Егоров Е. А. Организация модельного эксперимента

Вид материала

Содержание

GAMMA (i-1)
Z = SUMMA Xi
4.1.3. Моделирование потоков случайных событий

Подобный материал:

1 2 3

Егоров Е.А.

Организация модельного эксперимента

4.1.Моделирование случайных факторов.

Случайные факторы при ИМ могут иметь характер случайных вели-

чин (СВ), случайных процессов (СП), случайных событий (СС), потоков

случайных событий (ПСС). На практике обычно можно по результатам

имитации СВ имитировать другие виды фактеров.

Возникает задача моделирования СВ с произвольными законами

распределения. На практике используются некоторые базовые распреде-

ления, функциональным преобразованием которых можно обеспечить про-

извольное распределение СВ. В качестве базовых используется СВ с

равномерным ЗР.

Базовая СВ

f(z) f(z)- плотность распределения

1/(b-a)+----------------+---------------+- - - - - - - -

| | / |

| | / |

| | F(z) / |

| | / |

| | / |

| | / |

| |/ |

|- - - - - - - - +---------------+------------------> z

a b

z

F(z) = INTEGRAL f(t)dt интегральный ЗР

-0-0 - функция распределения

+

| 0, z < a

|

| z - a

F(z) = < -------, a <= z <= b

| b - a

|

| 1, z > b

+

a + b (b - a)**2

Mz = ------- , Dz = сигмаz**2 = ------------

2 12

В качестве базовой СВ часто используются СВ с равномерным ЗР в

интервале [0 - 1[.

f(z)

n +----------------+- - - - -

| /|

| / |

| / |

| / |

| / |

|/ |

- - - -+----------------+------------------> z

0 1

+

| 0, z < 0

|

F(z) = < z, a <= z <= b

|

| 1, z > 1

+

4.1.1. Моделирование БСВ.

Для генерации БСВ используются различные способы

- приставки к ЭВМ - аппаратный

- табличный

- алгоритмический

1. Аппаратный способ.

Датчик реализуется в виде некоторого аппаратного

расширителя, использующего случайного свойства какого-либо из

физических явлений.

Датчики шума часто используют п/п переход, обладающий шумящими

свойствами. После усиления с помощью амплитудного дискриминатора

создается случайная последовательность импульсов, которая преобра-

зуется с помощью пересчетных схем в параллельный двоичный код, со-

ответствующий числу накопленных за интервал Т импульсов из входной

случайной последовательности.

++++

+----+ +----+ +----+ -++++- +----+ Nz

| ДШ +--->| |> +--->| АД +--------| ПС +--->

+----+ +----+ +----+ +----+

| T

"+" - случайные свойства подобных датчиков

"-" - нестабильность (температурная и временная) случайной после-

довательности (СП), невозможность повторного воспроизведения СП.

2. Табличный.

Хранение в некоторой памяти реализации случайного процесса

достаточной длины, полученной с помощью аппаратного датчика

либо по таблице случайных чисел (ТСЧ).

"+" - возможность повторного воспроизведения СП,

"-" - значительные затраты памяти для хранения ТСЧ.

3. Алгоритмический.

Способ предполагает генерацию последовательности детерминиро-

ванных чисел, обладающих при достаточно большой длине последова-

тельности свойствами, приближающимися к случайным (псевдослучайные

числа).

Чаще всего используются рекуррентные соотношения:

z = f(z ,........,z ).

i (i-r) (i-1)

К началу генерации должны быть заданы первые r значений.

Чаще всего используются соотношения простые, r = 1.

Метод срединных квадратов.

-------------------------

Преобразование f заключается в возведении в квадрат предыдуще-

го отсчета и в выделении в полученном произведении двойной длины n

промежуточных результатов. При этом предполагается формат с ФЗ.

z = f(z ) = CUT (z **2)

i (i-1) n (i-1)

Мультипликативный метод.

----------------------

Наиболее популярен в настоящее время, предполагает преобразо-

вание вида:

z = MOD [ALFA + BETA * z ]

i GAMMA (i-1)

Выделяется остаток по MOD суммы ALFA + BETA* z

GAMMA (i-1)

и принимается в качестве следующего значения.

Пример.

AKFA = 3, BETA = 9, GAMMA = 15, z = 1.

1

Строим последовательность

1,12, 6, 3, ...

Наблюдается периодичность.

В общем случае можно выделить период T и отрезок апериодичнос-

ти в начальной последовательности.

Свойства датчика тем выше, чем больше длина периода Т. При мо-

делировании объем выборки не должен превышать длины периода, иначе

будет наблюдаться статистическая зависимость результатов испытаний

за счет повторения элементов псевдослучайной последовательности.

Полученная последовательность целых чисел может быть за счет деле-

ния на величину GAMMA преобразована в последовательность действи-

тельных чисел, изменяющихся в диапазоне [0, 1[.

[z / GAMMA] принадлежит [0, 1[.

i

|

+----------+

| |

+----------+---->

0 1

Датчик, построенный на ЭВМ с разрядной сеткой в 42 разряда

при GAMMA = 5**17 дает Т ~= 2**40.

"+" - возможность получения повторяемых псевдослучайных

последовательностей

"-" - трудность моделирования систем СВ

4.1.2. Моделирование СВ с произвольным распределением.

4. Второй алгоритмический способ - метод исключения.

Требует наличие какого - либо датчика БСВ. Предположим, что

известен вид плотности распределения СВ, f(x) - плотность

распределения СВ х.

Ограничения.

f(x)

|

| _____

| / \

| / \

| |

| |

+-----+----------------->

a b

f(x) принимает ненулевые значения в диапазоне [a, b].

Можно получить СВ х по правилам:

1. Получить два отсчета БСВ Z1, Z2.

2. Расчет промежуточных значений

e1 = Z1*(b - a) + a e2 = Z2*fmax

| |

V V

масштабирование смещение

3. Если значения e2 <= f(e1), f - функция плотности, то

значения е1 - новый элемент последовательности.

Метод легко обобщается на случай многомерной СВ.

Пример.

N - мерная плотность f(x1, x2, ..., xn)

Для системы n СВ.

Для получения нового элемента псевдослучайной

последовательности, которой является вектор из n компонент,

используются следующие шаги:

1. Генерируются Z1, Z2, ..., Zn, Zn+1

Zn+1 - отсчеты БСВ

----

2. Промежуточные значения ei = Zi*(bi - ai) + ai, i = 1, n

ai, bi - граничные значения для i координаты

В данном случае функция плотности - поверхность

(строится по линиям равного уровня).

en+1 = Zn+1*fmax

Если en+1 <= f(e1...en), то l1...ln - новый вектор.

Метод исключения применим для произведения одно- и

многомерных распределений, удовлетворяющих свойствам

ограниченности по каждой из координат.

"-" - сравнительно низкий коэффициент использования

исходной последовательности, формируемой датчиком БСВ.

На практике очень популярным для одномерных распределений

являются так называемый метод обратной функции.

f(x) - плотность распределения (желаемая)

Существует датчик БСВ [0, 1].

Условие: возможность получения прямой и обратной формы

z x

F(z) = интеграл fz(тау)dтау F(x) = интеграл Tx(f)df

-беск-ть -беск-ть

Если допустить F(x) = F(z), то можно применить обратное

преобразование

Fx**(-1)(F(x)) = Fx**(-1)(F(z))

+

| 0, z < 0

x = Fx**(-1)(F(z)) F(z) = | z, z принадлежит [0, 1]

| 1, z > 1

+

| f(z) | F(z)

| |

+-----------+ | -------

| | | /

| | | /

| | | /

| | | /

+-----------+-----> ----+----------------------->

0 1 z 0 1 z

экспоненциальное

распределение

Т. к. СВ (1 - z) распределена по такому

| \ f(x) же ЗР как и СВ z.

| \

| \ Рассмотренный метод положен в основу

| \ формирования экспоненциально-распре-

| \ деленной СВ в GPSS.

| \

| \

| \

| \

| \

+------------------------------>

x

x = Fx**(-1)(z), где z - БСВ

Если fх(х) = лямбда*е**(-лямбда*х), х >= 0

Найден Fx(x) = 1 - е**(-лямбда*х)

Fx(x) = Fz(z) = z

1 - е**(-лямбда*х) = z

1 - z = е**(-лямбда*х)

ln(1 - z) = е**(-лямбда*х)

-лямбда*х*lne = ln(1 - z)

-лямбда*х = ln(1 - z)

+----------------------------+

| 1 - ln(1 - z) |

| ------lnz = ----------- = x|

| лямбда лямбда |

+----------------------------+

Для моделирования СВ по НЗР используется свойство суммы

независимых СВ с произвольным распределением, которое с

увеличением числа слагаемых неограниченно стремится к СВ с НЗР.

n

х = сумма Zi, Zi - отсчеты БСВ

i = 1

МО mzi = 0.5 Dzi = 1 / 12

Для суммы: mсум = n*mzi = n * 0.5

Dx = n * Dzi = n / 12

при n = 12 mx = 6 Dx = 1

Распределение СВ х будет являтся некоторым приближением к

НЗР СВ. Для получения нормирования, нормального распределение СВ

с mx = 0 и сигмаско = 1 надо выполнить преобразования

12

x = сумма Zi - сигма (избегаем смещения)

i = 1

Использование данного метода объясняется тем, что для НЗР

не удается получить аналитические преобразования по методу

обратной функции.

Рассмотренные методы исключения, обратной функции и метод

суммирования показывает возможность моделирования

псевдослучайной величины с заданным ЗР на основании БСВ и РЗР.

Пример.

Рассмотрим частный случай моделирования дискретной СВ с

произвольным распределением.

Xi - множество значений ДСВ P(x1) P(x3)

P(Xi) - вероятность | |

сумма P(Xi) = 1 --+--+--+--+---

P(x2)

Моделирование сводится к отображению P(Xi) на интервал [0,

1] в виде.

При обращении к датчику БСВ будет разыграно значение z на

попадание в отрезок.

|

|

|

|P(x1) P(x2) P(Xn)

+--+-----+--+----+--+------>

0 z 1

Надо определить интервал, содержащий значение z, и принять

в качестве отсчета ДСВ значение х, связанное с этим интервалом.

Чем больше P(Xi), тем чаще отсчет БСВ будет попадать на

соответствующий интервал.

Раздел 4. Организация модельного эксперимента

4.1.Моделирование случайных факторов.

Случайные факторы (СФ) - это различные внешние возмущения,

воздействующие на исследуемую систему извне, или внутренние возму-

щения, возникающие внутри системы. Они могут иметь характер случай-

ных величин (СВ), случайных процессов (СП), случайных событий (СС),

потоков случайных событий (ПСС).

Примерами внещних случайных факторов любых ВС могут служить

погрешности, сопровождающие ввод исходных данных. Примерами внут-

ренних случайных факторов являются для аналоговых ВС - дрейфы опе-

рационных усилителей, для цифровых ВС - сбои различных элементов.

Воспроизедение случайных факторов с заданными вероятностными

характеристиками при статистическом моделировании может соущест-

вляться тремя способами: аппаратным, табличным или алгоритмическим.

4.1.1. Аппаратный и табличный способы моделирования СФ.

Аппаратный способ предполагает применение специальных элект-

ронных генераторов случайных сигналов. Действие их основано на не-

которых физических случайных явлениях, например, шумах в электрон-

ных и полупроводниковых приборах. Выходное напряжение генератора,

получаемое усилением шумовой э.д.с., представляет собой случайную

функцию времени U(t) c определенными вероятностными характеристика-

ми. Напряжение, фактически действующее на выходе генератора после

его включения - это реализация u(t) случайной функции U(t). Значе-

ния u(t), фиксируемые в определенные моменты времени t1,t2,.......,

tn после включения генератора, составляют систему (u1,u2,.....,un)

- реализацию системы случайных величин U1=U(t1),U2=U(t2),......,Un=

U(tn). Если интервалы между моментами времени t1,t2,.......,tn дос-

таточно велики, то случайные величины U1,U2,.....,Un могут считать-

ся независимыми. Если случайная функция U(t) стационарна относи-

тельно одномерного закона распределения, то значения

u1=u(t1),u2=u(t2),......,un=u(tn) реализации u(t) являются возмож-

ными значениями случайной величины U с тем же законом распределе-

ния. ния генератора

Рассмотрим две возможные структурные схемы аппаратных генерато-

ров случайных сигналов, пригодных для использования в качестве ап-

паратных расширителей для ЭВМ.

а). После усиления низковольтного шума, формируемого датчиком

шума (ДШ) усилителем (УС) с помощью амплитудного дискриминатора (АД)

создается случайная последовательность импульсов, которая преобразу-

ется с помощью пересчетных схем (ПС) в параллельный двоичный код Nz,

соответствующий случайному числу импульсов, накопленных за интервал

времени Т.

++++

+----+ +----+ +----+ -++++- +----+ Nz

| ДШ +--->| УС +--->| АД +--------| ПС +--->

+----+ +----+ +----+ +----+

| T

а). После усиления низковольтного шума, формируемого датчиком

шума (ДШ) усилителем (УС) с помощью аналого-цифрового преобразовате-

ля (АЦП) формируется последовательность отсчетов Nz в произвольные

моменты времени t, в частном случае с периодом Т.

+----+ +----+ +-----+ Nz

| ДШ +--->| УС +--->| АЦП +--->

+----+ +----+ +-----+

| t, T

"+"- случайность сигналов подобных генераторов случайных сигналов.

"-"- нестабильность (температурная и временная) вероятнстных ха-

рактеристик случайной функции U(t), невозможность воспроизведения ,

т.е. невозможность повторного получения одной и той же реализации u

(t).

Табличный способ моделирования СФ предполагает фиксацию реали-

заций случайных величин, функций и их систем и хранение их в памяти

с последующим считыванием и воспроизведением. Реализации могут быть

получены с помощью аппаратного генератора либо по таблице случайных

чисел (ТСЧ).

"+" - высокая точность и стабильность во времени вероятностных

характеристик моделируемых СФ; возможность повторного воспроизведения

реализации,

"-" - значительные затраты памяти для хранения ТСЧ.

4.1.2. Алгоритмический способ моделирования СФ.

4.1.2.1. Моделирование базовых случайных величин (БСВ).

На практике обычно можно по результатам моделирования СВ моде-

лировать другие виды факторов. Возникает важная задача моделирова-

ния СВ с произвольными законами распределения. На практике исполь-

зуются некоторые базовые СВ, функциональным преобразованием которых

можно обеспечить произвольное распределение СВ. В качестве базовых

чаще всего используются СВ с равномерным ЗР.

f(z) f(z)- плотность распределения

1/(b-a)+----------------+---------------+- - - - - - - -

| | / |

| | / |

| | F(z) / | Базовая СВ

| | / |

| | / |

| | / |

| |/ |

|- - - - - - - - +---------------+------------------> z

a b

z

F(z) = INTEGRAL f(t)dt интегральный ЗР

-0-0 - функция распределения

+

| 0, z < a

|

| z - a

F(z) = < -------, a <= z <= b

| b - a

|

| 1, z > b

+

a + b (b - a)**2

Mz = ------- , Dz = (SIGMAz)**2 = ----------

2 12

В качестве базовой СВ часто используются СВ с равномерным ЗР в

интервале [0 - 1[.

f(z)

n +----------------+- - - - -

| /|

| / |

| / |

| / |

| / |

|/ |

- - - -+----------------+------------------> z

0 1

+

| 0, z < 0 Mz = .5

|

F(z) = < z, a <= z <= b Dz = 1/12

|

| 1, z > 1 SIGMAz = 1/(2*SQRT(3)

+

Алгоритмический способ предполагает генерацию детерминирован-

ной последовательности чисел, обладающих при достаточно большой

длине последовательности свойствами, приближающимися к случайным

(псевдослучайные числа).

Чаще всего используются рекуррентные соотношения:

z = f(z ,........,z ).

i (i-r) (i-1)

К началу генерации должны быть заданы первые r начальных значе-

ний. Чаще всего используются простые соотношения , r = 1. Пригод-

ность выбранной функции f определяется анализом получаемой последо-

вателности z0,z1,.....,zi статистическим методами.

Пример. Метод срединных квадратов.

-------------------------

Преобразование f заключается в возведении в квадрат предыдущего

отсчета и в выделении в полученном произведении двойной длины n про-

межуточных результатов. При этом предполагается формат с ФЗ.

z = f(z ) = CUT (z **2)

i (i-1) n (i-1)

Пример. Мультипликативный метод.

----------------------

Наиболее популярен в настоящее время, предполагает преобразова-

ние вида:

z = MOD [ALFA * z ]

i BETA (i-1)

где ALFA, BETA, z0 - целые положительные константы. Выделяется остаток

по MOD произведения ALFA* z и принимается в качестве следующего

BETA (i-1)

значения.

Характер последовательности z0,z1,.....,zi зависит от выбора

ALFA, BETA, z0. Во всех случаях после некоторого числа шагов L по-

лучится отрезок последовательности z0,z1,.....,zk,zk+1,......,zL-1

такой, что остальные значения последовательности будут получаться

повторением отрезка zk+1,.....,zL-1.

Отрезок z0,....,zk длиной k+1 называется отрезком апериодич-

ности псевдослучайной последовательности, отрезок zk+1,.....,zL-1 -

периодом, число P=L-(k+1) - длиной периода.

Свойства датчика тем выше, чем больше длина периода P. При мо-

делировании объем выборки не должен превышать длины периода, иначе

будет наблюдаться статистическая зависимость результатов испытаний

за счет повторения элементов псевдослучайной последовательности.

Пример. ALFA = 3, BETA = 15, z0 = 1.

Строим последовательность 1, 3, 9, 12, 6, 3, 9, 12,..., в ко-

торой L=5, P=4

Полученная последовательность целых чисел может быть за счет де-

ления на величину BETA преобразована в последовательность действи-

тельных чисел [z / BETA], принадлежащих интервалу [0, 1[.

|

+----------+

| |

+----------+---->

0 1

Пример. Датчик, построенный на ЭВМ с разрядной сеткой в 42 разряда при

ALFA = 5**17, BETA = 2**42 дает L=P= 2**40.

"+" - возможность получения повторяемых псевдослучайных последо-

Blog

Егоров Е. А. Организация модельного эксперимента

Содержание