Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур

Вид материала

Документы

Содержание Содержание курса Тема 2. Решение вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений Тема 3. Метод регуляризации нахождения нормального решения Тема 4. Метод регуляризации нахождения нормального решения системы линейных алгебраических уравнений Тема 5. Метод регуляризации решения линейных интегральных уравнений первого рода Тема 6. Представление решения в виде конечных рядов Фурье Тема 7. Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с приближенными в метрике l2 коэффициентами Лабораторные занятия Практические задания. Итоговый контроль знаний.

Подобный материал:

• Календарный план по спецкурсу «Регулярные методы решения задач в моделях оптических, 76.36kb.
• Календарный план учебных занятий по дисциплине «Математический синтез оптических покрытий»., 39.56kb.
• Программа курса лекций «Обратные задачи», 18.04kb.
• Задачи анализа топологии, 366.95kb.
• Регулярные методы расчета магнитных цепей, 61.78kb.
• Календарный план, 59.87kb.
• Разностные методы расчета оптических наноструктур, 70.72kb.
• «Численные методы в химии» Общая трудоёмкость дисциплины составляет, 22.46kb.
• Лекция 15. Регулярные выражения Регулярные выражения. Пространство RegularExpressions, 266.91kb.
• Рабочей программы дисциплины Структуры и алгоритмы обработки данных по направлению, 21.62kb.

Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур

Кафедра систем телекоммуникаций, факультет физико-математических и естественных наук

Направление «Математика. Информационные технологии»

Специальная дисциплина по выбору студента.

Трудоемкость – 4 кредита, 2 часа лекций и 2 часа лабораторных занятий в неделю

Цель курса

Целью курса «Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур» является обучение учащихся теоретическим основам регулярных методов решения некорректных задач, а также конкретным регулярным методам решения задач математического анализа и синтеза дифракционных оптических элементов и устройств, оптических наноструктур:

• введение учащихся в предметную область современного математического (шире – информационного) моделирования как неизбежной составляющей научно-технического прогресса;
  
• изучение способов и возможностей математического синтеза и компьютерного проектирования дифракционных оптических покрытий;
  
• подробное ознакомление студентов с устойчивыми современными методами численного решения математических задач, возникающих при проектировании дифракционных нанометровых оптических элементов и устройств, разработке тонкопленочных покрытий с характерными размерами порядка длины волны излучения.
  

В процессе преподавания курса решаются следующие задачи:

• обучение студентов умению и навыкам использования методов устойчивого решения обратных задач в моделях взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с участками среды со сложной геометрией и сложным по составу диэлектрическим наполнением;
  
• приоритетной задачей является применение этих методов для численного решения задач при проектировании оптических устройств;
  
• применение теоретических знаний (регулярных методов решения некорректных задач) для разработки оригинальных методов и алгоритмов решения задач математического анализа и синтеза дифракционных оптических элементов и устройств.
  

Содержание курса

Темы лекций

Тема 1. Системы уравнений с неточно заданными коэффициентами и правой частью

Влияние неточности исходной информации о системе линейных алгебраических уравнений на погрешность ее решения. Системы линейных алгебраических уравнений с почти вырожденными матрицами. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности матрицы. Псевдорешения систем линейных алгебраических уравнений и псевдообратные матрицы. Нормальная система линейных алгебраических уравнений. Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений. Для чего нужны псевдообратные матрицы? Определение псевдообратной матрицы. Свойства псевдообратной матрицы. Методы вычисления псевдообратной матрицы.


Тема 2. Решение вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

Трудности решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. Задача нахождения нормального решения системы линейных алгебраических уравнений является некорректно поставленной. Корректность и некорректность по Адамару. Классические методы решения интегральных уравнений Фредгольма I рода. Метод преобразования Фурье для одномерного уравнения. Метод преобразования Фурье для двухмерного уравнения. Метод наименьших квадратов Гаусса. Переопределенная система линейных алгебраических уравнений. Вывод нормальной системы линейных алгебраических уравнений. Метод наименьших квадратов применительно к интегральному уравнению. Метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза. Недоопределенная система линейных алгебраических уравнений. Нормальное решение и псевдообратная матрица. Метод псевдообратной матрицы применительно к другим уравнениям.


Тема 3. Метод регуляризации нахождения нормального решения

Метод регуляризации Тихонова. Существо метода. Анализ метода. Регугяризованное интегральное уравнение. Способы выбора параметра регуляризации. Численный алгоритм. Метод регуляризации для уравнения типа свертки. Метод регуляризации для двухмерного интегрального уравнения Фредгольма I рода типа свертки. Методы статистической регуляризации. Метод оптимальной фильтрации Калмана-Бьюси. Одношаговый (однократный) фильтр Калмана. Сравнение одношагового фильтра Калмана с методом ре­гуляризации Тихонова. Многошаговый (многократный) фильтр Калмана. Метод оптимальной линейной фильтрации Винера. Сравнение методов Винера и Тихонова.


Тема 4. Метод регуляризации нахождения нормального решения системы линейных алгебраических уравнений

Приближенное нахождение нормального решения по неточно известной правой части. Приближенное нахождение нормального решения по неточно заданным правой части и матрице.


Тема 5. Метод регуляризации решения линейных интегральных уравнений первого рода

Существование регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода. Интегральное уравнение I рода – некорректная задача. Компактное множество. Редукция задачи построения регуляризирующих операторов к классической вариационной задаче минимизации функционалов с ограничениями. Получение семейства регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающих функционалов. Алгоритм нахождения приближенных решений, легко реализуемый на компьютере. Стабилизаторы высокого порядка. О дискретизации задачи нахождения приближенных решений интегральных уравнений первого рода. Дискретизация исходного уравнения, дискретизация сглаживающего функционала, дискретизация краевой задачи для уравнения Эйлера.

Тема 6. Представление решения в виде конечных рядов Фурье

Явление Гиббса. Метод Фейера. Сигма-множители Ланцоша. Сравнение методов сходимости. Техника дифференцирования по Ланцошу.


Тема 7. Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с приближенными в метрике l2 коэффициентами

Задача устойчивого суммирования ряда Фурье по заданной ортонормированной системе функций. задача суммирования рядов Фурье с приближенными коэффициентами. Задачу суммирования ряда Фурье функции как задача решения операторного уравнения относительно данной функции Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье. Стабилизирующие функционалы по полной ортонормированной системе собственных функций краевой задачи. Компактное множество. Стабилизирующий функционал для задачи об устойчивом суммировании рядов. Значение параметра регуляризации должно быть взято согласованным с погрешностью исходных данных.

Лабораторные занятия

Лабораторные занятия посвящены устойчивым регуляризованным методам решения линейных и нелинейных обратных задач по восстановлению коэффициентов систем уравнений.

1. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций) по методу наименьших квадратов (SVD) для переопределенных матриц.
   
2. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций). Метод тихоновской регуляризации.
   
3. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций). Псевдообратные матрицы.
   
4. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций). Метод деформируемого многогранника.
   
5. Восстановление показателя преломления для изотропных/анизотропных материалов по методу Берремана (нелинейная задача) по методу наименьших квадратов для переопределенных систем (метод покоординатного спуска).
   
6. Восстановление показателя преломления для изотропных/анизотропных материалов по методу Берремана (нелинейная задача) по методу тихоновской регуляризации.
   

Промежуточный контроль знаний

Контрольная работа № 1.

Теоретические вопросы.

1. Эквивалентность норм в конечномерном векторном пространстве.
   
2. Зависимость относительной ошибки решения возмущенной системы линейных алгебраических уравнений от относительных ошибок матрицы и вектора правой части.
   
3. Эффект Гиббса, регуляризирующие множители Ланцоша и Фейера.
   

Практические задания.

1. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций) по методу наименьших квадратов (SVD) для переопределенных матриц.
   
2. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций). Метод тихоновской регуляризации.
   

Контрольная работа № 2.

Теоретические вопросы.

1. Тихоновская регуляризация устойчивого суммирования рядов Фурье.
   
2. Метод Тихонова регуляризации решения возмущенной системы линейных алгебраических уравнений.
   

Практические задания.

1. Вычисление коэффициентов матрицы Мюллера (по входным и выходным значениям интенсивностей и/или различных поляризаций). Метод деформируемого многогранника.
   
2. Восстановление показателя преломления для изотропных/анизотропных материалов по методу Берремана (нелинейная задача) по методу наименьших квадратов для переопределенных систем (метод покоординатного спуска).
   

Замечание. Практическое задание включает в себя написание краткой теоретической части, описание используемого алгоритма, написание программы для компьютера на языке высокого уровня с необходимым интерфейсом – прототипом товарного оформления или в рамках математического программного пакета, демонстрацию работоспособности программы.


Итоговый контроль знаний.

Контрольная работа № 3.

Теоретические вопросы.

Метод тихоновской регуляризации решения интегральных уравнений первого рода.


Литература

Обязательная

1. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры.   М.: Наука, 1983.
   
2. Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. – М., 1998.  137 с.
   
3. Сизиков В.С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. - СПб.: Специальная литература, 1999. – 239 с.
   
4. Верлань А.Ф. Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы.   Киев: Наук. Думка, 1986.
   
5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.   М.: Наука, 1986.
   

Дополнительная

1. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. 2-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2004, 400с.
   
2. ссылка скрыта
   
3. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 стр.
   
4. В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. Матрицы и вычисления.
   

• 
  

Программу составил

Севастьянов Леонид Антонович,

доктор физико-математических наук, профессор,

профессор кафедры систем телекоммуникаций,

факультет физико-математических и естественных наук.