Составила Надежда Владимировна Кузяева, учитель математики п. Уренгой 2006-2007 учебный год пояснительная записка

Вид материала

Содержание

Урок 2 Тип урока :урок усвоения навыков и умений.
Структура урока
4. Проверка результатов
Урок 3 Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний..
Структура урока
Содержание урока
Урок 1 Тип урока
Структура урока
Урок 2 Тип урока
Дифференцированные цели
II уровень
Урок 1. Тип урока
Урок 2. Тип урока
Урок 3 Тип урока
Первых членов арифметической и геометрической прогрессий
II уровень
Урок 1. Тип урока

Подобный материал:

1 2 3

Задания текущего контроля усвоения выполняются учащимися последовательно.

I уровень:

1. Вставьте пропущенные слова: «Функцию вида y = f(x), где х

N, называют числовой ………………… . В математике обычно рассматриваются

………………………………. последовательности a₁, a₂, a₃, … , a_n_-1, a_n, …

(конечные; бесконечные)

Число a₁ называют ……………… членом последовательности, число a₂–………… членом последовательности и т. д. Число a_n называется n-м (читается ………………), n – номер энного члена.

Часто последовательность задается формулой, которая позволяет найти ………………………….. ее член.

(первый; любой)

Эту формулу называют формулой …………… члена последовательности.

2. Запишите седьмой член последовательности, заданной формулой a_n=

.

3. Иногда последовательность задается формулой, которая позволяет вычислить (n+1)-й член, если известен ………-й ее член. Такой способ задания последовательности называется ………………………. .

4. Числовая последовательность задана рекуррентной формулой a_n₊₁=2a_n+1. Вычислите седьмой член этой последовательности, если пятый равен 11.

Решение: По условию a₅=…….. . Рекуррентная формула позволяет найти …………………. член, а, зная шестой – найти интересующий нас …….;

a₆= 2•……..+………=………….;

a₇= 2•……..+………=…………. .

Ответ:…………

Выпишите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n-го члена b_n=2n – 1.
Имеется ли в данной 5) последовательности член, равный 61? Если да, то каков его номер?

II уровень:

Сформулируйте определение возрастающей последовательности.
Для последовательности 5) найдите b₁₀₀, b_k.
Найдите формулу n-го члена последовательности 4, 6, 8, 10, 12,…
Укажите номера отрицательных членов последовательности c_n=n²–49 и вычислите эти члены.

III уровень:

Задайте конечную последовательность формулой n-го члена

;

Последовательность задана формулой n-го члена y_n= n²+4n. Какие номера имеют члены этой последовательности, меньшие 200?
В последовательности (a_n) каждый член a_n равен остатку от деления n на 4. Найдите a₁, a₂₀, a₇₅, a₁₀₀₂.

Способ поверки результатов – взаимопроверка с ориентацией на правильные ответы, записанные на доске.

IV этап

Подведение итогов выполнения теста, выявление ошибок, общая оценка результатов выполнения в совместном обсуждении. В процессе подведения итогов (что узнали нового? что нужно знать на разных уровнях усвоения?) пополняются вопросами карманы I, II, III уровней на стенде «Это нужно знать».

Домашнее задание включает: 1) изучение § 15 (составить вопросы по тексту), 2) I уровень – №№ 381(а, б), 383(в), 391(а);

II уровень – №№; 382(а, б), 389(а), 392(а);

III уровень – №№ 385(а), 393, 402(в).

3) читать дополнительную литературу.

Предлагаются темы сообщений, и объявляется дата, к которой их необходимо подготовить.

Урок 2

Тип урока :урок усвоения навыков и умений.

Оборудование: учебник, задачник; карточки-тесты.

Форма проведения урока: индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих изученный материал.

Структура урока:

1. Подготовительный этап (проверка домашнего задания, тест-контроль, мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).

2. Закрепление изученного при решении задач.

3. Текущий контроль и проверка его результатов.

4. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап

1. Проверка домашнего задания (решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся в домашней работе I и II уровней, проверить решение заданий III уровня).

2. Задания для входного контроля-теста (повторение и систематизация изученного о последовательностях).

I уровень

1. Назовите члены последовательности (a_n), которые расположены между членами a₆₃₈ и a₆₄₅.

2. Последовательность y_n задана формулой n-го члена y_n=5n+1. Найдите y₁, y₄, y₂₀.

3. Перечислите пять первых членов последовательности (c_n), если c₁=1; c_n₊₁=3c_n^.

II уровень

4. Из данных последовательностей выберите

а) возрастающие; в) конечные;

б) убывающие; г) бесконечные:

1) 3, 6, 9, 12, 15;

2) -1, -2, -3, -4, -5, ...;

3) 1, 4, 9, 16, 25, ...;

4) 20, 16, 12, 8, 4.

5. Последовательность задана формулой a_n=2-3n. Является ли членом этой последовательности число 3?

III уровень

6. Последовательность задана формулой a_n=15+3n. Найдите номер члена последовательности, равного 36 (обведите правильный ответ).

а) 5; б) 17; в) 7; г) другой ответ.

7. Подберите формулу n-го члена последовательностей, заданных в п.4.

3. Возможные типичные ошибки и затруднения:

1) вычислительные; 2) в преобразованиях формул; 3) логические (составление формул n-го члена, определение свойств последовательностей).

Основные приемы коррекции — обучение применению соответствующих приемов преобразования выражений, вычислений.

4. Проверка результатов выполнения теста с помощью кодоскопа и коррекция (учащиеся сверяют свои ответы и отмечают недочеты и ошибки, устраняют их; каждое задание комментируется учащимися).

Примерные ответы учащихся:

1. Между a₆₃₈и a₆₄₅расположены следующие члены последовательности (a_n): a₆₃₉, a₆₄₀, a₆₄₁, a₆₄₂, a₆₄₃, a₆₄₄.

2. Чтобы найти первый член последовательности y_n=5n+1, нужно вместо n в формулу подставить 1 и выполнить вычисления: y₁=5∙1+1=6.

Аналогично находим y₄, y₂₀.

3. Последовательность задана рекуррентно; чтобы найти первые пять членов этой последовательности, нужно найти второй член и т.д.:

c₂=3∙c₁=3∙1=3;

c₃=3∙c₂=3∙3=9;

c₄=3∙c₃=3∙9=27;

c₅=3∙c₄=3∙27=81.

4. Среди данных последовательностей а) 1 и 3 возрастающие, т.к. с возрастанием номера увеличивается значение члена последовательности; б) 2 и 4 — убывающие, т.к. с возрастанием номера члена значения уменьшаются;

в) 1 и 4 — конечные, т.к. запись этих последовательностей не заканчивается многоточием; г) 2 и 3 — бесконечные, т.к. запись последовательностей может продолжаться.

5. Чтобы узнать, является ли число 3 членом последовательности a_n=2-3n, нужно подставить вместо a_n число 3 и решить уравнение 3=2-3n или

2-3n=3,

-3n=1,

n= - ⅓,

т.к. n

N, а в данном случае это условие не выполняется, то можно сделать вывод: в последовательности a_n=2-3n члена, равного 3, не существует.

6. Аналогично п.5: вместо a_n подставляем 36 и решаем уравнение 15+3n=36. Т.к. 7

N, то выбираем ответ в).

7. 1) 3n — последовательность чисел, кратных 3;

2) ..., -n, ... — последовательность чисел, противоположных натуральным;

3) ..., n², ... — последовательность квадратов натуральных чисел;

4) 24-4n — последовательность чисел, уменьшающихся на 4, первый член которой равен 20.

Дополнительные вопросы к ответам учащихся:

№1. Дайте определение члена последовательности.

№4. Сформулируйте определение возрастающей, убывающей последовательности.

II этап. Закрепление изученного при решении задач.

№ 373. Ответ: 1, 8, 27, 64, n³.

№ 378 в). Ответ: 0,5; 3/8; 0,3; 0,25; 3/14.

№ 383 г). Ответ: -3, 1, -3, 1, -3, 1.

№ 398 а). Ответ: п = 4.

№ 402 в). Ответ: начиная с 4-ого члена.

III этап.

Индивидуальное выполнение учебных заданий.

I уровень: №№ 374, 377(а), 380(а), 383(а), 399(а), 402(а);

II уровень: №№ 371, 379(а), 380(в), 383(б), 388(б), 399(в), 403(а);

III уровень: 372, 382(в, г), 384(а), 389(а), 399(г), 402(б).

Способ поверки результатов – взаимопроверка с ориентацией на правильные ответы, записанные на карточках.

IV этап. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

На отдельных листочках решить из домашней контрольной работы №4 на стр. 110-111 №1, №2 и №3; к ним добавить:

I уровень – № 398 (б);

II уровень – № 398 (в, г);

III уровень – № 400(а, б).

Урок 3

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний..

Оборудование: учебник, задачник; дидактические материалы для самостоятельной работы учащихся; карточки-тесты; таблица «Формула общего члена последовательности».

Форма проведения урока: беседа по вопросам, подготовленным учащимися; коллективное выполнение учебных заданий; индивидуальное выполнение тестовой работы, фронтальная проверка и коррекция.

Структура урока:

I Подготовительный этап (постановка целей урока, взаимоопрос, повторение и анализ основных фактов).

II. Закрепление изученного при решении задач.

Выполнение тестовой работы.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап Постановка целей урока; взаимоопрос по вопросам, подготовленными учащимися; с использованием настенной таблицы «Формула общего члена последовательности»; воспроизведение и коррекция опорных знаний.

II этап Закрепление изученного при решении более сложных задач.

№ 401. Постройте график последовательности.

Ответ: а) График состоит из точек прямой с абсциссами х=1, х=2, х=3 и т.д.; в) График состоит из точек параболы с абсциссами х=1, х=2, х=3 и т.д.

№ 391 б, г). В ходе рассуждений учащиеся записывают формулу п-го члена: б) ------------ ; г) ------------ .

№№ 404, 405 (устно).

III этап. Выполнение тестовой работы.

Тематический тест № 5 в четырех вариантах (стр.104-107 пособия «Алгебра: тесты для 7-9 кл.»). В любом тестовом задании следует выбрать правильный ответ из четырех предложенных. Тест рассчитан на 15-20 минут.

IV этап. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

В рабочей тетради с печатной основой выполнить №№ 41,42, 44.

Тема: ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ (2 часа)

Дифференцированные цели:

1	Учебные	I уровень	II уровень	III уровень
	Знание	Ученик знает
		термины: арифме-тическая прогрессия, разность, геометрии-ческая прогрессия, знаменатель; способ задания прогрессий	определения ариф-метической и гео-метрической прог-рессий, разности и знаменателя; харак-теристические свой-ства прогрессий; классификацию	доказательство характеристических свойств прогрессий; способы задания прогрессий; общее и различное у арифметической и геометрической прогрессий
	Понимание	Ученик
		узнает арифмети-ческую и геометри-ческую прогрессии и их обозначение; отличает одну про-грессию от другой; приводит примеры	читает символичес-кие обозначения словами и обратно; приводит контрпри-меры; подводит под понятие и свойства прогрессий	переходит от одного способа задания прогрессии к друго-му; выводит следствия из общих свойств прогрессий
	Умения	Ученик
		записывает прогрес-сии, заданные фор-мулами; по опреде-лению находит члены прогрессий	решает стандартные задачи, связанные с определением про-грессий и их харак-теристическими свойствами	доказывает характе-ристические свой-ства прогрессий; решает нестандарт-ные задачи
2	Развивающие	Ученик
	сравнение	находит общее и различное в опреде-лении прогрессий и в задающих их формулах	сравнивает прогрес-сии, их свойства, формулы, приемы решения задач	находит общие закономерности и различные основания для сравнения прогрессий
	конкретиза-ция	приводит примеры изученных прогрессий	придумывает при-меры прогрессий	придумывает при-меры прогрессий с заданным свойством
	речь	правильно произно-сит термины, делает записи в тетради, задает вопросы и отвечает на них по образцу или с по-мощью извне	формулирует опре-деления и свойства, делает записи в тетради, задает вопросы и отвечает на них, используя приемы учебной деятельности	свободно разъясняет прием и ход решения задач, задает вопросы, оценивает правильность речи своей и других
	умение учиться	работает с учебни-ком и решает учебные задачи с помощью учителя, других учащихся или "памяток"	работает с учебни-ком и решает учебные задачи с использованием частных приемов учебной деятельнос-ти, ориентируясь на взаимоконтроль	работает с учебни-ком и решает учебные задачи самостоятель-но с использованием обобщенных приемов учебной деятельнос-ти, ориентируясь на самоконтроль
3	Воспита-тельные	в групповой работе — умение слушать, участие в обсужде-нии заданий, целей и способов их выполнения	Совместная работа по анализу задания и поиску способа выполнения; взаим-ная проверка пони-мания задания и способа выполнения	выдвижение пред-ложений о порядке работы над зада-нием и способах выпол-нения, анализ; бы-строта переключения с индивидуальной работы на групповое обсуждение

Урок 1

Тип урока: урок изучения нового.

Оборудование: учебники; карточки-задания (по методике взаимопередач тем)

Форма проведения урока: коллективная работа на уроке по методике взаимопередачи тем (МВТ); индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Структура урока:

I. Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока).

II. Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление.

III. Текущий контроль и проверка его результатов.

IV. Подведение итогов урока, постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап

1. Даны последовательности, заданные таблично:

1. 2, 4, 6, 8, 10, ...

2. 1, 3, 9, 27, 81, ...

3. 1, 2, 5, 10, 13, 26, ...

Задание: исключите "лишнюю" последовательность.

Учащиеся делают вывод, что "лишней" является последовательность 3, т.к. первую последовательность получили прибавлением одного и того же числа, а вторую — умножением на одно и то же число.

Сообщается, что это последовательности особого вида, их называют прогрессиями. Сегодня состоится ваше первое знакомство с ними.

Далее определяются учебные цели урока.

2. Ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке.

Учитель разъясняет порядок дальнейшей работы: в парах сменного состава по методике взаимопередачи тем.

II этап

Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление организуются с помощью карточек.

КРАСНЫЙ

СИНИЙ

Iчасть

1. Откройте учебник на стр. 134.

2. Прочитайте определение.

3. Запишите рекуррентную формулу задания арифметической прогрессии.

4. Как называется число d?

5. Рассмотрите последовательности

1, 3, 5, 7, ...

16, 12, 8, 4, ...

5, 5, 5, 5, ...

Найдите разность.

6. Запишите арифметические прогрессии,

если a₁=4, d=5:

a₁=4, d= -5:

a₁=4, d=0.

Определите свойства и сделайте выводы о том, как ведет себя арифметическая прогрессия при d>0, d<0, d=0.

7. Запомните, как обозначается арифметическая последовательность.

8. Самостоятельно выполните задания:

а) № 409 (а,б)

б) Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями:

1, 5, 9, ... , a_n, a_n+4, ...

1, 2, 3, 4.

-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...

0, -5, ..., a_n , a_n -5 , ...

a₁, a₁+d, a₂+d, ... , a_n-1+d , ...

Проверьте результаты друг у друга в паре.

II часть

Рассмотрите прогрессию

16, 12, 8, 4, 0, ... , a_n_-1 , a_n , a_n₊₁ , ...

Сложите первый и третий члены, разделите сумму на 2;

сложите второй и четвертый члены, разделите сумму на 2;

сложите третий и пятый члены, разделите сумму на 2.

Сделайте вывод и запишите формулу характеристического свойства арифметической прогрессии

a_n=

— среднее арифметическое.

Сравните свои результаты с текстом учебника (стр. 144).

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Найдите себе партнера по другому цветовому сигналу. Проработайте с ним I часть своей карточки, ваш партнер проработает с вами I часть своей карточки. Сравните определения, свойства прогрессий; сделайте выводы.

оформите результаты работы в тетради опорных конспектов в виде таблицы, оформленной на доске.

Проработайте самостоятельно II часть карточки партнера, проверьте результаты друг у друга.

I часть

1. Откройте учебник на стр. 145.

2. Прочитайте определение.

3. Запишите рекуррентную формулу задания геометрической прогрессии.

4. Как называется число q?

5. Рассмотрите последовательности

2, 6, 18, 162, ...

80, -40, 20, -10, 5, ...

5, 5, 5, 5, ...

Найдите знаменатель.

6. Запишите геометрические прогрессии,

если b₁=2, q=3;

b₁=2, q=⅓;

b₁=2, q=1.

Определите свойства прогрессии при и сделайте выводы о том, как ведет себя геометрическая при b₁>0 и 01.

7. Запомните, как обозначается геометрическая последовательность.

8. Самостоятельно выполните задания:

а) № 476 (а,б)

б) Какие из последовательностей являются геометрическими прогрессиями:

-2000, -400, -80, -16, ...

3, 9, ... , a_n , 3∙a_n , ...

Проверьте результаты друг у друга в паре.

II часть

Рассмотрите прогрессию

2, 4, 8, 16, ... , b_n_-1, b_n, b_n₊₁, ...

Умножьте первый и третий члены, возведите в квадрат второй;

умножьте второй и четвертый члены, возведите в квадрат третий;

умножьте третий и пятый члены, возведите в квадрат четвертый.

Сделайте вывод и запишите формулу характеристического свойства геометрической прогрессии

b_n^⁭=...... ∙ ......

| b_n |=

— среднее геометрическое.

Сравните свои результаты с текстом учебника (стр. 154 - 155).

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Найдите себе партнера по другому цветовому сигналу. Проработайте с ним I часть своей карточки, ваш партнер проработает с вами I часть своей карточки. Сравните определения, свойства прогрессий; сделайте выводы.

оформите результаты работы в тетради опорных конспектов в виде таблицы, оформленной на доске.

Проработайте самостоятельно II часть карточки партнера, проверьте результаты друг у друга.

Оформленная на доске таблица заносится учащимися в тетрадь опорных конспектов и заполняется уже известные им факты.

Характеристика свойства	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
1. Определение, обозначение 2.Рекуррентная формула 3.Характеристическое свойство 4. Формула n-го (общего) члена 5. Формула суммы n первых членов

Если пары закончили работу раньше остальных, то они выполняют дополнительное задание:

Является ли последовательность арифметической или геометрической прогрессией. Определите, найдя d или q:

а) 10, 14, 18, 22, ...

б) ¹∕₂ , 1, 2, 4, ...

в) 1600, -800, -400, 200, ...

г) 3, 3, 3, 3, ...

Проверьте утверждения с помощью характеристических свойств прогрессий.

III этап

1. Задания для текущего контроля усвоения (в двух вариантах).

I уровень:

1. Вставьте пропущенные слова в формулировку определения арифметической (геометрической) прогрессии.

2. Среди предлагаемых формул выберите (подчеркните) те, которые характеризуют геометрическую (арифметическую) прогрессию:

а) y_n=3n+4; в) a₁=1, a_n₊₁=a_n+5;

б) x_n=(-2)ⁿ; г) b₁=1, b_n₊₁=b_n∙ 0,5.

3.Среди некоторых последовательностей, заданных рекуррентно, найдите арифметические и геометрические прогрессии; укажите разность арифметической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии:

а) a₁= -3, a_n+1= -a_n; в) c₁=1, c_n+1=c_n÷0,1;

б) b₁= -3, b_n+1=2+b_n; г) u₁=1, u _n+1=u _n - 10.

4. Найдите среднее арифметическое двух данных чисел.

5. Найдите среднее геометрическое двух данных чисел.

6. Проверьте, обладают ли члены следующих прогрессий сформулированными свойствами:

а)

, 1 , 2, 4, …

б) 3, 13, 23, 33, ...

в) 3, 30, 300, 3000, ...

II уровень:

7. Сформулируйте определение геометрической (арифметической) прогрессии.

8. Найдите пятый и шестой члены прогрессии:

а) 2,4; 3; 3,6; 4,2; ...

б) 48; 72; 108; 162; ...

9. Зная разность d и пятый член арифметической прогрессии, найдите первые семь членов этой прогрессии: a₅=30,5 , d= -2,5.

10. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если известны ее знаменатель и третий член: b₃=80, q=¹∕₂.

III уровень:

11. Докажите с помощью характеристического свойства, что последовательность является

а) арифметической прогрессией: x_n= 3n + 12 ;

б) геометрической прогрессией: y_n=2∙3ⁿ.

12. Дана конечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.

Является ли арифметической прогрессией последовательность

а) a₁, a₃, a₅;

б) 3a₁, 3a₂, 3a₃, 3a₄, 3a₅.

В случае утвердительного ответа укажите ее разность.

13. Величины углов выпуклого четырехугольника образуют

а) арифметическую прогрессию с разностью 42º;

б) геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2.

Найдите углы этого четырехугольника.

2. Способ проверки результатов — с помощью кодоскопа.

IV этап

1. Подведение итогов выполнения теста, выявление ошибок, общая оценка результатов выполнения в совместном обсуждении.

2. В процессе обобщения изученного на уроке материала заполняем вопросами стенд:

I уровень: — способы задания прогрессий;

— привести примеры прогрессий;

— в чем отличие и в чем сходство арифметической и геометрической прогрессий;

— как найти разность и знаменатель прогрессий.

II уровень: — дать определение прогрессий;

— дать определение характеристических свойств прогрессий;

— записать прогрессию с заданными свойствами;

─ какой функцией можно рассматривать арифметическую прогрессию.

III уровень: — доказать, что последовательность является прогрессией;

— перейти от одного способа задания прогрессии к другому.

3. Постановка домашнего задания: 1) изучение основного материала по учебнику (§15, п.1,4, §16, п.1,4) и записям в тетради опорных конспектов;

2) I уровень №№ 408(а, б), 476(в, г), 483(в), 449;

II уровень №№ 408(в, г), 414, 477, 449;

III уровень №№ 410(а, б), 413, 478, 473, 508.

Урок 2

Тип урока: урок-практикум.

Оборудование: учебник, задачник; карточки-задания для самостоятельной работы учащихся.

Форма проведения урока: коллективное и индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка.

Структура урока:

Подготовительный этап (проверка домашнего задания, выявление целей урока).
Закрепление изученного при решении задач.
Самостоятельная работа и проверка ее результатов.
Подведение итогов урока, постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап. Проверка домашнего задания (три ученика оформляют решение домашнего задания на доске, другие учащиеся отвечают на вопросы, помещенные в кармашках стенда «Это нужно знать …»: 4 вопроса I-го уровня, или 2 вопроса II-го уровня и 1 вопрос I-го уровня, или 1 вопрос III-го уровня и 1 вопрос I-го уровня), учителем проверяется выполнение домашнего задания III-го уровня. Выявление целей урока и их формулирование учениками.

II этап. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить № 415 (устно).

2. Далее приводятся примеры решения задач: пример 9 на стр.145, пример 10, 11 на стр. 156 (фронтальная работа с учащимися).

3. №№ 410 (в, г); 445(а), 448, 476(в, г), 483(а, б), 509.

№ 445 решить устно, используя характеристическое свойство арифметической прогрессии. [а) 61, б) 10, в) 8, г) -1 ].

№ 447 (б) с комментированием на месте.

Если а₁₄ + а₁₆= -20, то а₁₅= -20 : 2 = -10;

если а₂₉ + а₃₁ = 40, то а₃₀ = 40 : 2 = 20;

найдем а₁₅+ а₃₀ = -10 + 20 = 10. Ответ: 10.

№ 448 решить на доске и в тетрадях.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, заданные выражения должны удовлетворять соотношению 2х - 1 =

; 2х – 1 = 3х; х = -1. Ответ: -1.

№ 509 решить на доске и в тетрадях.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

(√3х)² = 6х (х - 1); 3х = 6х² - 6х; 6х² - 9х = 0; 3х (2х - 3) = 0; 3х = 0 или 2х – 3 = 0; х = 0 или х = 1,5.

Подставляя х = 0 в заданные выражения, находим соответственно -1; 0; 0 – это не геометрическая прогрессия.

Подставляя х = 1,5, находим: 0,5; √4,5; 9 – это конечная геометрическая прогрессия со знаменателем q = 3√2.

Ответ: 1,5.

III этап. Самостоятельная групповая работа:

1 группа. При каких значениях х числа х² - 3, 2х² + 1 и х⁴ + 1, взятые в указанном порядке, являются последовательными членами арифметической прогрессии?

2 группа. При каких значениях х числа х,

, х – 5, взятые в указанном порядке, являются последовательными членами геометрической прогрессии?

3 группа. . При каких значениях х числа х,

, взятые в указанном порядке, являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Решение оформляется на доске, обсуждаются этапы решения уравнений записью в тетрадь.

IV этап. Подведение итогов урока, постановка домашнего задания.

I уровень №№ 479(а, б), 481(а, б), 507;

II уровень №№ 480(а, б), 482(в, г), 507;

III уровень №№ 480(в, г), 482(а, б), 474.

Тема: ФОРМУЛА ОБЩЕГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ (2 часа)

Дифференцированные цели:

1	Учебные	I уровень	II уровень	III уровень
	Знание	Ученик знает
		способ задания прогрессий форму-лой n-го члена; алгоритм отыскания членов прогрессий по формуле общего члена	приемы отыскания членов прогрессий на основе заданных условий	доказательство формул общего члена прогрессий методом матема-тической индук-ции различные способы задания прогрессий; общее и различное у прогрессий
	Понимание	Ученик
		узнает и различает формулы общего члена прогрессий; воспроизводит запись формул; приводит примеры	интерпретирует словесный материал, используя символы; приводит контр-примеры; выделяет ситуации применимости формул	преобразует сло-весный материал, используя обоб-щенные связи; выводит следствия
	Умения	Ученик
		решать простейшие задачи на нахож-дение членов прогрессий по образцу	решать типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно используя алгоритмы, справочные материалы	решать типовые и прикладные задачи в нестандартных ситуациях, само-стоятельно используя обобщенные приемы; прово-дить несложные самостоятельные исследования
	Развивающие	Ученик проявляет
	сравнение	находит общее и различное в формулах, задающих прогрессии	устанавливает сходство и различие между прогрессиями в задании формулой общего члена	находит общие закономерности и различные основания для сравнения прогрессий
	конкретизация	приводит примеры изученных прогрессий	придумывает примеры прогрессий	придумывает примеры прогрессий с заданными условиями
	элементы творческой деятельности	любознательность	интуицию	оригинальность мышления; вкус к поиску закономерностей
	Воспитательные	Ученик проявляет
	воспитание интереса	интерес к отдель-ным (заниматель-ным) задачам	устойчивый интерес к содержанию темы	интерес к способам учебной деятельности
	культура общения	знание простейших норм общения со взрослыми и сверстниками; умение слушать, участвовать в обсуждении	способность к взаимопомощи, совместной деятельности	эрудиция, активность, способность к самовыражению

Урок 1.

Тип урока: урок изучения нового.

Оборудование: учебники; разноуровневые дидактические материалы по алгебре для самостоятельной работы учащихся; карточки-задания для коррекционной работы учащихся; настенные таблицы «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия»; [29], [47].

Форма проведения урока: лекция с элементами самостоятельной исследовательской работы; групповая работа; индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка и коррекция.

Структура урока:

Подготовительный этап (входной контроль, мотивация изучения нового материала).
Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление.
Текущий контроль и проверка его результатов.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап

1. Задания для входного контроля.

1. Найдите разность арифметической прогрессии

a_n: 2, 4, 6, …

x_n: 8, 8, 8, …

2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии

b_n: 27, 9, 3, …

y_n: 0,4; 0,8; 1,6; …

3. Три числа -2, а, 6 образуют арифметическую прогрессию. Найдите а.

4. Три числа 5, b, 20 образуют геометрическую прогрессию. Найдите b.

5. Арифметическая прогрессия задана рекуррентной формулой a₁=3, a_n₊₁=3+a_n. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

2. Возможные ошибки и затруднения: 1) в нахождении разности знаменателя прогрессий; 2) применении характеристических свойств прогрессий; 3) вычислительные.

Основные приемы коррекции — индивидуальные консультации учителя или ученика, использование «памяток».

3. Проверка и коррекция результатов выполнения основных заданий.

Учащиеся сверяют выполнение домашнего задания с записанным на доске, отмечают недочеты и исправляют ошибки. Взаимоконтроль заданий для входного контроля.

Выполняя 5) задание учащиеся должны были заметить, что рекуррентный способ задания не удобен для нахождения членов последовательностей, поэтому необходимо получить более удобную формулу. Отсюда следуют учебные цели урока.

II этап

1. Изучение нового материала организуется в процессе решения задачи.

Джентльмен получил наследство. В первый месяц он истратил 100 $, а в каждый следующий месяц он тратил на 50 $ больше, чем в предыдущий. Сколько долларов он истратил за десятый месяц?

Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

a₁=100;

a₂=100+50=150;

a₃=(100+50)+50=100+2•50=200;

a₄=(100+2•50)+50=100+3•50=250;

a₅=(100+3•50)+50=100+4•50=300;

……………………………………

a₁₀=100+9•50=550;

……………………………………

a_n=100+(n-1)•50

Мы подметили закономерность, которая позволила получить формулу n-го члена арифметической прогрессии. Запишем вывод формулы общего члена для произвольной арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
a₁, d a₂= a₁+d , a₃= a₂+d= (a₁+d)+d= a₁+2d , a₄= a₃+d= (a₂+d)+d= a₁+3d ………………………… Заметим, что каждый раз к первому члену прибавляется произведение разности d и числа, на 1 меньшего, чем номер определяемого члена. Получаем формулу a_n= a₁+ d(n-1)
a_n= a₁+dn – d= dn+ (a₁ - d) a_n= dn + b таким образом, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию натурального аргумента.

Аналогичным образом учащиеся выводят формулу общего члена геометрической прогрессии и заполняют таблицу.

Задача: Рост дрожжевых клеток происходит в результате деления каждой на две части. Сколько дрожжевых клеток образовалось в результате десятикратного их деления, если первоначально она была одна.

Задания: а) запишите решение задачи в тетрадь, б) задайте последовательность рекуррентной формулой, в) выведите формулу общего члена для произвольной геометрической прогрессии, опираясь на предыдущие рассуждения, по аналогии с выводом формулы общего члена арифметической прогрессии, г) в тетрадь опорных конспектов занести формулы общих членов прогрессий.

В процессе решения примерных задач данного параграфа выводят производные формулы: разности, знаменателя.

2. Далее учащиеся работают в группах.

I уровень:

1. В арифметической прогрессии (a_n) известны a₁= -3,4 и d=3. Найдите:

а) a₅ , б) a₁₁ , в) a_n₊₁ .

Ответ: а) 8,6; б) 26,6; в) -3,4+3n.

2. Последовательность (a_n) — геометрическая прогрессия, в которой a₁= 3,5 ,q= -2. Найдите: а) a₃ , б) a₆ , в) a_n₊₁ .

Ответ: а) 14; б) -112; в) -3,5(-2)ⁿ.

3. Последовательность (c_n) — арифметическая прогрессия. Найдите d, если известно, что c₁= 4, c₁₅=48.

Ответ: d=3

.

4. Между числами 2 и 162 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

Указание: найдите q, учитывая, что a₁=2, a₅=162,

2 • • • 162.

Ответ: искомые числа 6, 18, 54 или -6, 18, -54.

II уровень:

1. В арифметической прогрессии (b_n) известны b₁=17,5 и d= -3,5. Является ли данное число членом прогрессии и если является, то каков номер этого члена: а) 21, б) 7, в) 49.

2. Последовательность (a_n) — геометрическая прогрессия, в которой a₁= -243, q= -

. Найдите: а) a₄ , б) a₇ , в) a_n₊₁.

Ответ: а) 9, б) -

, в) -243•(-

)ⁿ.

3. В арифметической прогрессии (c_n) известны c₇= -6 , c₁₁= -12.

Найдите c₁ и d.

Ответ: c₁=3, d= -1,5.

4. Между числами

и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе составили геометрическую прогрессию.

Указания:

• • • 196.

Ответ: искомые числа

; 4 ; 28 или -

; 4 ; -28.

III уровень:

Формулу мы прочувствовали, но не обосновали. Приведите строгое доказательство истинности формул методом математической индукции (предварительно было проведено индивидуальное занятие с учащимися о математическом методе доказательств математических предложений — методе математической индукции).

Формула общего члена арифметической прогрессии

Формула общего члена геометрической прогрессии

1. n=1

a₁=a₁+d(1-1)=a₁ — верно

2. пусть при n=k формула верна, т.е. a_k=a₁+d(k-1)/].

3. докажем, что при n=k+1 формула тоже верна, т.е. a_k=a₁+(k+1-1)d=a₁+kd.

По определению арифметической прогрессии a_k₊₁=a_k+d

a_k+1=a_k+d=(a₁+(k-1)d)+d=a₁+kd- -d+d=a₁+kd

следовательно, формула общего чле-на арифметической прогрессии верна для любого натурального числа n

1. Между числами 27 и 63 вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составят арифметическую прогрессию.

2. Найдите положительные значения x, при которых последовательность чисел 2x-1 , 4x+7 , 16x+1 является геометрической прогрессией.

Один ученик из группы выполняет один из номеров на доске, идет обсуждение правильности выполнения заданий.

3. Задания на развитие логического мышления:

1. Вставьте пропущенное число

8281 —— 8461 —— ? —— 8821 —— 9001

2. Просчитайте количество треугольников в фигуре

3. Вставьте пропущенное число

3, 9, 27

2, 6, 18

4, ?

4. Для учащихся, которые затруднялись в выполнении заданий I или II уровня, предлагаются карточки-задания. Справившимся учащимся предлагаются дополнительные задания: №№ 412, 420(в, г), 484.

III этап

1. Задания для текущего контроля (математический диктант записан на аудиокассету: первый вариант — мужской голос, второй вариант — женский. Учащиеся выполняют диктант под копирку).

1. У арифметической прогрессии первый член 4 [6], второй член 6 [2]. Найдите разность d.

2. У арифметической прогрессии первый член 6 [4], второй член 2 [6]. Найдите третий член.

3. У геометрической прогрессии первый член 8 [9], второй член 4 [3]. Найдите знаменатель q.

4. У геометрической прогрессии первый член 9 [8], второй член 3 [4]. Найдите третий член.

5. Найдите десятый [восьмой] член арифметической прогрессии, если первый ее член равен 1, а разность d равна 4 [5].

6. Найдите четвертый [шестой] член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель q равен -2.

7. Является ли последовательность четных [нечетных] чисел арифметической прогрессией?

8. Является ли последовательность степеней числа 2 [3] геометрической прогрессией?

9. Является ли последовательность простых чисел арифметической [геометрической] прогрессией?

2. Способ проверки результатов — самопроверка с ориентацией на правильные ответы, записанные на доске учителем.

IV этап

1. Подведение итогов математического диктанта, выявление ошибок, общая оценка результатов выполнения в совместном обсуждении.

Заполняем карманы стенда «Это нужно знать …» вопросами:

I уровень — записать формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий;

— привести примеры прогрессий, заданных формулой общего члена;

II уровень — может ли n в формуле, задающей прогрессию, быть числом отрицательным? дробным?

— выведите неизвестное из формулы общего члена;

III уровень — доказать истинность формул общего члена прогрессий.

2. Домашнее задание: а) изучение нового материала по учебнику (§15, п.2, пр. 4, §16, п.2, пр. 6); примеры оформить в тетради, составить вопросы по тексту учебника.

б) I уровень №№ 418(а, б), 490(а, в);

II уровень №№ 418(в, г), 491(а, б);

III уровень №№ 419(а, б), 490(б, г).

Урок 2.

Тип урока: урок-практикум.

Оборудование: учебник задачник; настенные таблицы «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».

Форма проведения урока: индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка и коррекция.

Структура урока:

Подготовительный этап (проверка выполнения домашнего задания, мотивация изучения темы)
Закрепление изученного материала при решении задач.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап

1. Проверка выполнения домашнего задания.

2. Сообщение учащимися исторического материала:

доклад «О прогрессиях»

II этап

1. Решить № 423 (устно). а) а₁ = 1, d = 3; б) а₁ = -1⅓, d = -⅓;

в) а₁ = 2,9, d = -0,1; г) а₁ = 3, d = -2.

2. Решить №№ 424(б), 426(б), 428(г), 433(г), 485(б), 489(в), 496(в).

III этап

1. Подведение итогов урока.

Характеристика свойства	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
1. Определение, обозначение 2.Рекуррентная формула 3.Характеристическое свойство 4. Формула n-го (общего) члена 5. Формула суммы n первых членов

В таблицу заносятся известные формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий.

2. Домашнее задание: повторение теоретического материала (§15, п.2, §16, п.2); I уровень №№ 424(а), 428(а), 491(в);

II уровень №№ 425(а), 428(в), 485(а);

III уровень №№ 427(а), 429(б, г), 487(а).

Урок 3

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: учебник, задачник; карточки-задания для коррекционной работы учащихся; настенные таблицы «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».

Форма проведения урока: групповая работа; индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка и коррекция.

Структура урока:

Подготовительный этап (входной контроль, мотивация изучения материала).
Закрепление изученного в форме групповой работы.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап Подготовительный этап

1. Собрать РТ для проверки домашнего задания.

2. Математический диктант:

1. Запишите формулу, по которой можно найти неизвестный 25-й член арифметической прогрессии, если известен предыдущий член и разность.

2. Вычислите 7-й член геометрической прогрессии, если известно, что 6-й член равен 50, а знаменатель 0,1.

3. Запишите формулу по которой можно вычислить 37-й член геометрической прогрессии, если вам известен первый член и знаменатель.

4. Запишите формулу, по которой можно найти неизвестный 16-й член арифметической прогрессии, если известен первый член и разность.

5. Вычислите 6-й член геометрической прогрессии, если ее первый член 3, а знаменатель равен 2.

6. Найдите первый член арифметической прогрессии, если ее десятый член равен 5, а разность 4.

7. Запишите формулу для нахождения первого члена геометрической прогрессии, если известен п-й член и знаменатель.

8. Выразите разность арифметической прогрессии из рекуррентного правила.

9. Выразите разность из формулы п-го члена арифметической прогрессии.

10. Выразите знаменатель геометрической прогрессии из рекуррентного правила.

11. Выразите знаменатель из формулы п-го члена геометрической прогрессии.

Взаимопроверка ответов в парах и выставление оценок.

Критерии оценок:

5 -6 правильно выполненных заданий выставляется отметка «3»;

7 – 8 заданий выставляется отметка «4»;

9 -10 заданий выставляется отметка «5».

II этап

После обсуждения результатов математического диктанта учащиеся разбиваются на четыре группы:

1 группа: готовит опорный сигнал по теме «Арифметическая прогрессия»;

2 группа: готовит опорный сигнал по теме «Геометрическая прогрессия»;

3 группа: делает разбор задач по теме «Арифметическая прогрессия» (№№(а) 431, 432, 460, 461);

4 группа: делает разбор задач по теме «Геометрическая прогрессия» (№№(а) 488, 493, 511).

По завершении работы спикеры каждой группы обходят по очереди остальные группы.

III этап

Подведение итогов работы в группах, оценка своей деятельности учащимися. Те учащиеся, которые плохо справляются с заданиями получают в качестве домашней работы карточки-задания для коррекционной работы. Для остальных учащихся домашнее задание: РТ №№ 47,48, 52.

Тема: ФОРМУЛА СУММЫ n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ

Дифференцированные цели:

1	Учебные	I уровень	II уровень	III уровень
	Знание	Ученик знает
		формулы суммы n первых членов; частные приемы нахождения суммы n первых членов прогрессий	дополнительные формулы суммы n первых членов прогрессий, обобщенные приемы решения задач; основные области приложения прогрессий	частные приемы решения прикладных задач; различные области приложения последовательностей
	Понимание	Ученик
		узнает и различает формулы суммы n первых членов прогрессий; знает правила и алгоритмы реше-ния простейших задач; приводит примеры	интерпретирует словесный материал, используя символы; выделяет ситуации применимости формул	преобразует словес-ный материал, используя обобщен-ные связи; выводит следствия; пере-страивает известные и находит новые приемы решения типовых и прикладных задач
	Умения	Ученик
		решать по образцу простейшие задачи на нахождение суммы n первых членов прогрессий; находить в учебнике ответы и вопросы по тексту с помощью извне или по образцу	решать типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно используя алгоритмы, справочные материалы	решать типовые и прикладные задачи в нестандартных ситу-ациях, самостоя-тельно используя обобщенные приемы; моделировать с помощью прогрессий реальные ситуации; составлять задачи на применение прогрессий
	Развивающие	Ученик проявляет
	сравнение	находит общее и различное в формулах суммы n первых членов прогрессий;	устанавливает сходство и различие между формулами суммы n первых членов прогрессий;	находит общие закономерности и различные основания для сравнения прогрессий
	конкретизация	приводит примеры	придумывает примеры	придумывает примеры с заданными условиями
	элементы творческой деятельности	любознательность	интуицию	оригинальность мышления; вкус к поиску закономерностей
	Воспитательные	Ученик проявляет
	воспитание интереса	интерес к отдель-ным (заниматель-ным) задачам	устойчивый интерес к содержанию темы	интерес к способам учебной деятельности
	культура общения	знание простейших норм общения со взрослыми и сверстниками; умение слушать, участвовать в обсуждении	способность к взаимопомощи, совместной деятельности	эрудиция, активность, способность к самовыражению

Урок 1.

Тип урока: урок изучения нового.

Оборудование: учебник, задачник; популярная литература по математике, включающая задачи занимательного и прикладного характера; настенные таблицы «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».

Форма проведения урока: лекция с элементами самостоятельной исследовательской работы; групповая работа; индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка и коррекция.

Структура урока:

Подготовительный этап (мотивация изучения нового материала).
Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление.
Текущий контроль и проверка его результатов.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Содержание урока:

I этап Постановка проблемы.

Решить задачу: «Поезд «Новый Уренгой – Тюмень», отойдя от станции Коротчаево, равномерно увеличивал скорость и проезжал каждую минуту на 40 м больше, чем в предыдущую. На какое расстояние отошел поезд от станции Коротчаево за 20 мин?»

II этап

1. Учащиеся разбиваются на группы по познавательному интересу.

1 группа получает карточку:

Карточка 1

Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

1. найдите суммы 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т.д.;

2. сравните их;

3. сколько пар чисел получилось?

4. как теперь найти сумму чисел?

5. подумайте и запишите формулу нахождения суммы.

2 группа получает карточку:

Blog

Составила Надежда Владимировна Кузяева, учитель математики п. Уренгой 2006-2007 учебный год пояснительная записка

Содержание