Егоров Е. А. Организация модельного эксперимента

Вид материала

Подобный материал:

1 2 3

параметров, обеспечивающих требуемое качество функционирования

исследуемой системы, необходимо знание зависимости характеристик

от параметров.

Прямая задача.

-------------

Проводится некоторая серия экспериментов и по их

результатам необходимо определить функциональную зависимость,

связывающую характеристики исследуемой системы с параметрами.

При этом, обычно, задаются классом исследуемых зависимостей.

y

y2 | /

| / y = b0 + b1 * x

| /

| /

| /

y1 | /

+------------------->

x1 x2 x

Метод "наименьших квадратов"

Предположим, что проведено N экспериментов. Надо выбрать

коэффициенты b0 и b1 таким образом, чтобы минимизировать сумму

квадратов расстояний по оси ординат, точек, соответствующих

отдельным экспериментам от искомой прямой.

+ +

| N |

F = |SUMMA (yi - (b0 + b1 * x1))**2| ---> min

|i = 1 |

+ +

Задача сводится к поиску extr

d'F d'F

----- = 0; ----- = 0 - условие экстремума

d'b0 d'b1

N N N

F = SUMMA(yi**2) - 2*b0*SUMMA(yi) - 2*b1*SUMMA(yi * xi) +

i = 1 i = 1 i = 1

N N N

+ SUMMA(b0**2) + 2*b0*b1*SUMMA(xi) + b1**2*SUMMA(xi**2)

i = 1 i = 1 i = 1

+-----------+

N*b0**2

+

| d'F N N

|----- = -2*SUMMA(yi) + 2*N*b0 + 2*b1*SUMMA( ??? ) = 0

| d'b0 i = 1 i = 1

<

| d'F N N N

|----- = -2*SUMMA(yi*xi) + 2*b0*SUMMA(xi) + 2*bi*SUMMA(xi**2) = 0

| d'b1 i = 1 i = 1 i = 1

+

| N | | N |

| N SUMMA(xi) | | SUMMA(yi) |

| i = 1 | |b0| | i = 1 |

| | * | | = | |

| N N | |b1| | N |

|SUMMA(xi) SUMMA(xi**2)| |SUMMA(yi*xi)|

|i = 1 i = 1 | |i = 1 |

Находим b0, b1 по методу Крамера.

N N N N

SUMMA(yi)*SUMMA(xi**2) - SUMMA(xi)*SUMMA(yi * xi)

i = 1 i = 1 i = 1 i = 1

b0 = -----------------------------------------------------

N N

SUMMA(xi**2) - (SUMMA(xi))**2

i = 1 i = 1

N N N

N * SUMMA(yi * xi) - SUMMA(yi)*SUMMA(xi)

i = 1 i = 1 i = 1

b1 = -------------------------------------------

N N

SUMMA(xi**2) - (SUMMA(xi))**2

i = 1 i = 1

Рассмотренная задача названа прямой в том смысле, что не

рассматривается вопрос о том, как был организован эксперимент,

т. е. как выбиралось значение N и значения xi, для которых

определялись значения yi.

Обратная задача.

---------------

Необходимо так спланировать эксперимент, чтобы при минимальном

числе опытов построить экспериментальную функцию отклика(реакции),

связывающую отклик (реакцию) системы Y с множеством входных независи-

мых переменных факторов xi, которыми можно варьировать при постановке

эксперимента.

Y = f (xi), i = 1, n

xi - переменные, управляемые, варьируемые факторы

Y - отклик

Общий случай, когда вид функции f заранее не известен.

Ограничимся поиском ее разложения в ряд Тейлора в окрестности не-

которой точки Х0, где Х0 = {x10, x20, ..., xn0} в N-мерном ФП.

| в 2-мерном ФП

+--------+-------+

x20 +--------|---+ |

+--------+---|---+

| | | |

| | | |

| | | |

+--------+---+---+------->

xmin x10 xmax

N N

Y = BETA0 + SUMMA(BETAi*xi) + SUMMA(BETAil * xi * xl) +

i = 1 i,l=1

N

+ SUMMA(BETAii * xi**2) + ...

i = 1

BETA - выражаются через частные производные

d'f | 1 d'**2f |

BETAi = ----- | BETAii = --- -------- |

d'xi | x = X0 2 d'xi**2 | x = X0

d'**2f |

BETAil = --------- |

d'xi*d'xl | x = X0

BETA - теоретический коэффициент ряда Тейлора.

Наряду с управляемыми факторами на систему могут

воздействовать неуправляемые и неконтролируемые факторы, в

результате чего Y является СВ. Поэтому по результатам

эксперимента может быть построена только приближенна зависимость

вида:

n n

Y = b0 + SUMMA(Bi * xi) + SUMMA(Bil * xi * xl) +

i = 1 i,l=1

n

+ SUMMA(Bii * xi**2) + ...

i = 1

Эта зависимость f' - уравнение регрессии, которое связывает

МО отклика системы со значением переменных факторов.

Y - МО отклика,

b0, bi, ... - выборочные коэффициенты регрессии.

Выборочные коэффициенты могут служить статистическими

оценками теоретический коэффициентов ряда Тейлора.

Стоит задача отыскания выборочных коэффициентов регрессии

(ВКР) по результатам опытов в M точках ФП.

Допущения:

1. результаты наблюдений отклика системы в различных точках ФП

рассматриваются как независимые СВ с НЗР с одинаковыми дисперсиями,

2. погрешности задания варьируемых факторов существенно меньше

погрешностей измерения Y.

Ограничимся для наглядности уравнением регрессии второго порядка

с тремя независимыми факторами x1, x2, x3.

Y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b12*x1*x2 + b23*x2*x3 +

+ b13*x1*x3 + b11*x1**2 + b22*x2**2 + b33*x3**2

Введем фиктивные переменные:

x0 -> f0 x1x2 -> f4 x1**2 -> f7

x1 -> f1 x2x3 -> f5 x2**2 -> f8

x2 -> f2 x1x3 -> f6 x3**2 -> f9

x3 -> f3

9

Y = SUMMA(Bj*fj)

j = 0

Задача сводится к определению коэффициентов Bj.

Необходимо организовать M экспериментов, в каждом из которых фик-

тивным переменным fj, отражающим варьируемые факторы и их сочетания,

назначаются некоторые значения. Каждому g-му набору (g=1,...,M) значе-

ний фиктивных переменных fj соответствует единичный эксперимент c но-

мером g, в котором производится N наблюдений отклика системы и после

усреднения определяется математическое ожидание отклика yg.

Построение плана эксперимента и является задачей стратегического

планирования. Построим матрицу F, строки в которой соответствуют зна-

чениям фиктивных переменных в одном эксперименте с номером g, g =

1,...,M.

F ---> j Y

| f10 f11 f1j ... f19 | y1 |

| | ... ... ... ... ... | ...| Математическое

| | ... ... ... ... ... | | ожидание

V | fg0 fg1 fgj ... fg9 | yg | отклика

| ... ... ... ... ... | ...| (реакции системы)

g | ... ... ... ... ... | |

| fM0 fM1 fMj ... fM9 | yN |

N +------------------\/-----------------+

Матрица F - план экспериментов.

Задачу определения коэффициентов Bj будем решать методом

наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов.

M M 9

F = SUMMA (yg - yg)**2 = SUMMA (yg - SUMMA(Bj*fgj)**2) -> min

g = 1 g = 1 j = 0

Значение Bj находится как решение системы нормальных уравнений,

полученных приравниванием нулю частных произведений.

d'F ----

----- = 0 j = 0, 9

d'Bj

Система нормальных уравнений.

+

| С00*В0 + С01*В1 + ... + C0j*Bj + ... + C09*B9 = A0

/ С10*В0 + С11*В1 + ... + C1j*Bj + ... + C19*B9 = A1

\ ...

| С90*В0 + С91*В1 + ... + C9j*Bj + ... + C99*B9 = A9

+

M

||Cjl|| Cjl = SUMMA fgj*fgl - скалярное произведение

g = 1 столбцов матрицы F

M

Aj = SUMMA fgj*yg - правая часть

g = 1

Для существования единственного решения системы уравнений относи-

тельно коэффициентов Bj необходимо и достаточно, чтобы матрица ||C||

была невырожденной, т. е. ее определитель <> 0. Это условие выполняет-

ся в случае линейной независимости столбцов в матрице ||F||.

Решая СУ методом Крамера, получаем решение общего вида

|Cj|

Bj = ------, где |C| - главный определитель,

|C|

|Cj| - частный определитель, получаемый заменой j-го столбца

вектором правых частей.

В общем случае значение коэффициента Bj будет зависеть от коли-

чества ненулевых слагаемых в уравнении регрессии, что затрудняет ин-

терпретацию каждого из коэффициентов Bj. Ситуация упрощается, если

||C|| - диагональная матрица, т. е. все элементы, кроме диагональных,

равны 0.

M

Cjl = SUMMA fgj*fgl = 0 при j <> l

g = 1

Для диагональной матрицы возможно раздельное определение

коэффициентов, т. к. СНУ распадается на уравнения вида:

+

| С00*В0 = A0

/ С10*В0 = A1

\ ...

| С90*В0 = A9

+

Условие диагональности ||C|| - попарная ортогональность

столбцов в матрице ||F||.

Для получения независимых оценок коэффициентов в уравнении

регрессии надо так спланировать эксперимент, т. е. построить

такую матрицу планирования, чтобы выполнялось условие линейной

независимости и ортогональности матрицы.

4.2.3. Полный и дробный факторный эксперимент.

Наиболее разработаны факторные эксперименты с двумя

уровнями независимых факторов, изменяющихся в ходе эксперимента.

Для каждого фактора выбирается условный нулевой уровень xi0

и два симметричных относительно него уровня.

xi0 + DELTAxi - верхний xi0 - DELTAxi - нижний

xi0 - независимый фактор

Значение DELTAхi выбирается таким, что изменение функции

отклика системы может быть надежно выделено на фоне помех,

обусловленных изменением неконтролируемых и ненаблюдаемых в ходе

эксперимента факторов. Для удобства проводят нормирование

xi - xi0 ---> +1

Zi = ----------

DELTAxi ---> -1

Z - безразмерная величина

При составлении матрицы планирования надо обеспечить

условия линейной независимости и ортогональности столбцов

матрицы ||F||.

M = 2**n

M - число экспериментов

n - число независимых факторов

В полном факторном эксперименте с двумя уровнями возможно

раздельное определение коэффициента Bi в уравнении регрессии.

Соответствие линейных членов и членов, учитывающих

взаимодействие отдельных факторов между собой.

y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b12*x1*x2 + b23*x2*x3 +

+ b13*x1*x3 + b123*x1*x2*x3

все другие составляющие не используются

Матрице планирования для полного эксперимента можно

сопоставить рис. 1.

(-1;-1;+1) (+1;-1;+1)

+--------------------+

/| /|

/ | z3 / |

/ | / |

(-1;+1;+1)+-----------|--------+ (+1;+1;+1)

| | *---> z1 | |

(-1;-1;-1) +------/---------|---+

| / v | / (+1;-1;-1)

| / z2 | /

|/ |/

(-1;+1;-1) +--------------------+

(+1;+1;-1)

Таблица

+-------+--------------+-----------------------+--------+

| Номер | Планирование | Расчет | Отклик |

| опыта | Z0 Z1 Z2 Z3 | Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3 Z1Z2Z3 | |

+-------+--------------+-----------------------+--------|

| 1 | +1 -1 -1 -1 | 1 1 1 -1 | y1 |

| 2 | +1 1 -1 -1 | -1 -1 1 1 | y2 |

| 3 | +1 -1 1 -1 | -1 1 -1 1 | y3 |

| 4 | +1 1 1 -1 | 1 -1 -1 -1 | y4 |

| 5 | +1 -1 -1 1 | 1 -1 -1 1 | y5 |

| 6 | +1 1 -1 1 | -1 1 -1 -1 | y6 |

| 7 | +1 -1 1 1 | -1 -1 1 -1 | y7 |

| 8 | +1 1 1 1 | 1 1 1 1 | y8 |

+-------+--------------+-----------------------+--------+

Попарная ортогональность - скалярное произведение = 0, чисел +1

и -1 в скалярном произведении должно быть одинаковое количество.

После проведения экспериментов в соответствии с планом

эксперимента, причем в каждой точке факторного пространства ФП

должно быть проведено несколько независимых измерений отклика

системы.

Статистик выполняет следующую работу.

1. Проводит анализ однородности выборочных дисперсий.

Это связано с тем, что дисперсионный анализ предполагает

равенство теоретических дисперсий значений отклика в разных

точках ФП, которые предполагаются независимо нормально

распределенными СВ с равными дисперсиями.

Цель этапа: проверка гипотез о равенрстве дисперсий в

разных точках ФП.

2. Определение выборочных коэффициентов уравнения

регрессии УР.

Проверяется гипотеза о значимости коэффициента регрессии.

H0: bj = 0 - основная гипотеза.

Если основная гипотеза справедлива, то коэффициенты должны

быть приняты незначимыми, т. е. влияния парного воздействия нет.

3. Проверка адекватности математической модели.

Состоит в определении оценки МО M[Y] при полученых на

предыдущем этапе выборочных коэффициентов и оценка отклонения

этого МО от значений откликов, полученных в ходе эксперимента.

Если исследователя интересуют только линейные члены УР (а

при вводе должна быть известна информация о малости других

коэффициентов регрессии).

Полный факторный эксперимент будет избыточным, стоит задача

уменьшения числа экспериментов при том же числе независимых

факторов.

ПФЭ - полный факторный эксперимент.

|x2

-1,+1 | +1,+1

n = 2 +----------+----------+

| | |

| | |

| | |

| |(x10,x20) |

---------|----------+----------|--------->

| | | x1

| | |

| | |

| | |

+----------+----------+

-1,-1 | +1,-1

|

y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b12*x1*x2

по УР получаем 4 коэффициента

Если в ходе ПФЭ ставится задача оценки только линейной

части УР, что имеет место на начальных этапах исследования

системы, допускающих достаточно грубые приближения, можно

ставить задачу уменьшения числа экспериментов при том же числе

факторов, либо увеличения числа факторов, допускающих

варьирование при том же числе ФЭ.

Предположим, для случая n = 2 можно пренебречь взаимным

влиянием факторов х1, х2 и считать коэффициент b12 ~= 0. Тогда

можно приравнять var х1*х2 к третьему фактору.

+-----+-------------------+ Z12 = Z1*Z2

| | План эксперимента |

| n=2 +--+--+--+------+---| Ортогональность остается, а число

| |Z0|Z1|Z2|Z12=Z3| y | экспериментов возрастает (3 -> 4)

+-----+--+--+--+------+---| при том же числе факторов (3).

| 1 | 1|-1|-1| 1 | |

| 2 | 1| 1|-1| -1 | |

| 3 | 1|-1| 1| -1 | |

| 4 | 1| 1| 1| 1 | |

+-----+--+--+--+------+---+

ДФЭ - дробный ФЭ

+-----++----+----+----+----++-----+-----+-----+------+---+

| n=3 || Z0 | Z1 | Z2 | Z3 || Z12 | Z13 | Z23 | Z123 | y |

+-----|+----+----+----+----|+-----+-----+-----+------+---|

| 1 || 1 | -1 | -1 | 1 || 1 | -1 | -1 | 1 | |

| 2 || 1 | 1 | -1 | -1 || -1 | -1 | 1 | 1 | |

| 3 || 1 | -1 | 1 | -1 || -1 | 1 | -1 | 1 | |

| 4 || 1 | 1 | 1 | 1 || 1 | 1 | 1 | 1 | |

+-----++----+----+----+----++-----+-----+-----+------+---+

В полученной матрице планирования нарушается свойство

ортогональности. Находятся пары столбцов, скалярное произведение

которых <> 0.

Неортогональные столбцы:

Z0, Z123 Z2, Z13

Z1, Z23 Z3, Z12

Т. к. проводится только 4 эксперимента, то решением

системы из 4-х уравнений по методу наименьших квадратов можно

определить только 4 коэффициента В0, В1, В2, В3 (линейная часть).

Найденные коэффициенты позволяют определить смешанные

коэффициенты.

B0 --> b0 + b123

B1 --> b0 + b23

B2 --> b0 + b13

B3 --> b0 + b12

Вследствие нарушения ортогональности в матрице планирования

происходит смешивание коэффициентов УР. Принимая допущение о

малости взаимного влияния независимых факторов, можно с помощью

ДФЭ увеличить число независимых факторов на 1 (в данном случае).

4.2.4. Примеры использования факторного эксперимента

Методы ФЭ применимы к различным объектам. Первые работы

были связаны с оптимизацией управления технического процесса,

где необходимо проводить оптимизацию часто в условиях

непрерывного производства, что накладывает жесткие требования на

число экспериментов.

Применительно к системному уровню проектирования ВС эти

методы позволяют уменьшить затраты машинного времени

инструментальной ЭВМ при поиске оптимальной структуры ВС.

Рассмотрим задачу параметрической оптимизации ВС для двух

управляемых параметров (факторов).

Линии

равного |x2

уровня |

|

|

|

|

|

|

|

---+------------------------------->

| x1

1. Метод Гаусса - Зейделя.

2. Градиентный метод.

Основан на движении в направлении, соответствующем

наибольшей скорости убывания / возрастания функции.

Для этого в каждой точке траектории движения определяется

направление градиента, составляющими которого служат частные

производные функции качества по соответствующим переменным.

Следование по перпендикуляру к линиям равного уровня.

3. Метод наискорейшего спуска / подъема.

Является комбинацией методов 1, 2. В отличие от метода 2

вектор градиента находится только в начальной точке и в точках

локальных экстремумов по направлению движения. После определения

grad в начальной точке движение в этом направлении

осуществляется до тех пор, пока не будет найден глобальный

экстремум на этом направлении. Затем ищем новое направление

движения (через grad) и т. д. до тех пор, пока не достигнем

extr.

Методы 2, 3: необходимо определить grad.

Определение grad (n = 2)

а) Традиционный способ.

Ищем по двум направлениям

+ |x2

| dF F(L1) - F(L2) | | L3

| --- ~= --------------- | |

| dx1 2дельтаx1 | дельтаx1 |

/ | -------+-------

\ | L2 /| L1

| dF F(L3) - F(L4) | / |

| --- ~= --------------- | | L4

| dx2 2дельтаx2 |

+ +-------------------------->

x1

Данный способ предполагает детерминированность функции F и

может давать значительные погрешности при определении

направления grad за счет наличия неуправляемых и

неконтролируемых воздействий на F.

В условиях действия помех лучше определять направление grad

по результатам ПФЭ или ДФЭ. Направление grad перпендикулярно

повержности в n-мерном ФП, касательной к функции качества F в

рабочей точке, т. е. в точке, в которой определяется grad.

f = a0 + a1*x1 + a2*x2 b0, b1, b2 - коэффициенты УР.

Для определения коэффициентов уравнения поверхности можно

использовать УР, получаемого в ходе ФЭ.

|x2 -1,+1 +1,+1 Делаем сложные пробные

| +---------+ шаги (не L1, a -1,+1),

| | L0 | что улучшает точность.

| | + |

| | |

| +---------+

| -1,-1 +1,-1

+-------------------------->

x1

Blog

Егоров Е. А. Организация модельного эксперимента