Ямщиков Денис Викторович 11 класс, гимназия №587, Санкт-Петербург Целью данного реферат
Вид материала | Реферат |
СодержаниеИз истории Геометрический смысл комплексного числа Применение комплексных чисел для решения некоторых задач |
- Список участников Организатор: Фонд поддержки образования (Санкт-Петербург) гоу гимназия, 499.78kb.
- Моу «Гимназия №1» с. Красногвардейского, 439.62kb.
- 1. Обязательно ознакомиться с пакетом заранее. Все вопросы можно обсудить с редакторами, 215.48kb.
- Козырев Сергей Анатольевич Вице-губернатор Санкт-Петербурга Приветственное слово Быстров, 55.81kb.
- Золин Петр Михайлович профессор кафедры национальной и региональной экономики Санкт-Петербург, 315.6kb.
- Грызлов Б. В. Мониторинг сми 19 февраля 2008, 2167.28kb.
- 2010-2011 уч г Общая характеристика учреждения, 1064.54kb.
- Д. С. Лихачева 2011 год Общие положения Первые Краеведческие чтения (далее Чтения),, 80.63kb.
- Редактор: Наталья Кудряшова (Санкт-Петербург), 173.55kb.
- «Незабываемый Санкт-Петербург» (осенние каникулы), 29.11kb.
Теория комплексных чисел
Ямщиков Денис Викторович
11 класс, гимназия №587, Санкт-Петербург
Целью данного реферата является изучение истории возникновения комплексных чисел, а также рассмотрение алгебраической, тригонометрической и показательной формы комплексных чисел.
Решение многих задач по физике и математике приводит к уравнениям, не имеющим решения в области действительных чисел. Но нельзя с уверенностью заявить, что решений у той или иной задачи нет, потому что в квадратном уравнении получился отрицательный дискриминант. Решение есть, но оно уже относится к области комплексных чисел. Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Комплексные числа нашли свое применение в теории электротехники, электромеханике, радиотехнике, самолетостроение и в других науках.
Из истории
В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой породы. Он показал, что система уравнений x + y = 10, xy = 40, не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида x = 5±








Понятия
Число






Комплексные числа




Число




Геометрический смысл комплексного числа
Комплексное число z = x + iy можно изображать вектором с началом в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор обозначается той же буквой z. Из рисунка (см. выше) или из формулы |z| = (x2 + y2)1/2 видно, что длина вектора z равна |z| и справедливы следующие нестрогие неравенства |x| ≤ |z| и |y| ≤ |z|, т.е. |Re z| ≤ |z| и |Re z| ≤ |z|.
С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число z1 + z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z1 и z2, а вектор z1 - z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2. Видно, что расстояние между точками z1 и z2 равно длине вектора z1 - z2, т.е. равно |z1 - z2|. Это же утверждение следует из равенства |z1 - z2| = [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2]1/2 .
Тригонометрическое представление
Комплексное число z = a + bi однозначно определяется своим модулем (расстоянием до точки O) и углом между Oz и действительной осью — этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так:

Так как a = |z|cos



Умножение одного комплексного числа на другое происходит следующим образом:





Например, возведение в степень происходит на основе формулы Муавра -

Для n = 2 (для комплексного числа длиной в единицу), она выводится следующим образом:
так как

то


Для n = 3 (для комплексного числа длиной в единицу), она выводится следующим образом:
используя предыдущий пример, мы получаем, что

то есть


Показательная форма комплексного числа
Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой






Применение комплексных чисел для решения некоторых задач
Использование тригонометрической формы комплексного числа допускает простое решение некоторых тригонометрических задач, в том числе и тригонометрических систем. Далее рассматривается три примера, одним из которых является тригонометрическая система, а другой представлен ниже:
Пример: Выразить sin 3x и cos 3x в виде некоторой функции от sin x и cos x




Из равенства двух комплексных чисел следует, что их действительные и мнимые части равны:






Как уже было упомянуто в начале, сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Комплексные числа успешно прижились в электронике, где благодаря их применению с восхитительной простотой описывается поведение сложных электроцепей. Они также весьма эффективны в описании механики небесных тел, в частности для решения систем уравнений, которые помогают астрономам рассчитывать орбиты планет, спутников и астероидов. А не так давно они нашли широкое применение в компьютерной графике, во многом благодаря их популяризации.