Лекция №2 Прикладная математика
Вид материала | Лекция |
СодержаниеОперации над матрицами Транспонированная матрица |
- «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
- Рабочая программа, 182.62kb.
- Рабочая программа, 160.99kb.
- Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
- Цифровая обработка сигналов, 137.86kb.
- Проект постановление ученого совета сгту по вопросу: «О переименовании кафедры «Прикладная, 8.11kb.
- Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
- «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
- Рабочая программа дисциплины прикладная математика (Наименование дисциплины), 188.06kb.
- Программа вступительного экзамена вмагистратуру по направлению 010400 "прикладная, 204.27kb.
Лекция №2 Прикладная математика
Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел


Данная матрица имеет m строк и n столбцов,

Опр. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то ее называют матрицей размерности

Опр. Если m=n, то матрица называется квадратной. Если

Опр. Матрица размерности




В дальнейшем будем рассматривать в основном квадратные матрицы.
Опр. Элементы



Опр. Квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы равны нулю, называется диагональной

Опр. Диагональная матрица, у которой все элементы равны единице, называется единичной

Операции над матрицами
Опр. Матрицы A и B одной размерности называется равными, если

Опр. Суммой (разностью) матриц A и B одной размерности называется матрица C той же размерности, если


C=A+B (C=A–B).
Опр. Произведением матрицы A на число α называется матрица C той же размерности, если


Опр. Произведением матрицы A размерности





Таким образом, чтобы найти элемент


i-ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.
Замечание. Произведение прямоугольных матриц определено лишь в случае, когда число столбцов у матрицы A равно числу строк у матрицы B. Произведение квадратных матриц одной размерности определено всегда.
Примеры



Произведение матрицы на вектор есть вектор.
Свойства произведения матриц (если оно определено)
-
-
- В общем случае:
Опр. Если

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей той же размерности.

Транспонированная матрица
Опр. Матрица




Примеры


Свойства операции транспонирования
-
– дважды транспонированная матрица совпадает с исходной матрицей.
-
-
Опр. Квадратная матрица называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной, то есть если

У симметричной матрицы

Обратная матрица
Опр. Матрица


Операция нахождения обратной матрицы называется обращением данной матрицы.
Обратная матрица существует только у невырожденных матриц, то есть у таких матриц, определитель которых отличен от нуля.
Свойства
-
; 2.
.
Определитель (детерминант) матрицы
Всякой квадратной матрице ставится в соответствие определитель, вычисляемый по определенным правилам. Обозначение

Вычисление определителя

Вычисление определителя матрицы размерности





Здесь




Пример

Свойства (A и B – квадратные матрицы размерности n)
5.

Верно равенство



Пример
Дана матрица


Решение:


Проверка:

Ортогональная матрица
Опр. Матрица A с вещественными элементами называется ортогональной, если ее транспонированная матрица совпадает с обратной.


Отсюда следует, что у ортогональной матрицы определитель равен единице.
Пример
