Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования
| Вид материала | Автореферат |
- Методика обучения студентов педагогических вузов будущих учителей математики интегральному, 295.38kb.
- Методическая направленность обучения элементарной математике студентов математических, 292.15kb.
- Технологии трансляции, 51.47kb.
- Методическая система мониторинга математической подготовки студентов вуза 13. 00. 02 -, 435.72kb.
- Методическая система формирования у студентов технических вузов способностей к инновационной, 671.98kb.
- Методическая система формирования обобщенных методов проведения физических экспериментальных, 871.46kb.
- Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов по специальности, 161.11kb.
- Самостоятельная работа студентов по теории и методике обучения математике, 359.95kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине «философия» Для студентов всех специальностей, 3421.45kb.
- Методическая система подготовки учителей к созданию электронных образовательных ресурсов, 315.56kb.
Расширенный модуль знаний дифференциального и интегрального исчисления представлен: дополнительными сведения по курсу, к которым студент может обращаться с целью более глубокого изучения отдельных тем (например, могут быть изложены разные подходы к изучению каких-то вопросов, более общие теоремы и т. д.); специально разработанными разделами (или темами в рамках раздела) курса, материалы которых призваны удовлетворить творческие потребности и профессиональные запросы обучаемых (например, раздел, посвященный неравенствам, или тема о специальных свойствах выпуклых функций, используемых в вопросах решения уравнений); вопросами, нацеливающими студента на приобщение к исследовательской деятельности (могут быть приведены свежие результаты и результаты, полученные не так давно, которые или примыкают к программному материалу, или обобщают его); открытыми для исследования вопросами и задачами, а также гипотезами; соответствующими историческими сведениями, касающимися тем дифференциального и интегрального исчисления функций.
В Главе III «Реализация теоретических основ подготовки будущих учителей математики по дифференциальному и интегральному исчислению в условиях фундаментализации образования» конструируемая методическая система обучения анализируется на третьем уровне – уровне учебных материалов. В ней рассмотрены пути реализации деятельностных концепций работы с определениями принципиальных понятий и важными теоремами основ математического анализа при обучении студентов, обоснован так называемый подход Каратеодори изложения дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, осмыслены образовательные возможности тематики, связанной с выпуклыми и логарифмически выпуклыми функциями.
В разделе 3.1. «Реализация деятельностной концепции работы с определением при обучении студентов основам математического анализа» на примере понятия производной иллюстрируются действия по работе с определениями основных понятий курса. Автором анализируются различные определения понятий производной функции в точке: классическое определение по Коши, определения через условие дифференцируемости функции и через подходящую линейную функцию, определения по Каратеодори, двусторонней производной, П-производной, производных Фреше и Гато, l-производной, симметрической производной. Кроме того, в этом же разделе осмысляются определения производной в негладком анализе – определения понятий производной по направлению и верхней и нижней производных Дини. В разделе рассмотрены методические требования к усвоению определений перечисленных понятий производной функции, произведено сравнение определений в контексте логических характеристик понятий в математике.
В разделе 3.2. «Реализация деятельностной концепции работы с теоремой при обучении студентов основам математического анализа» на примерах классических теорем обстоятельно рассматриваются такие этапы работы с утверждениями, как этап обобщения, этап развития, этап поиска различных доказательств, этап применения утверждения.
В подразделе 3.2.1. «Этап обобщения работы с теоремой» анализируются принципиальные возможные направления обобщения теоремы. Реализация этапа обобщения работы с теоремой автором иллюстрируется на примере классической теоремы Ролля о среднем. В частности, обсуждаются следующие обобщения этой теоремы: векторный вариант, распространение на линейные комбинации соответствующих функций, теорема Лагранжа, теорема B. Finta в терминах лево- и правосторонних производных, в терминах одной односторонней производной, многомерный вариант теоремы, два комплексных варианта. Наряду с представленным материалом в Приложении Д диссертации рассматриваются действия по обобщению классических теорем Лагранжа и Коши. Автором показано, что работа по обобщению теоремы способствует формированию у студента исследовательских навыков, математических компетенций, развивает математическую интуицию, эвристическое и логическое мышление.
В подразделе 3.2.2. «Работа с теоремой. Этап развития» на основе эвристических приемов, восходящих к подходам доказательства теорем Лагранжа и Коши, устанавливаются некоторые новые замечательные утверждения о средней точке. В частности, доказываются теорема типа теоремы Лагранжа о нормали к графику функции, ее обобщение, теорема M. Bencze и ее обобщение, формулируется теорема Flett. Автор обсуждает новые теоремы с позиций возможностей приобщения студентов к исследовательской деятельности, базируясь на учебном материале.
В подразделе 3.2.3. «Работа с теоремой. Этап применения» иллюстрация соответствующих действий при работе с теоремой производится на примере установленной автором обобщенной теоремы Коши, формулируемой в терминах односторонних производных. Посредством этой теоремы получены обобщения формы Шлеммильха–Роша остаточного члена в формуле Тейлора, в более слабых предположениях сформулированы классические теоремы Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей.
Обсуждаемые в 3.2.1.–3.2.3. теоремы указывают на тот факт, что возможно построение аналогов классической теории дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных, а также в терминах только одной из односторонних производных.
В подразделе 3.2.4. «Работа с теоремой. Этап поиска различных доказательств» внимание сосредоточено на важности нахождения по возможности нескольких доказательств конкретного утверждения. Такие действия при работе с теоремой позволяют более полно отработать различные методы математического анализа. Соответствующую иллюстрацию отмеченного автор проводит на обосновании рассмотренных в предыдущем подразделе обобщенных теорем Лопиталя – Бернулли.
В разделе 3.3. «Подход Каратеодори изложения основ дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных» обосновывается возможность изучения со студентами соответствующего материала классического анализа нетрадиционным способом. Названный подход базируется не только на принятом использовании понятия дифференцируемости (производной) функции в точке по Коши, но и на систематическом применении понятия дифференцируемости функции по Каратеодори. Такой подход при установлении основных теорем дифференциального исчисления, именуемых обычно правилами дифференцирования функций, а также ряда других утверждений классического анализа использует элементарно-алгебраические рассуждения, а не операцию предельного перехода. В этом отношении обсуждаемый подход к изложению вопросов «гладкого» анализа не является общепринятым, однако автору он представляется более рациональным и педагогически оправданным. Он применим и при изучении начал анализа в школе.
В данном разделе принципиальное место занимает критерий дифференцируемости функции в точке, формулируемый в терминах производной Каратеодори. Автором он назван критерием Коши – Каратеодори.
Метод Каратеодори исследования функций распространяется на функции нескольких переменных (ф. н. п.). Формулируется определение понятия дифференцируемой в точке по Каратеодори ф. н. п., доказывается критерий Коши–Каратеодори дифференцируемости ф. н. п., вводится понятие частной производной Каратеодори ф. н. п. Кроме того, в этом же разделе методом Каратеодори доказываются теоремы о дифференцировании сложных функций многих переменных, теорема о достаточных условиях существования производной по направлению, обосновывается уравнение касательной плоскости к гладкой поверхности. Показываются преимущества нового метода перед традиционным, общепринятым в учебной литературе. Этот метод (как и для функций одной переменной) основывается на элементарно-алгебраических рассуждениях, сводя к минимуму использование операции предельного перехода.
Представленный материал рассматривается с позиций применения принципов фундаментальности, уровневой дифференциации, вариативности, контекстности и элективности отбора содержания математического образования будущих учителей математики.
В разделе 3.4. «Особенности изучения выпуклых функций с будущими учителями математики» акцентируется внимание на том, что чаще всего студенты педвузов выпуклые функции изучают лишь тогда, когда они знакомятся с темой «Исследование функций с помощью производных» в рамках дифференциального исчисления функций одной переменной. Они обретают навык исследования функций на выпуклость и точки перегиба в терминах второй производной. Однако выпуклые функции для будущих учителей математики имеют богатые образовательные возможности и в иных контекстах. Например, с помощью выпуклых функций доказывается ряд классических неравенств, их уточнений, на понятии и свойствах выпуклых функций основываются решения многих «трудных» уравнений и их систем, выпуклость позволяет решать и большой класс оптимизационных задач. Это важно учитывать в общей математической подготовке студентов педвуза и их подготовке к будущей профессиональной деятельности.
В подразделе 3.4.1. «Выпуклые функции и их применения» рассмотрено так называемое характеристическое свойство выпуклых функций с его геометрической трактовкой, осмыслены возможности применения этого свойства в вопросе решения уравнений специального вида, конструируемых с использованием выпуклых и вогнутых функций. Представленный материал полезен учителю математики в организации внеклассной работы по предмету, при разработке факультативных и элективных курсов, при подготовке учащихся к олимпиадам и конкурсным испытаниям.
В подразделе 3.4.2. «Логарифмически выпуклые функции» рассматриваются функции, тесно связанные с выпуклыми и определяемые через них. Логарифмически выпуклые функции подобно выпуклым имеют свою геометрическую интерпретацию и ряд интересных свойств, которые могут находить многие полезные применения. Автором обосновывается важность ознакомления с такими функциями студентов-математиков педвуза при отборе содержания обучения, поскольку они вооружают будущего учителя математики новыми эффективными методами решения задач. В приложении Е диссертации рассматриваются применения логарифмически выпуклых функций в вопросах доказательства неравенств, решения уравнений и нахождения наибольших и наименьших значений переменных величин.
В данном подразделе формулируются критерии, а также достаточные условия логарифмической выпуклости функции; здесь же автором изучаются важнейшие свойства рассматриваемого класса функций, в частности так называемое характеристическое свойство и аналог неравенства Иенсена, обозначаются перспективы для дальнейших исследований.
В Главе IV «Неравенства в математической подготовке будущих учителей математики. Образовательный потенциал неравенств при изучении математического анализа» обосновывается объективная значимость и важность ознакомления студентов-математиков при их обучении в вузе с теорией неравенств и их применениями; осмысляются методы математического анализа в вопросах доказательства, обобщения и развития неравенств Коши и Ки Фана. В этой главе автор анонсирует многие результаты собственных и студенческих исследований по неравенствам, полученных в рамках регулярного научно-исследовательского семинара по математическому анализу для студентов. В этой же (заключительной) главе приведено описание экспериментальной части исследования.
В разделе 4.1. «Неравенства в образовании студентов-математиков» с позиций систематизации и углубления знаний дифференциального и интегрального исчисления осмысляются направления применения неравенств в математической подготовке студентов педвуза.
В разделе производится систематический обзор отечественных литературных источников по неравенствам; в частности, автором представляется свое учебное пособие «Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана», предназначенное для студентов математических факультетов педагогических вузов и университетов. Этому пособию присвоен гриф УМО «Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 032100 – Математика». Материал пособия может использоваться учителями математики при организации и проведении внеклассной работы по предмету в старших классах, а также руководителями и участниками студенческих математических кружков.
В настоящем разделе вскрывается образовательное значение ряда классических неравенств в математической подготовке будущих учителей.
В разделе 4.2. «Методы дифференциального и интегрального исчисления в вопросе доказательства неравенства Коши для арифметико-геометрических средних» рассматривается спектр вопросов и областей, где может применяться неравенство Коши, а также ряд его доказательств, основанных на методах математического анализа. Названные методы восходят к применению производной при исследовании функций одной переменной на монотонность и экстремумы, к использованию необходимых условий экстремума функции нескольких переменных в терминах частных производных, к теории условного экстремума, к использованию интеграла Римана. На доказательства неравенства Коши средствами дифференциального и интегрального исчисления можно смотреть как на соответствующий пример реализации этапа работы с теоремой, именуемого поиском различных доказательств утверждения. Автором акцентируется внимание на том, что такие доказательства способны знакомить изучающего основы анализа с целым каскадом эвристических приемов, которые могут применяться при решении разнообразных задач.
Раздел 4.3. «Методы дифференциального и интегрального исчисления в вопросе доказательства неравенства Ки Фана» развивается по схеме предыдущего раздела – целью ставится рассмотрение таких доказательств, которые опираются на методы дифференциального и интегрального исчисления. В нем описано значение неравенства Ки Фана для теории неравенств, вскрыт его образовательный и исследовательский потенциал, обсуждены доказательства, опирающиеся на производную функции, интеграл, средства дифференциального исчисления функций нескольких переменных.
Данный раздел продолжается разделом 4.4. «Методы дифференциального и интегрального исчисления в обобщениях неравенства Ки Фана», в котором неравенство Ки Фана осмысляется в контексте этапов обобщения и развития при работе с теоремой. Вводится так называемый аддитивный аналог неравенства Ки Фана, установленный Х. Альцером, и доказывается его обобщение, а на основе последнего – аналог неравенства Ки Фана для средних степенных величин соответствующих порядков. Полученные неравенства ставят вопросы, нацеливающие на дальнейшие исследования неравенства Ки Фана, что создает перспективу организации серьезной научной работы со студентами по тематике, восходящей к неравенствам.
В разделе 4.5. «Спецкурс “Средние величины степенного типа” в подготовке по математическому анализу будущих учителей математики» дана характеристика разработанного автором специального курса, направленного на углубление и упорядочение знаний студентов, связанных с дифференциальным и интегральным исчислением функций, и нацеливающего их на приобщение к научной работе. Данный спецкурс изучает среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел, связанные с ними классические неравенства, другие средние величины степенного типа, а также применения средних величин в задачах на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, на установление геометрических соотношений, на нахождение геометрических экстремумов и наибольших и наименьших значений переменных величин, на решение уравнений и систем уравнений. Каждый раздел спецкурса содержит открытые вопросы и задачи, которые можно исследовать с целью дальнейшего развития теории средних величин.
В разделе 4.6. «Студенческий научно-исследовательский семинар по математическому анализу» автором описывается свой опыт педагогической деятельности по организации студенческой научно-исследовательской работы, показывается, что одним из самых эффективных средств привлечения студентов-математиков к такой работе является ведение преподавателем регулярного исследовательского семинара студентов. В диссертации отмечается, что в ВятГГУ такой семинар для студентов по математическому анализу, организуемый по типу регулярных академических научных семинаров, функционирует с 1994–1995 учебного года. Весьма обстоятельно описывается тематика семинара, преобладавшая в тот или иной временной период, а также технология и особенности его организации. С целью иллюстрации хронологии работы представляемого научного семинара для студентов-математиков приводится подробный перечень докладов участников в 2006–2007 учебном году. Особое внимание в характеристике семинара уделяется описанию его важных традиций, стимулирующих интерес участников к исследовательской деятельности при изучении математического анализа.
Многолетний опыт руководства студенческим научно-исследовательским семинаром убеждает автора во мнении, что такой семинар способствует систематическим самостоятельным размышлениям студентов по поиску ответов на поставленные вопросы научного характера, нацеливает на проведение доказательных рассуждений, формирует определенную математическую культуру, что, безусловно, является важнейшим условием продуктивного усвоения соответствующего учебного материала.
В этом же разделе приводятся научные публикации студентов, являвшихся участниками семинара в разные годы. Упоминаемые публикации концентрированно помещены в следующих изданиях: 1. Некоторые вопросы теории среднего степенного: Сб. науч. статей. – Киров: Изд-во ВГПУ, 1999. – 84 c.; 2. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. науч. статей. – Киров: Изд-во ВГПУ, 2001. – 98 c.; 3. Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. – 2005. – № 3. – 199 с.; 4. Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. – 2007. – № 4. – 242 с.; 5. Информатика. Математика. Язык: Науч. журнал. Вып. 5. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – 221 с.
В разделе 4.7. «Педагогический эксперимент и его результаты» описана экспериментальная часть исследования. Педагогический эксперимент проводился в Вятском государственном гуманитарном университете (ранее – Кировском госпединституте, Вятском госпедуниверситете), а также частично в Кировском институте повышения квалификации и переподготовки работников образования (ранее – Кировском институте усовершенствования учителей) в период с 1986 по 2009 гг. Экспериментальная работа ставилась с участием нескольких сотен студентов-математиков и учителей математики общеобразовательных учреждений Кировской области. В проведении эксперимента можно выделить ряд этапов. Первый этап (1986–1992) связан с проведением констатирующего эксперимента. Второй этап (1993–2000) характеризуется реализацией поискового эксперимента. Наконец, третий этап (2001–2009) – обучающий эксперимент.
На первом этапе эксперимента решались задачи изучения индивидуальных особенностей студентов математического факультета в контексте их отношения к учебной дисциплине «Математический анализ», отношения к профессиональной деятельности учителя математики, настроя на усвоение дисциплин математического цикла; изучения возможностей постигать студентами математику на творческом, активном уровне; накопления собственного опыта работы со студентами и учителями, его анализ.
В ходе первого этапа эксперимента выявились существенные недостатки в подготовке студентов по математическому анализу: многие студенты при изучении данной дисциплины без желания обращаются к учебной литературе по анализу, а некоторые даже ограничиваются только записями лекций и материалами практических занятий. Кроме того, выяснилось, что при изучении математики студенты педвуза почти не используют материалы периодических научно-методических и научно-популярных изданий, например, журналов «Математика в школе», «Квант», «Математическое просвещение» и не используют совсем материалы научных конференций, статьи научных сборников и академических журналов.
Полученные на этом этапе эксперимента результаты автору позволили сделать вывод о том, что необходимо перейти к разработке собственной концепции курса математического анализа – концепции, которая бы: а) в существенной степени основывалась на деятельностной составляющей в работе с основными понятиями и принципиальными теоремами курса; б) учитывала новые, современные достижения и открытия в области дифференциального и интегрального исчисления; в) выводила успешно усваивающих программный материал студентов на уровень, позволяющий им вести реальную исследовательскую работу в некоторых направлениях математического анализа.
Проведенный констатирующий эксперимент также утвердил автора во мнении о необходимости формирования такой методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению, которая бы ломала традиционную практику информационно-экстенсивного изучения курса математического анализа студентами в педвузе и обеспечивала бы возможность перевода этого курса на интенсивное, фундаментальное его освоение, предполагающее творческое усвоение студентами предметных знаний, а также приобщение их к активному научному поиску.
На втором этапе эксперимента ставились следующие задачи: сформировать систему принципов отбора содержания обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению, которая учитывала бы современные тенденции совершенствования математического образования; посредством такой системы сконструировать содержание обучения студентов-математиков педвуза основам анализа, которое отразило бы в себе соответствующую его деятельностную составляющую и эвристики; разработать и опубликовать программу курса математического анализа для студентов-математиков педвуза, а также составить соответствующие программы спецкурсов «Средние величины степенного типа» и «Выпуклые функции и их применения», расширяющих и дополняющих подготовку студентов по математическому анализу; проверить качество материалов, предлагаемых студентам для изучения, установить степень усваиваемости этих материалов; проверить эффективность методики обучения студентов конструируемому содержанию; организовать работу регулярного студенческого научно-исследовательского семинара по математическому анализу; при подготовке докладов к семинару особое внимание уделить новым исследованиям, связанным с вопросами классического анализа; собственные результаты исследований студентов по дифференциальному и интегральному исчислению функций отражать в курсовых и дипломных работах, содержании лекций по анализу, в спецкурсах.
Данный этап эксперимента указал на необходимость уделять особое внимание при обучении студентов так называемым ключевым и теоретическим задачам. Кроме того, он показал, что студента-математика важно специально обучать работе с определениями основных понятий курса анализа, затрагивая их историко-хронологический контекст, и с принципиальными теоремами. При обучении будущего учителя математики математическому анализу значимой является и эвристическая подготовка: студентов необходимо знакомить не только с важными для математика фактами, но и заботиться о развитии их математической интуиции, прививать им навыки самостоятельного поиска решения трудной задачи, доказательства новой теоремы, открытия неизвестного математического факта или закономерности.
В период с 1993 по 2000 гг. значительное внимание уделялось вопросам связи вузовского курса математического анализа со школьными началами анализа. Основные положения начал математического анализа, изучаемые учащимися общеобразовательных учебных заведений в 10–11-х классах, осмыслялись со студентами с точки зрения классического анализа. Одним из проявлений такой деятельности явилось создание коллективной работы [2] (позже цитируемое учебное пособие было издано дважды в издательстве «Московский Лицей» в 2001 и 2002 гг. – [3]).
В данный период обращение к рассмотрению методов математического анализа в доказательствах неравенств позволило определиться в перспективной тематике научно-исследовательской работы студентов. Именно осмысление доказательств классических неравенств средствами анализа явилось отправным моментом для исследования вопросов, связанных: 1) с решением уравнений посредством неравенств; 2) с обобщением, уточнением и развитием известных неравенств; 3) с доказательством числовых и функциональных неравенств; 4) с рассмотрением специальных свойств выпуклых функций; 5) с изучением логарифмически выпуклых функций и т. д. В этот же период обозначился цикл исследований, восходящих к вопросам обобщения и развития некоторых утверждений классического анализа, а также иного подхода к изложению теории дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных.
И на первом, и на втором этапах экспериментальной работы автором широко использовались психолого-дидактические эксперименты, введенные в методику обучения математике Я. И. Груденовым /1987/. В частности, часто культивировались эксперименты-репетиции. Они, как правило, проводились с целью проверки теоретических прогнозов по целесообразности применения новых методических подходов в подаче материала; осмысления собственных возможностей по организации студенческих научных исследований в рамках конкретной темы; отработки деталей ведения занятий со студентами по избранным темам; проверки теоретических прогнозов, относящихся к отдельным элементам учебного процесса при изучении студентами основ анализа.
В заключение характеристики второго этапа эксперимента следует подчеркнуть, что он захватил временной период, когда была провозглашена Концепция фундаментализации отечественного образования и активно развивались такие его направления (тенденции), как гуманитаризация и дифференциация. При конструировании методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению феномены дифференциации и индивидуализации, гуманизации и гуманитаризации, фундаментализации и интенсификации образования автором стали рассматриваться как внешние факторы для такой системы. На данном этапе в значительной степени удалось осмыслить основные компоненты методической системы, выделить существенные связи между ними, установить определенные связи компонент с составляющими внешней среды системы.
Третий этап педагогического эксперимента отмечается расширением предмета исследования в связи с активным обсуждением педагогической общественностью, ведущими учеными, а также государственными деятелями вопросов направлений модернизации отечественного образования, его фундаментализации (выступления бывшего Президента РФ В. В. Путина, решения Ученого Совета Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук от 26.09.01, решения Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» в г. Дубна в сентябре 2000 г., доклады ректора МГУ В. А. Садовничего, ректора МГТУ им. Н. Э. Баумана И. Б. Федорова, выступления Ж. И. Алферова и др.). Названные обсуждения еще более утвердили в авторе мнение о том, что математическое образование будущих учителей математики и вообще студентов математических специальностей необходимо выстраивать на идеях и положениях его фундаментализации (одним из таких положений, напомним, является необходимость приобщения студентов к научному поиску, научному творчеству, научному исследованию, что наиболее действенно «учит учиться» и формирует в студенте потребность самосовершенствоваться). В этот период было сформировано устойчивое содержание обучения будущих учителей основам дифференциального и интегрального исчисления, которое включило в себя в качестве составных частей концепцию работы с основными понятиями анализа, подход к изложению основ дифференциального исчисления функций, основанный на понятии дифференцируемой функции по Каратеодори, деятельностные аспекты работы с принципиальными теоремами курса математического анализа для студентов-математиков. Кроме того, была выделена эвристическая составляющая содержания образования будущих учителей, а также соответствующая совокупность новых относящихся к анализу фактов и сведений, с которыми важно знакомить студентов и которые способны содействовать в вопросе приобщения обучаемых к научно-исследовательской работе.
С целью проведения обучающего эксперимента и ознакомления коллег и педагогической общественности с результатами исследования были выпущены учебные пособия [2]–[4] и статьи [8]–[10], [12]–[14], [17]–[19], [25], [26], [29] в центральной печати. С результатами исследования автор также выступал с докладами на различных конференциях по образованию и математических конференциях, которые посвящались фундаментальным исследованиям.
В данном разделе приводится подробное описание эксперимента по выяснению степени овладения студентами методом неравенств решения уравнений, в котором в качестве показателя освоенности данного метода выбирается коэффициент усвоения, или коэффициент правильности. Кроме того, рассматривается эксперимент по выяснению влияния теоретических задач на эффективность практического усвоения студентами раздела «Интегральное исчисление функций одной переменной» с обращением при обработке результатов к методам описательной статистики, показатели которой получены с помощью компьютерной программы Microsoft Excel для Windows. В качестве решающих правил по принятию гипотез выбираются статистические критерии Крамера–Уэлча и Вилкоксона–Манна–Уитни.
Обучающий эксперимент показал следующее.
1. Сконструированная методическая система обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в условиях фундаментализации образования способствует снижению доли репродуктивных подходов в организации подготовки будущих специалистов, нацеливает их на активное освоение методов математического анализа.
2. Разработанная методика обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению обеспечивает достаточно высокий уровень подготовки обучаемых по математическому анализу; при реализации такой методики многие студенты изучаемый материал осваивают творчески.
3. Овладение представленным в работе содержанием обучения будущих учителей основам математического анализа, овладение навыками отслеживания и поиска новой научной и учебной информации по этой дисциплине, систематическое участие в работе регулярного студенческого научно-исследовательского семинара по анализу выводят студента на уровень, который позволяет ему в области математического анализа проводить научные исследования.
4. Представленная методическая система обучения студентов педвуза имеет четкую профессиональную направленность; такая система через посредство воспитания творчески работающего учителя способствует устранению имеющегося разрыва между школьным математическим образованием и вузовским, достижению «гармонии между средней и высшей школой».
Проведенный педагогический эксперимент подтвердил эффективность разработанной методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций.
В Заключении диссертации приведены основные результаты исследования, сформулированы выводы, подтверждающие гипотезу исследования и положения, выносимые на защиту.
Основные результаты исследования состоят в следующем.
1. Проведен критический анализ существующих трактовок феномена фундаментализации математического образования, выделены характеристики, позволившие сформулировать строгое определение понятия «фундаментализация математического образования», а также уточнить понятие фундаментализации применительно к математическому образованию будущих учителей.
2. Сформулирована концепция предметной и профессионально-педагогической подготовки будущего преподавателя математики в условиях фундаментализации образования. С опорой на данную концепцию и принципы преподавания математики в высшей школе разработана методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций, которая реализует математическую подготовку будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на требования новых государственных образовательных стандартов общего образования и к содержанию математического образования, и к уровню усвоения этого содержания, и к условиям его реализации; созданная методическая система декларирует применение в обучении активных методов и форм, необходимость приобщения студентов к научному поиску и творчеству, научному исследованию. Фундаментализация математического образования выступает внешним фактором такой системы, оказывающим влияние на все ее компоненты: цели обучения, содержание образования, методы, формы и средства обучения математическому анализу.
3. Разработана концепция содержания обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций. На основе данной концепции и общих, ключевых, а также дополняющих принципов отбора содержания математического образования студентов педвуза спроектировано содержание обучения будущих педагогов дифференциальному и интегральному исчислению. Оно включает в себя не только минимальный объем знаний по основам анализа, определяемый государственным образовательным стандартом, но и сведения из этой области математики, связанные с современными научными исследованиями и открытиями, нерешенными проблемами и задачами. Это позволяет вовлечь студентов в реальную научно-исследовательскую работу с первых курсов их обучения в вузе. Помимо предметных знаний в содержание обучения будущих учителей также включаются действия, адекватные основным понятиям и фактам анализа, общенаучные методы познания, эвристические приемы и специальные эвристики, характерные для дифференциального и интегрального исчисления функций.
4. Разработанная в исследовании концепция подготовки будущих учителей математики в условиях фундаментализации образования опирается на следующую ведущую идею: при обучении студентов математическая деятельность преподавателя должна сопрягаться с его собственными исследованиями в области анализа. Активная позиция педагога в отношении осмысления изучаемого со студентами материала снижает долю репродуктивных подходов в обучении, учит критически относиться к приобретаемым знаниям, воспитывает в студенте желание и необходимость анализировать информацию, приобщает его к творчеству и исследованию. Одним из педагогических требований в организации преподавателем научно-исследовательской работы студентов является руководство им регулярным студенческим исследовательским семинаром по математическому анализу.
5. Сформулированы направления научной специализации студентов-математиков в процессе изучения ими математического анализа, занимающего значительное место в их общематематической и профессиональной подготовке. К таким направлениям относятся: обобщение и развитие классических утверждений о дифференцируемых по Коши или интегрируемых по Риману функциях; построение новых теорий дифференциального исчисления функций, альтернативных принятому в классическом анализе, – в терминах l-производной, в терминах односторонних производных, в терминах только одной из односторонних производных и др.; изучение негладких функций; разработка ключевых и теоретических задач, отрабатывающих свойства дифференцируемых и интегрируемых функций; применение методов анализа в тематике, восходящей к теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций, к неравенству Иенсена и его обобщениям; решение задач теории неравенств и теории средних величин, в том числе, открытых вопросов, связанных с неравенствами Коши, Бернулли, Гюйгенса, Ки Фана, Альцера и их обобщениями; рассмотрение методов классического анализа в вопросах функционального анализа; осмысление школьных начал анализа с точки зрения высшей математики.
6. Указаны конкретные направления реализации деятельностных концепций работы с определениями фундаментальных понятий и принципиальными теоремами курса дифференциального и интегрального исчисления для студентов педвуза.
7. Обоснован новый эффективный подход к изучению со студентами основных положений дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, использующий определение дифференцируемости функции по Каратеодори. Этот подход является синтезом алгебраического, геометрического и аналитического методов исследования функций. Он предполагает при установлении основных теорем дифференциального исчисления, в отличие от традиционного подхода Коши, использование не операции предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что открывает перспективу его применения в обучении началам анализа школьников.
8. Вскрыт образовательный потенциал неравенств и выпуклых функций в вопросе обучения будущих учителей основам анализа и математике в целом. Показаны возможности неравенств и выпуклых функций в использовании их учителями при организации и проведении внеклассной работы по предмету в старших классах, руководителями и участниками студенческих математических кружков, вузовскими преподавателями при организации научно-исследовательской работы студентов.
9. Созданные в ходе исследования учебно-методические материалы могут быть использованы преподавателями педвузов и университетов при изложении курса математического анализа, а также организации спецкурсов и спецсеминаров, связанных с отдельными вопросами математического анализа и методики его преподавания. Материалы исследования могут быть также использованы преподавателями различных математических дисциплин в педвузах и учителями общеобразовательных школ при разработке факультативных и элективных курсов, во внеклассной работе по математике.
Результаты исследования используются в учебном процессе ВятГГУ и других вузов, в частности, Коми государственного педагогического института, о чем свидетельствует справка № 01/268 от 16.03.2009, подписанная ректором и заведующим кафедрой математического анализа этого института. Кроме того, материалы исследования нашли применение в разработке ряда программ и учебных пособий по математике для учителей и учащихся школ г. Кирова и Кировской области, что подтверждает справка № 01–11 от 11.03.2009 о внедрении результатов диссертационного исследования, подписанная главой Департамента образования Правительства Кировской области.
Проведенное теоретическое исследование и его экспериментальная проверка позволяют заключить, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждена, выносимые на защиту положения обоснованы.