Лекции 12-13 по преобразованию Гильберта-Хуанга

^{Оригинал :} Huang, и др. "Эмпирическая модовая декомпозиция и спектр Hilbert для анализа нелинейного и нестационарного временного ряда.

"Proc. R. Soc. Lond. (1998) 454, 903–995.

НАСА: ссылка скрыта

Книга: HILBERT-HUANG ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ. Ред. Norden E. Huang и Сэмюэль S. P. Shen

Коды EMD: ссылка скрытаemd.php

Другое полезное: ссылка скрыта

HHT-базовые коды идентификации: ссылка скрыта

Почему не анализ Fourier (FA)?

• FA хорош, когда система линейна;

Измерьте по крайней мере два выхода: y₁ (t) и y₂ (t), соответствующие входам x₁ (t) и x₂ (t).

Теперь примените вход: x (t) = x₁ (t) + b x₂ (t) + c x₃ (t) + …

^{Если выход: y (t) = y}₁ ^{(t) + b y}₂ ^{(t) + c y}₃ ^{(t) + …,} тогда систему считают линейной.

• И когда данные являются периодическими или постоянными:

А когда FA – не лучший способ?

• когда данные являются нестационарными;

• функции основания (базиса) FA глобальны, следовательно они не могут рассматривать локальную нелинейность без существенной дисперсии (расширения);

• вышеупомянутое особенно верно, когда форма волны значительно отклоняется от синусоидальной формы;

• для дельта-подобных функций требуется чрезмерное большое число гармонических составляющих,

не говоря о явлениях Гиббса.

Методы обработки нестационарных данных.

• Спектрограмма

• Вейвлетный анализ

• Распределение Wigner-Ville

• Эволюционный спектр

• Эмпирическое ортогональное расширение функции (EOF)

• Приглаженное скользящее среднее значение

• Оценка наименьших квадратов

Мгновенная Частота

Определение преобразования Hilbert:



Комплексная форма:



Частота:

Мгновенная частота - cont’d

Определенная мгновенная частота является скаляром. Это означает, что  это монокомпонент. В действительности, сигнал возможно, не представляет монокомпоненту. Поэтому, нужно интерпретировать это как ограниченную частоту в пределах узкой группы. Поскольку понятие полосы пропускания играет решающую роль, мы заимствуем ее определение из обработки сигналов:

Если число пересечения нулей в единицу времени определить как

, в то время как ожидаемое число extrema (экстремумов) в единицу времени , где mi i-й момент спектра.

То, стандартной мерой по полосе пропускания можно считать.

Отметьте что если v=0, ожидаемые числа extrema и пересечений ноля равны. Это наблюдение мы будем эксплуатировать в эмпирическом разложении способа позже.


Тем не менее, мгновенная частота, определенная выше, приводит к глобальной мере. Следовательно, когда сигнал разделяется на мультикомпоненты, ключевой критерий должен гарантировать, что связанная частота в локальном масштабе действительна. Это обсуждено в следующем.

_{Эмпирическая модовая декомпозиция.}

_{Внутренние модовые функции (IMF)} (колебания, вложенные в данные),


Предположим, что функция является симметрической относительно локального нуля, и имеет одинаковые числа extrema и нулевого пересечения. Тогда функция может иметь физически значимую локальную мгновенную частоту. Эксплуатируя это понятие, модовая функция удовлетворяет следующим двум условиям:

1. В целом наборе данных число extrema и число нулевых пересечений должны или быть равными или отличаться самое большее на 1 (адаптация узкого понятия группы)

2. В любой текущий момент сумма верхней и нижней огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, является нолем (новый - принятие местных свойств).

Модификация свойства локальности: свойство двух огибающих, определенных местными максимумами и местными минимумами - это местная симметрия. Это действительно порождает псевдоним в мгновенной частоте для нелинейно деформированных волн.

_{Свойства IMF:}

• каждый IMF вовлекает только один способ колебания;

• каждый IMF характеризует не только узкую группу, но и и модуляции амплитуды и частоты;

• IMF может таким образом быть нестационарным.

Утверждение Huang и других о том, почему основанная на IMF мгновенная частота имеет смысл (Proc. R. Soc. Lond. (1998), p.916):

Метод эмпирической модовой декомпозиции (EMD)

EMD идентифицирует внутренние колебательные процессы их характерными временными рамками в данных опытным путем, затем анализирует данные в передачу IMFs через процесс просеивания.

Это - алгоритм, чтобы назначить мгновенную частоту на каждый IMF, чтобы анализировать произвольный набор данных; это означает, для сложных данных, мы можем позволить больше чем одна мгновенная частота за один раз в локальном масштабе.

Другими словами, EMD разлагает произвольный набор данных, являются ли они линейными, нелинейными или нестационарными, в ряд IMFs.

Введенные предположения (Huang и другие, 1998):

1. У сигнала есть по крайней мере один максимум и один минимум;

2. Характерные временные рамки определены к этому времени ошибка между extrema;

3. Если данные были полностью лишены extrema, но содержали только пункты перегибов, то он может быть дифференцирован однажды или больше раз, чтобы показать extrema; и, заключительные результаты могут быть получены интеграцией компонентов.

В дополнение к вышеупомянутым предположениям они вводили ограничение на то, что получающиеся модовые функции (IMF) должны быть симметрическими в местном масштабе относительно ноля. Это ограничение подразумевает, что у IMFs есть те же самые числа нулевых пересечений и extrema. Это ограничение тогда позволяет определять мгновенную частоту для каждого из анализируемых IMFs. Другими словами, IMF удовлетворяет:

(1) в наборе данных, число extrema и нулевых пересечений должно быть или то же самое или отличаться самое большее на 1;

(2) в любом пункте сумма верхней и нижней огибающих экстремумов должна быть нулевой.

Первое условие подобно узкому требованию группы для постоянного Гауссовского процесса. Второй, однако, изменяет классическое требование глобального нулевого среднего к локальному. Именно эта вторая особенность согласуется с понятием мгновенной частоты, которая действительна для нестационарного процесса и нелинейных сигналов.

Применяя вышеупомянутые предположения и ограничения, Huang и другие показали, что их эмпирическое модовое разложение (EMD) может идентифицировать внутренние колебательные процессы их характерными временными рамками в данных.

Алгоритм процесса выделения функций IMF.

1. Для данных X(t) отмечаем местные максимумы и местные минимумы, и интерполируем пункты extrema через, например, сплайны, чтобы получить верхнюю и нижнюю огибающие.

2. Получаем среднее из этих двух огибающих, m₁.

3. Получаем h₁ = X(t) - m₁ и проверяем число extrema и число нулевых перекрестков (должны быть равными или отличаться самое большее на 1). Проверяем положительны ли все местные максимумы, и отрицательны ли все местные минимумы.

3. В противном случае повторяем просеивание и получаем h₁ - m₁₁ = h₁₁. Процесс продолжаем с получением h_1(k-1) - m_1k = h_1k.

Если h_1k составляет IMF, то назовите его c₁ = h_1k . Теперь мы получаем первый остаточный r₁ через r₁ = X(t) - c₁.

Рассматривайте r₁ как новый набор данных, и выполните процесс просеивания, чтобы получить c₂.

Продолжение просеивания обрабатывает, мы получаем r₂ = r₁ - c₂, …, r_n-1 - c_n = r_n .

Наконец, оригинальный сигнал анализируется в терминах IMFs.

Пример: Тон плюс Колебание Щебета

(Источник: Gabriel.Rilling (at) ens-lyon.fr. ссылка скрыта

Отметьте максимумы

Интерполируйте максимумы кубическими сплайнами



Повторите минимумы кубическими сплайнами

Получите местную среднюю кривую, m1



Получите остаток, r1 = x - m1

Повторите на h1, если он нарушает предположения и ограничения

Демонстрация Законченности

Применение спектра Гильберта


Смотреть в подлиннике.

rod.ru\arhiv\hht\Lecture12-13.pdf