Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Вид материала

Документы

Подобный материал:

• Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів, 8.84kb.
• Дайте визначення операційної системи. Класифікація І основні властивості операційних, 352.89kb.
• Нітратна кислота та її властивості, 90.75kb.
• Будова й властивості твердих тіл. Кристалічні й аморфні тіла. Анізотропія кристалів., 92.38kb.
• Кнлу 2009/2010 навч рік Екзаменаційні питання з курсу “Вища математика” Розділ І. Аналітична, 47.8kb.
• План Базис. Лінійна залежність І незалежність векторів. Декартова система координат, 124.62kb.
• Звіт незалежних аудиторів тов «аудит консалтинг груп» за результатами аудиту фінансової, 307.4kb.
• Загальна програма з математики для підготовки до тестування на 2-ий курс радіофізичного, 24kb.
• Співдружності Незалежних Держав, прийнятої главами урядів Співдружності Незалежних, 249.61kb.
• Програма вступного іспиту до аспірантури за спеціальністю 01. 01. 02 Диференціальні, 57.6kb.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

1. Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.
   

Доведення. Нехай , a₁, a₂,… a_m- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a₁+0a₂+… +0a_m=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

2. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.
   

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a₁, a₂,… a_m лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α₁a₁+α₂a₂+…α_ma_m =.

Комбінація нетривіальна, тому α_i ≠0 для деякого i. (1≤i≤m). Тоді

α_i a_i= -α₁a₁-α₂a₂-…-α_i-1a_i-1-α_i+1a_i+1-…-α_ma_m , звідси



Отже, вектор a_i лінійно виражається через інші вектори системи.


Достатність. Припустимо, що в системі векторів a₁, a₂,… a_m вектор a_i . (1≤i≤m) лінійно виражається через інші вектори системи

a_i= β₁a₁+β₂a₂+…+β_i-1a_i-1+β_i+1a_i+1-…+β_ma_m , звідси

β₁a₁+β₂a₂+…+β_i-1a_i-1-a_i+β_i+1a_i+1-…+β_ma_m= або

β₁a₁+β₂a₂+…+β_i-1a_i-1+(-1)a_i+β_i+1a_i+1-…+β_ma_m=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі a_i дорівнює –1. Отже, система лінійно залежна.

3. Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.
   

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a₁, a₂,… a_m,b₁,…,b_k підсистема a₁, a₂,… a_m лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ₁a₁+λ₂a₂+… +λ_ma_m= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λ_i ≠0 для деякого i. (1≤i≤m). Але тоді існує комбінація λ₁a₁+λ₂a₂+…+ λ_ia_i+…+λ_ma_m+ 0b₁+…+b_k = . Комбінація нетривіальна, оскільки λ_i ≠0. Тому система лінійно залежна.

4. Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.
   

Доведення випливає з попередньої властивості.