Объективное знание. Эволюционный подход

Вид материала

Книга

Содержание Добавление. Замечание к определению истины по Тарскому 1>} Ср. Определение 6 Тарского на S. 292 [р. 176 англ. перевода]. 8) Tarski A. Определение 22а.

Подобный материал:

• Объективное знание. Эволюционный подход, 7994.25kb.
• Теория эволюционный подход к глобальным исследованиям и образованию: теоретико-методологические, 286.71kb.
• Субъективное Объективное Объективное право, 782.89kb.
• Эволюционный подход к моделированию сетевых рынков: пример рынка мобильной связи, 183.91kb.
• Эволюция безопасности в сетях сотовой подвижной связи, 892.3kb.
• Европейский Институт Психоанализа программа, 162.18kb.
• В. П. Визгин Геометрическая теория вещества Платона и его критика, 443.7kb.
• Биология человека. Эволюционный подход, 479.25kb.
• Эволюционный подход Всемирного Банка к реформам горнодобывающего сектора Отдел нефти,, 1288.08kb.
• 3. Личная сила. Определение. Составляющие. Кто выбирает: человек или сила? Свобода, 214.44kb.

Добавление. Замечание к определению истины по Тарскому*

В своей знаменитой работе о понятии истины Тарский описывает способ определения понятия истины или, точнее, понятия «х есть истин-

* Popper К. R. Addendum. A Note on Tarski's Definition on Truth. Это «Добавление» впервые опубликовано в журнале «Mind», vol. 64, N. S., 1955. Не считая замечаний в квадратных скобках, помеченных кое-где курсивов и нескольких незначительных стилистических поправок, я ограничился следующими изменениями: в соответствии с переводом Вуджера J956 г. классической работы Тарского об истине (см. далее прим. 1) я теперь говорю не «выполнять (fulfil)» и «выполнение (fulfilment)», а «удовлетворять (satisfy)» и «удовлетворение (satisfaction)», соответственно в Определении 22Ь я заменил прежнее «удовлетворяет» на «соблюдает». В последней строке текста настоящего «Добавления» я заменил слова «бесконечной последовательности» на «бесконечных последовательностей» и добавил номера страниц и другие ссылки на перевод Вуджера. [Все добавления даны в квадратных скобках]. В остальном это Добавление осталось таким, каким оно увидело свет.

') См. Tarski А. Der WahrheitsbegrifT in den formalisierten Sprachen // Studia Philosophica, Bd. I, 1935, S. 261 [англ. пер.: Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages// TarskiA. Logic, Semantic, Metamathematics, 1956, paper VIII, pp. 152-278]. Как я понимаю, Тарский предпочитает переводить «Aussage» и «Aussagefunktion» как «sentence» («предложение») и «sentence-function» («сентенциальная функция») — термины, используемые в переводе логических работ Тарского на английский, выполненным профессором Вуджером, — тогда как я пользуюсь здесь терминами «высказывание (statement)» и «пропозициональная функция (statement function)». Перевод Вуджера должен быть вскоре опубликован издательством Clarendon Press в Оксфорде. [Эта книга вышла в 1956 году. Есть и еще несколько различий между моим переводом и переводом Вуджера].

316

ное высказывание (языка L)». Первоначально этот способ применялся к исчислению классов, но он может применяться в самом общем виде к самым разным (формализованным) языкам, включая языки, позволяющие формализовать некоторые эмпирические теории. Для этого способа характерно то, что определение «истинного высказывания» основывается на определении отношения удовлетворения (relation of satisfaction), или точнее — выражения «бесконечная последовательность / удовлетворяет пропозициональной функции X»²). Это отношение удовлетворения интересно само по себе, вне зависимости от того, что оно играет решающую роль в определении истины (и что шаг от определения удовлетворения к определению истины практически не представляет трудности). Предлагаемые мною замечания связаны с проблемой применения при определении удовлетворения конечных, а не бесконечных последовательностей. Это, по-моему, желательно с точки зрения применения данной теории к эмпирическим наукам, а также и с дидактической точки зрения. Сам Тарский кратко обсуждает два способа³⁾, связанные с применением конечных последовательностей переменной длины вместо бесконечных последовательностей, но он указывает и на некоторые недостатки этих альтернативных способов. Первый из них ведет к «значительным [или „довольно серьезным»] осложнениям» (ziemlich bedeutenden Komplikationen) при определении удовлетворения (Определение 22), в то время как недостаток второго состоит в «некоторой искусственности» (eine gewisse Kьnstlichkeit), поскольку он приводит к определению истины (Определение 23 [р. 195 англ. перевода]) с помощью понятия «пустой последовательности», или «последовательности нулевой длины»⁴⁾. В своих замечаниях я хочу обратить внимание на то, что сравнительно небольшое изменение процедуры Тарского позволяет нам оперировать с конечными последовательностями, не сталкиваясь с осложнениями или искусственностями (например, пустыми последовательностями), которые имел в виду Тарский. Этот способ позволяет нам сохранить весьма естественную процедуру, предусмотренную условием (6) Определения 22

2)См. Tarski А. Ibidem, S.311 [p. 193], S.313 [p. 195]. Заметим, что класс пропозициональных функций (или сентенциальных функций) включает класс высказываний, то есть замкнутых пропозициональных функций.

3) Первый из этих альтернативных способов очерчен Тарским в примечании 40 на S. 309 и далее [p. J91 англ. перевода, прим. 1]. (Там не говорится явно, что этот способ можно использовать для избежания бесконечных последовательностей, но ясно, что его можно для этого использовать). Второй метод описывается в примечании 43 на S. 313 и далее [р. 195 англ. перевода, прим. 1]. Способ, предложенный Тарским в этом примечании, технически слегка отличный от примененного Тарским в основном тексте, используется Карнапом в его «Введении в семантику» (Сатар R. Introduction to Semantics, 1942, pp.47 и далее [точнее pp. 45-48]). Хотя Карнап ссылается на Тарского, он упускает из вида то, что Тарский предвидел этот конкретный способ. (В прим. 7 на S. 368 [р. 245 англ. перевода, прим. 2] Тарский указывает еще и третий способ — очень простой, но безусловно в высшей степени искусственный в понимании Тарского; более того, этот способ относится только к определению истины как таковому, а не к определению выполнения [удовлетворения], которое интересно само по себе).

4) Карнап также использует это искусственное понятие.

317

Тарского (р. 193 англ. перевода), и таким образом избежать обходного пути, связанного с введением отношений — или свойств, — имеющих порядок, равный числу свободных переменных рассматриваемой пропозициональной функции. Предлагаемое мною изменение способа Тарского достаточно незначительно, но ввиду того, что Тарский ссылается на другие его варианты, имеющие значительные недостатки, а не на данный вариант, может быть, стоит описать и это небольшое улучшение⁵).

Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых, понятие номера места п (place number n) (или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длины конечной последовательности /, то есть число мест в / (символически Np(f)), равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечных последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определенное место — скажем, п-е, — и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или п-м членом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности, так же как и в разных последовательностях⁶).

Как и Тарский, я использую символы «f\», «/2», ••♦, «Л», «/*»> — > «/„« в качестве имен объектов, занимающих первое, второе, г-е, fc-e, ..., п-е места в последовательности /. Я пользуюсь обозначениями Тарского, за тем исключением, что [по типографским соображениям] использую «РкУ» для обозначения обобщения [или квантификации по общности] выражения у попеременной v. Принимается, что к Определению (П)⁸

) Основное различие между моим способом и способами, предлагаемыми Тарским (упомянутыми ранее в прим. 3) состоит в следующем. Тарский предлагает ставить в соответствие данной функции (либо бесконечные последовательности, либо) конечные последовательности определенной (зависящей от данной функции) длины, в то время как я использую конечные последовательности «достаточной длины» (Определение 22а), то есть не слишком короткие для рассматриваемой функции. Соответственно, мои конечные последовательности могут быть любой длины (свыше определенного минимума, зависящего от рассматриваемой функции). Но допущение конечных функций любой длины (если этого достаточно для наших целей) не приводит ни к какой неоднозначности, поскольку мы легко получаем теорему (ср. Лемму А.Тарского на S. 317 [р. 198 англ. перевода]), согласно которой, если / удовлетворяет ж, то всякое д, являющееся расширением /, также удовлетворяет х (где д есть расширение /, если и только если для каждого /,• существует # такое, что д( — fi). Таким образом, эта теорема говорит, что нам достаточно рассматривать только самые короткие конечные последовательности из тех, которые адекватны рассматриваемой функции (конечно, всей рассматриваемой сложной функции, в отличие от ее компонентов).

6* Объекты (things) [так я называю их здесь; я мог бы называть их, как Тарский, «индивидами», если бы не то, быть может, слегка запутывающее обстоятельство, что «индивиды» Тарского представляют собой индивидуальные классы исчисления классов], рассматриваемые Тарским в этом разделе его работы, суть классы; учитывая сказанное Тарским в параграфах 4 и 5, я буду говорить здесь о «последовательностях объектов», а не о последовательностях классов, имея в виду, что для любых объектов Д и Д определено отношение вхождения /,- С Д.

1>} Ср. Определение 6 Тарского на S. 292 [р. 176 англ. перевода].

8) Tarski A. Jbidem, S. 294 [р. 178 англ. перевода]. Тарский явным образом определяет только выражение «переменная и*, входит свободно в пропозициональную функцию ж» [или «Vf. есть свободная переменная пропозициональной функции ж»].

318

Тарского добавлено Определение выражения «v_k входит в пропозициональную функцию х» — это предположение ни в коей мере не выводит нас за пределы методов Тарского и фактически в неявном виде присутствует в процедурах самого Тарского.

Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями — предварительным Определением 22а и Определением 22Ь, которое соответствует собственному определению Тарского.

Определение 22а. Конечная последовательность объектов / адекватна пропозициональной функции х (или достаточно длинна относительно х), если и только если

для каждого натурального числа п,

если v_n входит в ж, то число мест в / по крайней мере равно п (то есть Np(f) п).

Определение 22Ь⁹\

Последовательность / удовлетворяет пропозициональной функции ж, если и только если

/ — конечная последовательность объектов, х — пропозициональная функция, и

(1) f адекватна x,

(2) х соблюдает одно из следующих четырех условий:

(а) Существуют натуральные числа г и к такие, что х — с_г и /, С /ь

(Я) Существует пропозициональная функция у такая, что х — у, и / не удовлетворяет у.

(7) Существуют две пропозициональные функции у a z такие, что х — у -f z и / удовлетворяет либо у, либо z, либо обеим.

(Ц) Существует натуральное число к и пропозициональная функция у такая, что

(a) х = Р_ку,

(b) любая конечная последовательность д, длина которой равна /, удовлетворяет у, если только д соблюдает следующее условие: для любого натурального числа п, если п — номер места в / и п Ф к, то д_п = Д.

9) Это в точности напоминает Определение 22 Тарского [р. 193], за исключением того, что к условию Тарского добавлен пункт (1) (чтобы заменить бесконечные последовательности конечными), и что наш пункт (6) содержит небольшое изменение, поскольку в нем говорится о длине / (и д). [Перевод «erfьllen» как «удовлетворять» имеет тот недостаток, что в определении выражения «/ удовлетворяет х» используется интуитивное представление о том, что «х соблюдает (то есть удовлетворяет) такие -то условия». Но эти два «удовлетворяет» технически совершенно различны, хотя интуитивно и очень близки. В немецком тексте на S. 311 не проводится никакого терминологического различия, но на S. 312 в сноске, соответствующей сноске 1 на р 193 английского издания, имеет место различие между «erfьllt» и «befriedigt». В Определении 22, конечно, нет никакого круга].

319

Теперь Определение 23 Тарского [р. 193] можно заменить любым из двух следующих эквивалентных¹⁰) определений:

Определение 23+. х — истинное высказывание (то есть х Е Wr), если и только если (а) х — высказывание (х Е As) и (Ь) любая конечная последовательность объектов, адекватная х, удовлетворяет х.

Определение 23++. х — истинное высказывание (то есть х Е Wr), если и только если (а) х — высказывание (х Е .As) и (Ь) существует по крайней мере одна конечная последовательность объектов, удовлетворяющая х.

Можно заметить, что Определение 23++ не требует предположения об адекватности упоминаемой последовательности. Можно также заметить, что в Определении 23+ (которое в точности соответствует определению Тарского) — но не в 23+Н--условие (а) можно заменить условием «х — пропозициональная функция», достигая тем самым определенного обобщения, в частности, на пропозициональные функции со свободными переменными, такими как, например, функция ц, то есть на универсально-значимые (allgemeingьltige [верные для любой индивидуальной предметной области]) пропозициональные функции¹¹).

Аналогичным образом определение 23++, если распространить его на функции, приводит к понятию удовлетворимой (erfьllbare) пропозициональной функции.

В заключение скажу, что в применении к эмпирической теории (по крайней мере частично формализованной) и особенно к неквантифи-цированным пропозициональным функциям такой теории, определение выполнения [или удовлетворения], то есть Определение 22Ь, выглядит совершенно «естественным» с интуитивной точки зрения, в основном потому, что оно обходится без бесконечных последовательностей¹²).

10) Их эквивалентность следует из соображений Тарского; ср. Ibidem, S. 313, строки с 13 по 16 [р. 194, строки с 12 по 15 англ. перевода].

nCp. Ibidem, S.320 [р. 201], Определение 27 и последующие.

12) Мы можем использовать его, например, чтобы определить случай выполнения некоторого закона (записанного не как обобщение, то есть записанного без квантора общности впереди) как конечную последовательность объектов, удовлетворяющих этому закону, или — что мне кажется более важным — чтобы определить опровергающий пример для любой (открытой или замкнутой) пропозициональной функции как конечную [и адекватную] последовательность объектов, не удовлетворяющую ей. (320:)