Удк 519. 6 Механизмы управления длиной шага в параллельных алгоритмах решения дифференциальных уравнений

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Нахождение первых интегралов нелинейных дифференциальных уравнений является одной, 31.75kb.
• Методические рекомендации по подготовке к сдаче государственного экзамена Раздел «Математика», 38.2kb.
• Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании, 28.05kb.
• Экзаменационные билеты по курсу дифференциальных уравнений фхф мгу им. М. В. Ломоносова, 29.28kb.
• Учебная программа по дисциплине дифференциальные уравнения крюковский, 87.43kb.
• Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Семестр, 29.32kb.
• Программа дисциплины "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Специальность нм, курс, 35.01kb.
• Теорема про суперпозицию (наложение) решений неоднородных линейных дифференциальных, 9.28kb.
• Программа : Модуль расчёта однофазной фильтрации на параллельных ЭВМ аннотация, 10.04kb.
• Задача Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого, 30.67kb.

УДК 519.6

МЕХАНИЗМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДЛИНОЙ ШАГА В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМАХ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дмитриева О.А., Куприй Я.А.,

Донецкий национальный технический университет


В данной работе рассматривается применение переменного шага к алгоритмам решения уравнений блочными предиктор – корректорными методы Рунге-Кутты.

Одними из параллельных методов решения дифференциальных уравнений являются блочные методы Рунге-Кутты. В методах этой категории, оси решений разделены на последовательности смежных блоков, каждый из которых содержит фиксированной число точек. На каждом шаге процедуры генерируется решение в каждой из точек внутри блока [1].

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида (1):


 (1)


где f – некоторая функция, связывающая независимую переменную t, искомую функцию y(t) и ее производные до m-го порядка включительно. Пусть u_t – приближенное решение задачи (1) в момент времени t.

S-этапный блочный метод Рунге-Кутты задается формулами (2) [2]:

(2)


где k – число аппроксимаций решения;

A_i, A_ij, B₀ и B_j – матрицы коэффициентов, размерностью r x k, r x r, k x k и k x r;

e_k – k-й единичный вектор;

– k-мерный блочный вектор, компонентами которого являются приближения значений точного решения y(t_n+c_jh). При этом, c_k = 1, другие значения c_j – могут быть положены равными любому действительному значению.

Корректор генерируется с помощью формулы (3) [3]:


(3)


Для контроля шага используется оценка погрешности (4)


, (4)


где m – число итераций.


Использование переменного шага является одним из возможных методов повышения точности численного решения дифференциальных уравнений, но, с другой стороны, увеличивает объем вычислений. В приведенном алгоритме для управления длиной шага осуществлять дополнительные итерации не требуется, поскольку компонента Y⁽ⁱ⁾ является элементом итерационного процесса.


Литература

1. Liming Yang. Parallel Block Predictor-Corrector Methods for Numerical Solution of ODE’s // A thesis of the School of Graduate Studies and Research of the University of Ottawa in partial fulfillment of the requirements of Master of science in Systems Science. Ottawa, Ontario, Canada, 1993.

2. P.J. van der Houwen, B.P.Sommeijer. Block Runge-Kutta methods on parallel computers // CWI Centre for Mathematics and Computer Science, Report NM-R8906, March, 1989.

3. P.J. van der Houwen. Block Runge-Kutta methods// CWI Centre for Mathematics and Computer Science, Report NM-R8913, June, 1989.