каждой фигуры, зная её площадь:

a_3= , P₃=6_; a₄=_, P₄=4_;

а₆=_, P_6=.

Для сравнения периметров фигур найдем их отношение

P₃: P₄: P₆ = 6*_ : 6*_=1 _: _

Мы видим, что из трех правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрей пчелы, экономят воск и время для построения сот.


Глава II. Строение пчелиной ячейки.

Надо сказать, что на этом математические секреты пчел не заканчиваются. Интересно и дальше исследовать строение пчелиных сот. Соты в улье свешиваются сверху вниз наподобие занавесок: пчелы прикрепляют их к потолку смесью наподобие воска и пчелиного клея (прополиса). Ячейки уложены в пласты и соприкасаются общими донышками. Но донышки ячеек не плоские, а представляют собой части трёхгранных углов, гранями которых являются равные ромбы. На рис. 1 изображена пчелиная ячейка в общем виде, а на рис. 2 – ее проекции: вид сверху, вид спереди и вид сбоку. Попробуем построить развертку многогранника SABCDEFF₁MB₁LD₁K (одна ячейка сот). Но прежде чем начать построение развертки, необходимо рассмотреть чисто геометрически, как получается ячейка.

Сначала построим изображения правильного шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Проведем диагонали F₁B₁, B₁D₁, F₁D₁ верхнего основания призмы и на оси призмы OO₁ возьмем некоторую точку S (рис. 3). Через прямые F₁B₁, B₁D₁, F₁D₁ и точку S проводим три плоскости, которые отсекают от призмы три равные треугольные пирамиды MB₁F₁A₁, B₁LD₁K, D₁KF₁E. Получившийся многогранник SABCDEFF₁MB₁LD₁K и является пчелиной ячейкой. Поскольку боковая поверхность многогранника представляет собой шесть равных между собой трапеции, то для получения развертки построим эти трапеции. Их размеры возьмем такими же, как на рис. 2, причем отрезок MS на рис. 2, а – это диагональ ромба в верхней части ячейки. Построим отрезок АА_ = AB + BC + CD + DE + EF + FА (рис. 4). На продолжении ребра CL от точки L отложим отрезок LS и из точки L проведем окружность радиусом, равным, например, B₁L. После этого построим середину отрезка LS, проведем через нее перпендикулярную к нему прямую , которая пересекает дугу окружности в двух вершинах ромба. Два других ромба строим следующим образом: из вершины ромба D_1 проводим окружность радиусом, равным стороне построенного ромба, а из вершины S – окружность, радиус которой равен диагонали ромба. Эти окружности в пересечение дают еще одну вершину ромба. Остальные построения очень просты.

Развертка пчелиной ячейки показана на рис. 4. А на рис. 5 можно увидеть, как соприкасаются ячейки в улье; их общая часть является ромбом.

Когда говорит о пчелах, то чаще всего демонстрируют рис. 6, показывающий соты в разрезе плоскостью, перпендикулярной боковому ребру и пересекающей все соты по правильным шестиугольникам. Если продолжить одну из боковых граней ячейки так, чтобы она пересекала остальные соты, то сечение будет таким, как показано на рис. 7.


Нахождение площади поверхности многогранников.

Небезынтересен вопрос, почему пчелы строят донышки своих ячеек в форме части трехгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Нельзя ли было поступить проще, сделать дно сот плоским, т. е. обычным правильным шестиугольником? Какая же здесь выгода пчел?

Вернемся к ячейке – многограннику на рис. 3. Объем многогранника SABCDEFF₁MB₁LD₁K равен объему правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Как нетрудно заметить, объем пирамиды B₁D₁F₁S равен утроенному объему одной из равных пирамид F₁B₁O₁S, B₁D₁O₁S, SD₁F₁O₁. Пирамиды MA₁F₁B₁ и SO₁B₁F₁ равны (они симметричны относительно точки Т). Итак, объем пчелиной ячейки и правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равны.

В задаче 1 из равновеликих многоугольников выбирали тот, который имеет наименьший периметр. Попробуем теперь решить задачу 2: «Из данных равновеликих многогранников (правильная шестиугольная призма и «пчелиная ячейка») найти тот, у которого наименьшая площадь поверхности».

Как нетрудно видеть из рис. 3, каждому положению точки S на оси ОО₁ соответствует свой многогранник SABCDEFF₁MB₁LD₁K. Пусть AB=a, BB₁ =b и SO₁ =х, причем 0. Определим то значение переменной x, при которой площадь поверхности многогранника – ячейки наименьшая.

Введем функцию Q(x) площади поверхности многогранника – ячейки (без нижнего основания). Нетрудно установить, что F₁B₁=a_. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т.е. 0,5a_. Определим площадь одной из трапеций, входящих в боковую поверхность многогранника_.

Площадь полной поверхности состоит из шести равных трапеций и трех равных ромбов, т. е.



Поскольку _ и по условию _ имеем: _, отсюда _. Легко проверить, что при _ производная Q′(x) меньше 0, а при _ производная S′(x) больше 0. Функция Q(x) непрерывна на всей области определения, других минимумов на интервале (0;+_) не имеет, поэтому в точке _ она принимает свое наименьшее значение и _. Площадь поверхности правильной шестиугольной призмы без нижнего основания равна _. Площадь поверхности ячейки равна _ ,ее объем равен объему той же шестиугольной призмы.

Таким образом, площадь поверхности Q₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равна _, а площадь поверхности Q₂ соответствующей пчелиной ячейки _. Найдем, сколько же сэкономили пчелы на постройке всего лишь одной ячейки сот. Для этого найдем разность площадей _. Как видим, пчелиная ячейка имеет такой же объем, как и правильная шестиугольная призма, а так как площадь ее поверхности меньше площади поверхности призмы, то остается удивляться экономности пчел. В имеющейся литературе приводятся сведения о том, что благодаря такой «математической» работе расчетливые «геометры» экономят около 2% воска. Количество воска, сэкономленное при постройке 54 ячеек, может быть использовано для одной такой же.


Заключение

В итоге необходимо сказать, что пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.

Как в заключение не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Так с помощью геометрий и математического анализа мы прикоснулись к тайне математических шедевров их воска, еще раз убедившись во всесторонней эффективности математики.

Проведенное исследование показало широкое практической применение теоретического материала, изучаемого на уроках в частности применение производной функции.


Библиография

1. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985.
   
2. По следам Пифагора. М.: Детгиз, 1961.
   
3. Паркеты из правильных многоугольников. Квант, 1976. № 3.
   
4. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1976.
   
5. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981.
   

Ссылки.

1. ru/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Forpic.htm Паркеты — замощения плоскости многоугольниками
   
2. narod.ru/math/parket1.php Геометрические паркеты
   
3. v.pms.ru/kvant-parkety_iz_pravilnyh_mnogougolnikov.php Паркеты из правильных многоугольников