Geum.ru

Програма вступного іспиту до аспірантури за спеціальністю 01. 01. 02 Диференціальні рівняння

Вид материалаДокументы

Содержание


Лінійна алгебра.
Комплексний аналіз.
Геометрія і топологія.
Теорія ймовірностей.
Диференціальні рівняння з частинними похідними.
Подобный материал:
ПРОГРАМА ВСТУПНОГО ІСПИТУ ДО АСПІРАНТУРИ

ЗА СПЕЦІАЛЬНІСТЮ 01.01.02 – ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ


І. Загальна частина


1. Математичний аналіз.

Метричні простори. Повнота. Компактні множини та їх властивості. Неперервні функції та їх властивості. Теорема про відображення стиску.

Диференційовні функції та відображення однієї та кількох змінних. Похідні вищих порядків. Формула Tейлора. Екстремуми. Теореми про обернену та неявну функцію.

Інтеграл Рімана, його існування та властивості. Граничний перехід під знаком інтеграла.

Теореми про неперервність, інтегровність та диференційовність функціонального ряду.

Невласні інтеграли, їх рівномірна збіжність, неперерність та диференційовність за параметром.

Кратні інтеграли по брусу, їх зведення до повторних. Формула заміни змінних. Криволінійні та поверхневі інтеграли. Формули типу Стокса.

Ряд Фур’є, його збіжність у середньому квадратичному.

Вимірні функції та інтеграл Лебега. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

Нормовані лінійні простори. Лінійні функціонали та лінійні оператори, зв’язок неперевності та обмеженості. Теорема Хана-Банаха. Спектр лінійного оператора. Компактні оператори, властивості їх спектра.

Гільбертів простір. Теорема про проекцію. Загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу. Ортонормовані бази. Нерівність Бесселя та рівність Парсеваля. Спряжений оператор, його існування та єдиність. Спектральна теорема для компактного самоспряженого оператора.


2. Лінійна алгебра.

Векторні простори. Бази. Перетворення координат при заміні бази. Лінійні відображення. Матриця лінійного відображення, її перетворення при заміні бази. Дії над матрицями. Підпростори. Сума і перетин підпросторів. Пряма сума. Ядро і образ лінійного відображення, ранг, дефект. Теорема про ранг матриці. Обернене лінійне перетворення, обернена матриця, умови існування.

Визначники. Їх властивості.

Квадратичні форми. Закон інерції дійсних квадратичних форм. Критерій Сільвестра додатної означеності квадратичної форми.

Унітарні та евклідові простори. Спряжений оператор, його матриця в ортонормаваній базі. Канонічний вигляд самоспряженого оператора в евклідовому просторі.

3. Комплексний аналіз.

Аналітичні функції. Умови Коші-Рімана. Інтеграл аналітичної функції, його властивості. Інтеграл Коші. Розклад аналітичної функції у степеневий ряд. Теорема Абеля. Радіус збіжності та Формула Коші-Адамара.

Класифікація особливих точок. Ряд Лорана. Теорема про лишки.


4. Геометрія і топологія.

Рівняння ліній та поверхонь. Формули Френе, кривина, скрут. Перша і друга квадратичні форми поверхні.

Топологічні простори. Відкриті і замкнені множини. Гомеоморфізм. Поняття про диференційовний многовид. Дотичний простір до диференційовного многовиду. Векторне поле на многовиді.


5. Теорія ймовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностей. Випадкова величина. Функція розподілу. Щільність розподілу. Математичне сподівання. Дисперсія. Умовні ймовірності. Незалежні випадкові величини. Характеристична функція випадкової величини та її властивості.


ІІ. Спеціальна частина.


1. Звичайні диференціальні рівняння.

Теорема існування та єдиності існування розв’язку задачі Коші для нормальної системи першого порядку. Теорема Пеано. Продовжуваність розв’язку. Теореми про неперервну та диференцiйовну залежнiсть розв'язку задачi Кошi вiд початкових даних та параметрiв у природнiй областi визначення.

Лінійні системи диференціальних рівнянь та лінійні диференціальні рівняння довільного порядку. Існування фундаментальної системи розв’язків. Вронскіан та критерій фундаментальності системи розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля. Загальний розв’язок. Метод варіації довільних сталих розв’язування лінійної неоднорідної системи.

Експонента матрицi як фундаментальна матриця лiнiйної системи зi сталими коефiцiентами; її властивостi та будова. Типи фазових портретiв двовимiрної лiнiйної однорiдної системи зi сталими коефiцiєнтами (вузол, вироджений та дикритичний вузол, сiдло, фокус, центр).

Лiнiйна однорiдна система з перiодичними коефiцiєнтами. Матриця монодромiї. Теорема Флоке-Ляпунова. Теорема про iснування перiодичного розв'язку лiнiйної неоднорiдної перiодичної системи у нерезонансному випадку. Теорема про iснування перiодичного розв'язку лiнiйної неоднорiдної перiодичної системи у випадку, коли вiдповiдна однорiна система має нетривiальнi перiодичнi розв’язки.

Коливнiсть розв'язкiв лiнiйних однорiдних рiвнянь другого порядку. Теорема порiвняння. Терема Штурма. Теорема про неколивнiсть.

Побудова розв'язкiв лiнiйних рiвнянь другого порядку з регулярною особливою точкою у виглядi узагальнених степеневих рядiв. Структура загального розв’язку. Рівняння Бесселя.

Крайовi задачi для лiнiйних рiвнянь другого порядку. Функцiя Грiна. Задача Штурма-Ліувілля. Властивості власних чисел та власних функцій. Формулювання теореми Стеклова.

Автономнi системи. Потiк. Рух. Траєкторiя. Положення рiвноваги. Лінеаризація в околі положення рівноваги. Поняття про граничний цикл.

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Критерій стійкості лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема Ляпунова про стiйкiсть за першим наближенням. Функцiя Ляпунова. Перша теорема Ляпунова про стiйкiсть. Теорема про асимптотичну стійкість.

Консервативна система з одним ступенем вільності. Побудова фазового портрета за графіком потенціальної енергії.


2. Інтегральні рівняння.

Інтегральні рівняня Фредгольма другого роду. Метод послідовних наближень. Ряд Неймана. Резольвента. Інтегральні рівняння Вольтерра. Теорема Фредгольма. Інтегральні рівняння Фредгольма з ермітовим ядром. Теорема Гільберта-Шмідта.


3. Диференціальні рівняння з частинними похідними.

Квазілінійні рівняння з частинними похідними першого порядку. Метод характеристик відшукання розв’язку. Задача Коші та її розв’язування методом характеристик.

Класифікація лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку. Характеристики. Зведення до канонічного вигляду.

Постановка основних задач для рівнянь еліптичного, гіперболічного та параболічного типів.

Задача Коші для нормальних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними. Теорема С. Ковалевської.

Задача про вільні та вимушені коливання нескінченної струни. Формула Д’Аламбера.

Поняття про узагальнені функції, -функція Дірака. Фундаментальні розв’язки рівнянь Лапласа, хвильового рівняння, рівняння теплопровідності.

Основні властивості гармонійних функцій (формула Гріна, теорема про середнє значення, принцип максимуму). Розвязування задач Діріхле та Неймана (внутрішньої та зовнішньої) методом потенціалів. Функція Гріна та її застосування до розвязування крайових задач. Формула Пуассона для кулі та кола.

Метод Фур’є розв’язування мішаних крайових задач для хвильового рівняння та рівняння теплопровідності.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ – Киев: Вища школа, 1990.
  2. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.
  3. О.А.Борисенко Диференціальна геометрія і топологія. – Харків: Основа, 1995.
  4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971.
  5. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: – Вища школа, 1979.
  6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.
  7. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. – К.: Либідь, 1993, 1994. – Ч.1-2.
  8. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла – Киев: Вища школа, 1989.
  9. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел, ч.1, ч.2. – К.: Вища школа, 1976.
  10. Калужнін Л.А., Вишенський В.А., Шуб Ц.О. Лінійні прoстори. – К.:Вища школа, 1971.
  11. Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – Київ: Твімс, 2004.
  12. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
  13. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –Физматгиз, 1958.
  14. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных – М.: Наука, 1976.
  15. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.: М.: Изд-во МГУ, 1980.
  16. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977.
  17. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. – К: Либідь, 1994.
  18. Скороход А.В. Елементи теорії ймовірностей та випадкові процеси – Київ: Вища школа, 1975.
  19. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М: ГИФМЛ, 1958.
  20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.