Учебное пособие 9-11 классы Министерство образования и науки Российской Федерации

Вид материала

Учебное пособие

Содержание Л.М. Фридман. Тема 1. КОМБИНАТОРИКА. 1.1 Общие правила комбинаторики 1.2 Типы соединений 1.3 Перестановки. Число перестановок 1.4 Размещения. Упорядоченные множества Размещение с повторениями — Размещение без повторений 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день? Решение. Пример. В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными. Сколькими способами это можно сделать? Решение 1.6 Задачи по комбинаторике Тема 2. элементы теории вероятностей. Пример. Наступление ночи по прошествии дня —достоверное событие • Пример. Пример. Выпадение цифры 5 при бросании десятикопеечной монеты— невозможное событие. Пример. А— « выбито очков, где 1 изменяется от 0 до 10», В — Е —«выбито менее 5 очков», F— 2.2 Операции над событиями А— «вынут красный шар»; В—«вынут белый шар»; С—«вынут черный шар». Событие А+В А». В—«турист посетил город В» АВС, то это означает, что наступило событие «А и В ... Полное содержание

Подобный материал:

• Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский, 861.04kb.
• Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский, 1116.36kb.
• Учебное пособие Оренбург 2004 Министерство образования и науки Российской Федерации, 3542.12kb.
• Учебное пособие Челябинск 2006 Министерство образования и науки Российской Федерации, 864.53kb.
• Министерство образования и науки Российской Федерации гоу впо «Сыктывкарский государственный, 653.44kb.
• Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственный, 343.55kb.
• Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации, 936.13kb.
• Учебное пособие Чебоксары 2009 Министерство образования и науки Российской Федерации, 1938.24kb.
• Министерство образования и науки Российской Федерации Уссурийский государственный педагогический, 1207.04kb.
• Министерство образования и науки российской федерации, 2585.99kb.

Мельникова Ю. Б.

Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся

Учебное пособие

9-11 классы





Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение «Лицей №13» г. Троицк

Мельникова Ю.Б.


Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся


Троицк 2009


Мельникова Ю. Б. Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся: Учебное пособие для учащихся. – Троицк, УГАВМ, 2009. - 129 с.


Данное пособие поможет реализовать программу курса «. Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся». Пособие рассчитано на учащихся 9-11 профильных классов школ, лицеев и школ с углубленным изучением математики. Оно будет полезно для учителей математики, занимающихся ее прикладными вопросами.


Рецензенты:

С. А. Старченко, профессор, доктор педагогических наук, директор МОУ «Лицей № 13».

Р. Х. Галеева, учитель математики МОУ «Лицей № 13», учитель высшей категории.


© Мельникова Ю.Б.


Оглавление:

Введение…………………………………………..…………….…..5

ТЕМА 1. Комбинаторика……………………………..……………………….5

1. Общие правила комбинаторики………………….……….……6
   
2. Типы соединений…………………….…………………….……8
   
3. Перестановки. Число перестановок………………….……...…8
   
4. Размещения. Упорядоченные множества…………………..…10
   
5. Сочетания и некоторые свойства сочетаний……….….……..13
   
6. Задачи по комбинаторике………………….………..….….…..15
   

ТЕМА 2. Элементы теории вероятностей………………..………16

2.1 Случайные события………………….………………….……..16

2.2 Операции над событиями……………………………..…….…22

2.3 Классическая формула вероятности…………..……….……...25

2.4 Теоремы сложения и умножения вероятностей……………...28

2.5 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей….32

2.6 Формула полной вероятности. Формула Байеса………….….37

2.7 Повторение испытаний. Формула Бернулли………..….…….39

2.8 Асимптотические формулы…………….……………….…….42

2.9 Случайные величины…………………….…………………….43

2.10 Ряд распределения случайной величины……………...……46

2.11 Функция распределения вероятностей…………..……..……49

2.12 Математическое ожидание и дисперсия…………….…..…..50

2.13 Задачи………………….………………………….………..….53

2.14 Виды распределений…………..…………………………..….54

2.15 Распределения, связанные с нормальным распределением..58

2.16 Задачи по теории вероятностей……………..…………….…61

ТЕМА 3. Элементы математической статистики……………..….63

3.1 Генеральная совокупность и выборка………..……..……..….63

3.2 Вариационные ряды…………………….………….………..…69

3.3 Полигон и гистограмма………………………..………..……...72

3.4 Статистические характеристики вариационных рядов………74

3.5 Среднее арифметическое и его свойства………….……….…75

3.6 Выборочная дисперсия и ее свойства…………..……………76

3.7 Задачи……………….………………………………………..…78

3.8 Статистическое оценивание числовых характеристик

случайной величины и закона распределения……………....…..78

3.9 Проверка статистических гипотез………………..………..….79

3.10 Проверка гипотез о законе распределения……..…….…..…83

3.11 Задачи……………..………………………………………..….86

ТЕМА 4. Методы статистической обработки результатов

проведения естественнонаучного эксперимента…………..….…87

4.1 Общая характеристика методов и первичная

статистическая обработка………..………………………………..87

4.2 Коэффициент ранговой корреляции…………………….....…99

4.3 Вторичная статистическая обработка…………………….....101

4.4 Способы табличного и графического представления

результатов эксперимента……………………………………….110

4.5 Примеры статистической обработки исследований……..…111

4.6 Что такое метрология…………………………………..……..114

Литература…………………………..………………………….....129


«Человек рождается без умения мыслить, лишь с задатками к нему. Мыслить он научается постепенно, в процессе жизненной практики… О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности.»

Л.М. Фридман.


ВВЕДЕНИЕ

Овладение любой профессией требует определенных математических знаний. Будь то инженер или адвокат, строитель или экономист. Необходимый набор математических знаний является важным компонентом общей культуры человека. И приступая к практической, профессиональной деятельности человек понимает, что без прочной математической подготовки ему не обойтись.

Математика прочно занимает одно из первых мест в науке, жизни общества, исследовательской деятельности. В последнее время становится очевидной необходимость введения в школьный курс математики таких разделов как «Комбинаторика», «Элементы теории вероятностей» не только в классах с углубленным изучением математики, но и в общеобразовательных классах и даже в профильных гуманитарных классах. Это связано с тем, что перечисленные разделы математики не только помогают изучению всех школьных дисциплин, но и облегчают адаптацию к общественной жизни.

Данный курс призван помочь учащимся заполнить пробелы в знании закономерностей случайных событий, познакомить с общими законами логики, организовать их исследовательскую деятельность, опираясь на математические законы.


Тема 1. КОМБИНАТОРИКА.

При изучении любого предмета мы сталкиваемся с тем, что всякий раз погружаемся в новый, незнакомый нам доселе язык. При изучении математики это заметно более отчетливо: кроме естественного, русского языка, мы знакомимся с новым для нас математическим языком. Значение новой терминологии для нас связано, прежде всего, с обеспечением краткого и точного изложения материала. Но математика многоязычна: язык арифметики, язык геометрии, язык теории пределов. В этом разделе мы познакомимся с языком комбинаторики.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчи­ненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.


1.1 Общие правила комбинаторики

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а объект В - k: способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать т+k способами.

Пример. В ящике имеется m разноцветных шариков. Произ­вольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Конечно, т способами.

Теперь эти n шариков распределены но двум ящикам: в первом т шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вы­нимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из первого ящика шарик можно вытянуть т различными способами, из второго k: различными способами, всего п=т+k способами.

Правило произведения

Если объект А можно выбрать т способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать т+k способами.

Задача. Сколько можно записать двузначных чисел в десятич­ной системе счисления?

Поскольку число двузначное, то число десятков (т) может при­нимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть рав­ным нулю. Отсюда следует, что т=9, а k=10. Всего получим дву­значных чисел n=m*k =9*10=90.

Следствие. Правило произведения справедливо и для любого конечного числа объектов.

Если некоторый объект А_i(i=1, 2, ..., п) можно выбрать К_i (i=1,2, ..., п) способами (причем, каждый следующий объект выбирается независимо от выбора предыдущего объекта), то объекты А₁,А₂,…,А_n можно выбрать k =k₁*k₂*…k_n спо­собами.

Например, сколькими способами можно составить трехзнач­ное число, делящееся на 5? Число имеет три позиции, каждую из которых мы назовем событием:

— событие A₁, — число сотен, их можно выбрать k₁= 9 (все цифры, кроме 0) способами;

— событие A₂— число десятков, их можно выбрать k₂=10 (все цифры , включая 0) способами;

— событие А₃ — число единиц, которым удовлетворяет толь­ко две цифры: 0 и 5. следовательно, k₃ = 2.

Таким образом, всего получаем n = k₁*k₂*k₃ =9*10*2=180 чисел.

1.2 Типы соединений

Одним из важнейших понятий современной математики явля­ется понятие множества. Говорят о множестве учащихся в классе, о множестве букв алфавита, о множестве изделий в упаковке и т.д.

Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством зна­комства с различными примерами множеств. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементами в фигурных скобках: {а, Ь, с,..., е,f}. Во множестве порядок элементов роли не играет, так {а,b)={b, а}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом Ø. Множества эле­ментов называют соединениями. Различают три типа соединений: перестановки из п элементов; размещения из n элементов по m, сочетания из п элементов по m (т<п). Рассмотрим эти типы соеди­нений.


1.3 Перестановки. Число перестановок

На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая си­туация встречается часто — рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n -1)оставшихся ест, третий человек может выбрать из уже (n -2) мест, предпоследний человек выбирает из 2 мест, а после­дний получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1. .

В общем виде произведение всех целых чисел от 1до n включи­тельно обозначают

n!=1*2*3...(n -2)*(п-1)*n;

Определение. Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.

Перестановки можно образовывать из элементов любого ко­нечного множества. Число перестановок из n элементов обознача­ют P_n. Возьмем одноэлементное множество {а}. Ясно, что один эле­мент можно упорядочить единственным образом, следователь­но, P₁=1.

Перестановки — это такие соединения по n элементов из дан­ных элементов, которые отличаются одно от другого порядком эле­ментов.

Возьмем двухэлементное множество {а, b}. В нем можно уста­новить два порядка: {а, b} или {b,a}. Следовательно, число переста­новок из двух элементов P₂=2.

Три буквы во множестве {a,b, с} можно расположить по порядку шестью способами:

{а,b,с}; {а,с,b}; {b.а.с}; {b,с,а}; {с,b,а} ;{с,а,b}.

Следовательно, общее число способов упорядочения трех эле­ментов множества P₃ =3*P₂ =3*2*1=6. Докажем, что справедлива рекурентная формула:

P_n =n*P_n-1 (*)

Пусть требуется упорядочить n - элементное множество. По­лагая в формуле (*) последовательность n=2, 3, 4. ..., име­ем: P₂ =2*Р₁=2*1, P₃=3*Р₂ =3*2*1;

P₄ = 4 • Р₃ = 4 • 3 • 2 • 1 Методом полной математической ин­дукции докажем, что при любом натуральном n справедлива фор­мула.

Р_n=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1=n! (**)

где n!=1*2*3*... *n — произведение всех натуральных чисел от I до n.

При n=1 формула (**) справедлива, так как Р₁ =1 . Предположим, что формула (**) справедлива при n=k и докажем ее справедливость при n=k+1. Действительно, по рекуррентной фор­муле (*) при n=k+1 имеем

P_k+1 =(k+1)*P_k (***)

При n=k формула (**) справедлива, следовательно,

P_k =k _* (k-1)*…*2*1 (****)

Подставив (****) в (***), имеем

P_k+1 =(k+1)*k*(k-1)*…*2*1=(k+1)!

Итак, число способов упорядочения n элементов множества равно n!


1.4 Размещения. Упорядоченные множества

Определение. Множество вместе с заданным порядком распо­ложения его элементов называется упорядоченным множеством. Если в упорядоченном множестве изменить расположение элемен­тов, то мы получим другое, отличное от первого множество.

В комбинаторике конечные упорядоченные множества назы­ваются размещениями.

Упорядоченные множества будем записывать в крутых скоб­ках, располагая его элементы в заданном порядке (х₁ ;х₂ ,….,х _n)

Например, упорядочивая трехэлементное множество {а,b, с}. мы получим 6 упорядоченных множеств:

(a,b, с); (а,с, b); (b, а. с);(b, с, а); (с, b, а); (с, а,b).

Размещения из п элементов по т (т<п) — это такие соединения из n элементов по m, которые отличаются одно от другого либо порядком элемен­тов, либо, но крайней мере. одним элементом.

Число размещений из n элементов но m обозначают А^m_n. Пусть исходное множе­ство состоит из букв (а, b, с). Ставится задача: посчитать количе­ство размещений из трех элементов по два: А²₃.

Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмно­жества из данных трех элементов а, b, с.

Для наглядности составим таблицу, где и запишем все возмож­ные подмножества.

а b c

а (a; a) (a; b) (a; c)

b (b; a) (b; b) (b; c)

c (c; a) (c; b) (c; c)

Размещение с повторениями — каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен более чем одним экземпля­ром (включая элементы диагонали таблицы).

Число возможных размещений из n различных элементов по т находятся по формуле:

Ā^m_n=n^m (*)

В дальнейшем размещения без повторений мы будем называть одним словом - «размещения».

Размещение без повторений - каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (исключая элементы диагонали таблицы)

Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмноже­ства из данных трех элементов а, b, с:

(а,b); (а, с); (b,а); (b,с); (с, а); (с, b).

На первое место можно поставить любой из трех элементов, это можно сделать тремя способами, на второе место — любой из оставшихся элементов, то есть двумя способами, всего получим 3*2 соединений, т. е.

А²₃=3*3=6 Очевидно, что А¹_n =п. Действительно, один элемент из А¹_{n ,}можно выбрать n способами, а из этого элемента получается одно упорядоченное множество.

Докажем, что при 1 ≤m< п имеет место соотношение:

А^m+1_n=(n-m) А^m_{n (**)}

Имея п элементов, будем распределять их по m+1 местам. Раз­мещение будем производить следующим образом: сначала выбе­рем из данных n элементов какие-либо т элементов и разместим их по первым m местам. Это можно сделать А^m_n способами. На остав­шееся (m+1)-е место можно поставить любой из оставшихся п - т элементов, что можно сделать п - т способами. Итак, при каждом из А^m_n заполненных первых мест получим n - m возможных запол­нений (т+1)-го места. Следовательно, всего их будет (п - т) А^m_n, что и требовалось доказать.

Пользуясь формулой (*), получаем окончательно:

А^m_n =n!/(n-m)! (***)

При m=0 по формуле (**) получаем: А⁰_n =1.

Это верно: существует только одно пустое множество, оно яв­ляется подмножеством любого множества.

Заметим еще, что 0!=1; 1! =1; и Аⁿ_n =Р„ =п! Приведем таблицу значений А^m_n при n≤5.

n/m	0	1	2	3	4	5
0	1
1	2	1
2	1	2	2
3	1	3	6	6
4	1	4	12	24	24
5	1	5	20	60	120	120

Пример 1. Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно по­ставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение. Имеем 9-элементное множество, элементы кото­рого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из де­вяти по четыре, то есть А⁴₉

А⁴₉ = 9*8*7*6=3024;

Пример 2. В чемпионате участвуют 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены три различные медали?

Решение. А³₁₂ =12 •11•10=1320.

Пример 3. Решить уравнение А⁵_n = 30 • А⁴_n-2

Решение. Используя формулу (***), перепишите уравнение в виде

n • (n -1) • (n - 2) • (n - 3) • (n - 4) = 30 • (n - 2) • (n - 3) • (n - 4) • (n - 5). Учитывая, что n > 6, разделим обе его части на (n - 2) • (n - 3) • (n - 4); далее, имеем .(n(n-1)=30• (n -5)) (n² -31• n+150= 0)<=> (n₁ =6,n₂ =25).


Контрольные вопросы:

Что такое множество?2. Что изучает комбинаторика? 3. Правила суммы и произведения? 4. Что такое размещение? 5. Как вычислить размещение m элементов из n? 6. Что такое перестановка? 7. Как вычислить число перестановок n предметов?

1.5 Сочетания и некоторые свойства сочетаний

Рассмотрим все подмножества множества, состоящего из трех элементов (а, Ь, с}. Их восемь:

1)Ø— пустое множество, как принадлежащее любому мно­жеству;

2) {а}, {b}, {с} - одноэлементные 3 множества;

3) {а, b}, {а, с}, {b, с} - двухэлементные 3 множества;

4) {а; Ь; с} — одно множество из трех элементов, то есть пол­ное рассматриваемое множество.

В сумме получили 8 различных подмножеств.

Число подмножеств по т элементов в каждом, содержащихся во множестве из n элементов, обозначается С^m_n . В комбинаторике конечные множества называются сочетаниями.

Определение. Сочетания — это такие соединения из n элемен­тов по m (т ≤ п). которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом. С^m_n называют числом сочетаний из n по m.

В сочетаниях нас интересуют только сами элементы множе­ства и не интересует их порядок.

Важно, какие конкретно элементы множества входят в каждое соединение

Число сочетаний, перестановок и размещений связаны фор­мулой:

А^m_n = С^m_n • Р_n (*)

Действительно, чтобы получить все размещения из n элемен­тов по m надо:

1. взять n –элементное множество;
   
2. выделить m-элементное множество. Это можно сделать С^m_n - способами. Всего получим С^m_n упорядоченных множеств, так как в каждом m- элементном подмножестве возможно установить P_m порядков, где P_m – число перестановок из m.
   

Следовательно, А^m_n = С^m_n • Р_{n ,} а С^m_n = А^m_n/ Р_n (**)

Подставив сюда уже известные нам выражения для Р_n и А^m_n

получим: С^m_n =n!/((n-m)!*m!)

или С^m_n =(n*(n-1)*…(n-m+1))/m! (***)


Cочетание с повторениями

Сочетание с повторениями – каждый элемент, входящий в соединение, может быть представлен более чем одним элементом Ĉ ^m_n=(n+m-1)!/(m!*(n-m)!). В дальнейшем сочетание без повторений мы будем называть одним словом – «сочетание».

Пример. В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 22 учащихся будем составлять всевозможные группы по 2 человека, причем порядок в группах не играет роли, следовательно, для подсчета числа способов используем сочетания: С^m_n=22!/((22-2)!*2!)= 22!/(20!*2!)=22*21/(1*2)=231

Замечание. При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок в сочетаниях.

Если порядок учитывается, то есть составляются упорядочен­ные множества, то это—размещения. Если порядок не учитывает­ся, то есть составляются множества, то это — сочетания.

Пример. Если из класса 20 человек выбирают три делегата на конференцию, то порядок не учитывается, так как каждый делегат выступает как равноправный представитель класса. Здесь мы при­влекаем сочетание

С³₂₀= (20*19*18)/(1*2*3)

Если же в классе надо выбрать старосту, физорга и профорга, то есть всего трех человек, но теперь уже натри различных долж­ности. то при подсчете числа различных комбинаций надо учесть порядок; здесь налицо число размещений. Если в классе 20 чело­век, то число способов заполнить три выборные должности под­считывается как число размещений из 20 по 3, то есть:

А³₂₀=20*19*18.


Контрольные вопросы

1. Что такое сочетание?2. Какова формула для числа сочетаний?3. Когда необходимо использовать при решении комбинатор­ных задач сочетание, а когда размещение?4. Чем отличается сочетания с повторением от сочетания?


1.6 Задачи по комбинаторике

1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 челове­ка можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?

2. В кружке математиков 25 членов. Необходимо избрать пред­седателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секрета­ря. Сколькими способами это можно сделать?

3. Сколькими способами можно расставить 5 книг по полке? 4. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все ком­наты окрашиваются в разный цвет), если имеется 10 различных красок?

5. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пиро­жных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?

6. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг­штоке?

7. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?

8. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображаясь бы тремя различными значащими цифрами?

9. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя различными цифрами?

10. На собрании должны выступить 4 человек: А, Б. В, Д. Сколь­кими способами можно их разместить в списке факторов при усло­вии что А должен выступить непосредственно перед Б?

11. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

12. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Сколько бригад по 7 человек в каждой бригаде из них можно составить при условии, что а бригаде должно быть 4 мужчины.

1З. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 5 бракованных. Сборщик на удачу берет 3 детали. Сколько будет случаев, когда сре­ди извлеченных трех деталей будут: а) все стандартные; b) две стан­дартные; с) все бракованные?

14. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разде­лить на две группы так, чтобы в одной группе было 4 человека, а в другой—11 человек?

15. Сколько диагоналей имеет: а) выпуклый пятиугольник; б) выпуклый 12—угольник; в) выпуклый 25-угольник; г) выпуклый n-угольник.

16. В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золо­тые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами меда­ли могут быть распределены между командами?

17. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собра­ние председателя и секретаря?

18. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии, Сколько всего партий должны сыграть участники турнира? 19. Двенадцати ученикам выдано два варианта контрольных работ. Сколькими способами их можно посадить в два ряда, чтобы рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

20. Сколько различных диагоналей можно провести в восьмиугольнике?