Ребята, готовящиеся к олимпиаде, подобрала задачи разноплановые: по теории чисел, по прогрессиям, просто текстовые и системы. Их много, хватит для всех. Решаем, начиная с понедельника вторника подходим с решениями

Вид материала

Документы

Содержание А, В и С. Моторка идет от А ABC со сторонами АВ = SABCDEF является правильный шестиугольник ABCDEF.

Подобный материал:

• Пушкин павловск (Екатерининский и Павловский дворцы)                    Ежедневно,, 24.75kb.
• 8 дней/7 ночей 4 н в Риме,, 89.27kb.
• Задачи исследования: собрать сведения о символике чисел, анализируя литературные источники;, 253.41kb.
• Урок №15. Тема: «Текстовые редакторы», 75.16kb.
• Вопросы к экзамену по курсу «Вычислительные системы, сети и телекоммуникации», 51.75kb.
• История чисел и вычислений содержание: Стр, 310.33kb.
• Текстовые редакторы это программы для создания и редактирования текстовых документов, 263.8kb.
• Лябина Татьяна Ивановна 2009 год Введение Необходимость введения курса «Текстовые задачи, 274.98kb.
• Изучение алгебры и теории чисел с помощью системы компьютерной алгебры gap, 88.13kb.
• Рабочая учебная программа по курсу по выбору «Алгебры с делением над полем действительных, 179.95kb.

Ребята, готовящиеся к олимпиаде, подобрала задачи разноплановые: по теории чисел, по прогрессиям, просто текстовые и системы. Их много, хватит для всех. Решаем, начиная с понедельника - вторника подходим с решениями.

1. Бригада из 6 землекопов в течение 8 часов копала канаву. При этом в каждый момент времени работало ровно двое, а остальные играли в карты. В конце рабочего дня оказалось, что первый землекоп играл в карты 3 часа, второй – 4 часа, третий – 5 часов, четвертый – 6 часов и пятый – 7 часов. Сколько часов играл в карты шестой землекоп?
   
2. В бассейн по двум трубам поступает вода, которую откачивает один насос. Если открыть первую трубу и включить насос, то пустой бассейн заполнится за 2 часа. Если открыть вторую трубу и включить насос, то пустой бассейн заполнится за 3 часа, а если открыть обе трубы и включить насос, то пустой бассейн заполнится за 1 час. За какое время наполнится пустой бассейн, если выключить насос и открыть обе трубы?
   
3. Два насоса откачивают воду, равномерно поступающую в бак. Если включить первый насос, то бак опустеет за 4 часа. Если включить второй насос, то бак опустеет за 3 часа, а если включить оба насоса, то бак опустеет за 1 час. За какое время наполнится пустой бак, если выключить оба насоса?
   
4. Мастер и ученик, выполняя задание, работали вместе 1 час, после чего один ученик за 5 часов закончил выполнение всего задания. За сколько часов выполнил бы все задание ученик, если мастеру на все задание требуется на 4 часа меньше, чем ученику?
   
5. В магазине продаются красные и синие карандаши. Красный карандаш стоит 17 копеек, синий карандаш — 13 копеек. На покупку карандашей можно затратить не более 4 рублей 95 копеек. При закупке число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более, чем на пять. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество красных и синих карандашей, при этом красных карандашей нужно закупить как можно меньше. Сколько красных и сколько синих карандашей можно закупить при указанных условиях?
   
6. Сумма первых 73 членов геометрической прогрессии с целым начальным членом и целым знаменателем дает при делении на 13 остаток 6, а сумма первых 91 членов – остаток 4. Какой остаток дает знаменатель прогрессии при делении на 13?
   
7. Число двухкомнатных квартир в доме в 4 раза больше числа однокомнатных, а число трехкомнатных квартир кратно числу однокомнатных. Если число трехкомнатных квартир увеличить в 5 раз, то их станет на 22 больше, чем двухкомнатных. Сколько всего квартир в доме, если известно, что их не меньше 100?
   
8. На реке с равномерным течением последовательно расположены три пункта А, В и С. Моторка идет от А до С столько же времени, сколько шляпа плывет от В до С, а расстояние от В до С моторка проходит в 12 раз быстрее, чем шляпа плывет от A до В. Найдите отношение расстояний АС/ВС.
   
9. Все страницы книги с первой по последнюю занумерованы без пропусков идущими подряд десятичными числами, начиная с 1. Для этого в общей сложности на них было напечатано 1518 цифр. Сколько страниц в книге?
   
10. Сумма первых 73 членов геометрической прогрессии с целым начальным членом и целым знаменателем дает при делении на 13 остаток 6, а сумма первых 91 членов – остаток 4. Какой остаток дает знаменатель прогрессии при делении на 13?
    
11. В академическом собрании сочинений, включаю­щем менее 20 томов, число томов с художественными произведениями кратно числу томов с письмами, которых, в свою очередь, в 3 раза меньше, чем томов с публицистикой. Если число томов с художественными произведениями увеличить в 2 раза, то их станет на 14 больше, чем томов с пись­мами. Сколько томов с публицистикой в собрании сочинений?
    
12. На факультет подано от школьников на 600 заявлений больше, чем от производственников. Девушек среди школьников в 5 раз больше, чем девушек среди производственников, а юношей среди школь­ников больше, чем юношей среди производственников, в n paз, причем 6≤n≤12 (n — целое число). Определить общее количество заявлений, если юношей среди производственников на 20 больше, чем девушек среди производственников.
    
13. Робинзон Крузо гуляет по необитаемому острову, имеюще­му форму треугольника ABC со сторонами АВ = 9, ВС = 11 и АС = 13. В каждый момент прогулки он идет параллельно какой-нибудь стороне треугольника; дойдя до берега, Робинзон пово­рачивает и продолжает идти прямо вглубь острова параллельно другой стороне; дойдя еще раз до берега – опять поворачивает, и т.д. Прогулка начинается на стороне АС из точки М, для которой AM = 5. Первоначально Робинзон движется параллель­но стороне ВС; прогулка заканчивается, когда он вернется в точку М. Найдите разность между длиной пути, пройденного Робинзоном Крузо параллельно стороне АС и длиной пути, пройденного им параллельно стороне АВ.
    
14. Плоскость замостили одинаковыми правильными шестиугольниками без пропусков и наложений (рис.). В одном шестиугольнике записали число 0. Затем во всех шестиугольниках, имеющих с ним хотя бы одну общую сторону, написали число 1. Далее во всех пустых шестиугольниках, имеющих хотя бы одну общую сторону с теми шестиугольниками, в которых написали число 1, написали число 2. Эту операцию повторили 200 раз: на (N + 1)-м шаге во всех пустых шестиугольниках, имеющих хотя бы одну общую сторону с теми шестиугольниками, в которых написано число N, написали число N + 1. В скольких шестиугольниках написано число 100?
    

15. Для каждой точки с координатами (р,q) рассмотрим квадратный трехчлен х² + рх + q . Покрасим точку зеленым цветом, если соответствующий квадратный трехчлен имеет два корня, один из которых принадлежит отрезку [–2; –1), а другой – отрезку [1; 2]. Изобразите на плоскости множество зеленых точек и найдите его площадь.
    
16. Натуральные числа а ,b.с, взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2240 и 4312 делятся без остатка на b иc соответственно. Найдите числа а ,b.с, если известно, что при указанных условиях сумма a+b+c максимальна.
    
17. При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 10, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 2. При делении полученного (неверного) произведения на меньший множитель получены частное 50 и остаток 25. Найти множители.
    
18. Пусть х, у, z – решение в натуральных числах уравнения х +_ = _ . Вычислите произведение хуz.
    
19. Найдите абсциссу точки пересечения прямой у = 2х + 1 с прямой, касательной к каждой из двух парабол у = х² – 6 и у = – х² + 12х – 32.
    
20. Найдите абсциссу точки пересечения прямой у = 2х + 1 с прямой, касательной к каждой из двух парабол у = х² – 6 и у = – х² + 12х – 32.
    
21. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4–_, 4 + _ и 6.
    
22. Четыре города расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 5 – _ км и 1 км. Нужно проложить дороги так, чтобы из каждого города можно было добраться в каждый. Какова наименьшая возможная длина (в км) всех проложенных дорог?
    
23. Основанием пирамиды SABCDEF является правильный шестиугольник ABCDEF. Через точку X, лежащую на продол­жении ребра SC за точку С, так что |SС| : |СХ| = 1: 3, провели прямую, пересекающую прямые SE и FD в точках Y и Z соответственно. Найдите отношение длин отрезков |XZ| : |ZY|.
    
24. Окружность, построенная на диагонали АС трапеции ABCD как на диаметре, проходит через вершину В и касается боковой стороны CD. Основания трапеции AD = 25 и ВС = 9. Найдите диагональ АС.
    
25. На прямой выбрана 101 точка. Любые две из выбранных точек соединим отрезком и отметим на нем точку, делящую этот отрезок пополам. Какое минимальное число новых точек может при этом получиться?
    
26. Найдите наименьшее натуральное k для которого 21029 ∙ k делится на 23503.
    
27. Найдите наименьшее натуральное число делящееся на 50 и имеющее ровно 30 натуральных делителей ( включая единицу и само себя).
    
28. Функция двух переменных f(x,y) положитель­на при всех х, у, удовлетворяющих системе неравенств
    

При всех остальных х, у функция f отрицательна. Верно ли, что при всех х, у, удовлетворяющих неравенству у ≤ х² – 4х + 7, функция f(x,у) отрицательна? Ответ обоснуйте.

29. Остаток от деления некоторого натурального числа n на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7. Чему равен оста­ток от деления числа на 30 ?
    
30. Планета Марс имеет форму шара радиуса R. Марсоход запрограммирован так, что он проезжает по дуге большого круга расстояние а, меньшее половины длины экватора, затем поворачивает направо на угол _ , снова проезжает расстояние а по дуге большого круга, поворачивает на тот же угол а налево и т.д. (чередуя повороты направо и налево), а) Марсоход вернулся в исходную точку. Докажите, что в этот момент по программе ему положено делать левый поворот. б) До возвращения в исходную точку марсоход несколько раз пересек свой след. Какое наименьшее число раз он мог это сделать? в) Пусть путь марсохода замкнут и имеет наименьшее положительное число самопересечений. При каких значениях а и α длина этого пути будет наименьшей?
    
31. Многочлен R(x) = x² + px + q называется странным, если существуют числа а, b, с, такие что а < R(a)а) Приведите пример странного многочлена. б) Пусть коэффициенты р и q странного многочлена — целые числа. Докажите, что р нечетно.
    
32. В треугольнике AВС расстояние от вершины С до точки пересечения высот равно радиусу описанной окружности. Какой может быть величина угла С?
    
33. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r, а угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен α. Найдите длину медианы треугольника.
    
34. Найти наибольший общий делитель чисел 11111111 и 111...111 (сто раз повторяется единица).
    
35. Вершина А ромба ABCD со стороной а лежит на окружности, касающейся сторон ВС и CD. Найдите радиус окружности, если угол при вершине А равен α.
    
36. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r, а угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен α. Найдите длину медианы треугольника.
    
37. Найти все целые положительные решения уравнения 3х²+3ху + 2х – у = 56.
    
38. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.
    
39. Найдите все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами: вторая цифра числа в 2 раза меньше последней его цифры; сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой первой и третьей его цифр, делится на 10 без остатка.
    
40. Блоха прыгает по окружности одинаковыми прыжками в одном направлении, начиная свой путь из точки А. Когда блоха снова вернулась в точку А, оказалось, что она перепрыгнула через точку А ровно 6 раз. Какое наибольшее значение может принимать градусная мера дуги, на которую прыгает блоха, если известно, что эта градусная мера - целое число, не превосходящее 85?
    
41. Найдите все целочисленные решения системы уравнений