Программа вступительных испытаний в магистратуру направление
| Вид материала | Программа |
- Программа вступительных испытаний в магистратуру по направлению подготовки магистра, 291.99kb.
- Программа вступительных испытаний для поступающих в магистратуру Иргту направление, 130.24kb.
- Программа вступительных испытаний в магистратуру, 35.07kb.
- Программа вступительных испытаний в магистратуру направление подготовки, 86.42kb.
- Программа вступительных испытаний в магистратуру направление подготовки, 98.72kb.
- Программа вступительных испытаний для поступающих в магистратуру Иргту направление, 154.63kb.
- Программа вступительных испытаний в магистратуру направление, 90.39kb.
- Программа вступительных испытаний (в форме собеседования) для поступающих в магистратуру, 127.71kb.
- Программа вступительных испытаний в магистратуру по специальности 07. 00. 02 Отечественная, 259.84kb.
- Программа вступительных испытаний для поступающих в магистратуру Иргту направление, 95.7kb.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
ОБНИНСКИЙ ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)
Факультет естественных наук
Кафедра Прикладной математики
-
УТВЕРЖДАЮ
Зам. руководителя ИАТЭ НИЯУ «МИФИ» по учебной работе
________________ Н.Б.Эпштейн
«___» _ ______ 2011 г.
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ
направление
0104000– Прикладная математика и информатика,
магистерская программа Математическая физика и математическое моделирование
Форма обучения: очная
Обнинск 2011
Программа составлена с соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 010400 с учетом изменений Министерства образования и науки
Программу составили:
____________ Е.С. Ермаков, доцент кафедры Прикладной математики, к.ф.м.н., доцент
Программа рассмотрена на заседании кафедры Прикладной математики (протокол № _______________)
Зав. кафедрой ___________________ В.А. Галкин
“____”_____________ 2011 г.
СОГЛАСОВАНО
| Декан факультета естественных наук ___________________ Ф.И.Карманов “____”_____________ 2011 г. | |
1. Цели и задачи вступительных испытаний
Вступительные испытания предназначены для определения практической и теоретической подготовленности кандидата (бакалавра или специалиста) и проводятся с целью определения соответствия знаний, умений и навыков студентов требованиям обучения в магистратуре по программе 010400.68 – Математическая физика и математическое моделирование, направление подготовки 010400 – Прикладная математика и информатика
2. Содержание вступительных испытаний
Вступительные испытания в магистратуру по программе 010400.68 – Математическая физика и математическое моделирование, направление подготовки 010400 – Прикладная математика и информатика проводятся по следующим разделам:
1. Оценка соответствия профиля и уровня полученного образования.
2. Подготовленность к научно-исследовательской работе.
3. Оценка уровня знаний в области прикладной математики и информатики.
3. Оценка соответствия профиля и уровня полученного образования
По предоставленным материалам и собеседованию учитываются:
1. Биографические данные абитуриента; успеваемость в вузе; соответствие полученного образования выбранному направлению подготовки магистратуры (профильность).
2. Мотивы выбора профессии; представления о сфере и направлениях будущей профессиональной деятельности; общая ориентация в профессиональной проблематике.
3. Способность к обучению, дисциплинированность, организованность, ответственность, способность к творческой деятельности; уровень самостоятельности в принятии решений (самооценка личностных качеств). Представление о будущей профессиональной карьере.
Отдельно принимаются во внимание:
1. Наличие диплома с отличием.
2. Наличие стажа работы по профилю направления.
3. Благодарственные грамоты и сертификаты.
4. Подготовленность к научно-исследовательской работе
По предоставленным материалам и собеседованию учитываются:
- Наличие согласия научного руководителя в ИАТЭ или в одном из НИИ Обнинска и других городов (обязательное условие).
- Наличие рекомендации ГАК на поступление в магистратуру.
- Опыт участия в научно-исследовательских работах.
- Наличие публикаций и выступлений на конференциях.
- Участие в конкурсах и грантах.
5. Оценка уровня знаний
Оценка уровня знаний проводится в виде вступительного экзамена. В основу программы вступительного экзамена положены квалификационные требования в области прикладной математики и информатики, предъявляемых бакалаврам направления 010400 - Прикладная математика и информатика.
Темы и вопросы вступительного экзамена в магистратуру
| | Элементы теории множеств. Операции над множествами. Несчетность множества действительных чисел. Множества на числовой прямой. Существование точных граней ограниченных множеств. Вещественные числа. Действия над вещественными числами. Точные грани ограниченных множеств вещественных чисел. |
| | Критерий Коши сходимости последовательности. Сходимость монотонных последовательностей. Число «e». |
| | Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности. |
| | Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Теоремы Вейерштрасса и Кантора о непрерывных функциях на ограниченном отрезке. |
| | Функции действительной переменной. Предельное значение функции в точке по Коши и Гейне. Критерий Коши существования предела. |
| | Производная и дифференциал. Формулы для суммы,произведения и частного. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Производные высших порядков. |
| | Теоремы Дарбу, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. |
| | Формула Тейлора. Формы остаточных членов. Разложения для элементарных функций. Символы «O» и «о». |
| | Исследование графиков функций. Необходимые и достаточные условия экстремума. Точки перегиба, асимптоты. |
| | .Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование элементарных функций. |
| | Определенный интеграл Римана. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. |
| | Несобственный интеграл на полупрямой. Критерий Коши сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости. Главное значение. Несобственный интеграл от неограниченной фунции. |
| | Последовательности в Rn. Критерий Коши существования предела. Предельные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Компакты. Теорема Больцано-Вейерштрасса. |
| | Предел функции в точке из Rn. Повторные пределы. Непрерывность в точке. Теоремы Вейерштрасса и Кантора о непрерывных функциях на компактах из Rn. |
| | Частные производные и дифференцируемость в точке из Rn. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала в Rn. Производная по направлению. Градиент. |
| | Экстремум функции. Необходимые условия экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия экстремума. Понятие об условном эустремуме. Градиентный метод поиска экстремума. |
| | Числовые ряды. Критерий Коши сходимости рядов. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера. Интегральный признак. Условная сходимость. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле. |
| | Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Теорема о равномерном приближении функции многочленами. Теорема Арцела. |
| | Двойные, тройные, n-кратные интегралы. Свойства их. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам. Несобственные интегралы. Криволинейные интегралы первого и второго рода. |
| | Поверхности в R3. Способы задания. Касательная и нормаль. Кусочно-гладкие поверхности. Первая и вторая квадратические формы поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода. |
| | Основные операции теории поля и их выражения в криволинейных координатах. Формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского и их приложения. Элементы тензорного анализа. |
| | Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Признаки равномерной сходимости. |
| | Ряды Фурье. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля. Ряды по тригонометрической системе. Ее замкнутость. Условия сходимости. Преобразование Фурье. |
| | Мера Лебега на прямой и в Rn. Измеримые множества. Счетная аддитивность меры Лебега. Измеримые функции. Сходимость по мере и почти всюду. |
| | Интеграл Лебега и его связь с интегралом Римана. Теоремы Леви, Фату и Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства Lp. Интеграл Лебега-Стилтьеса. |
| | Линейное пространство. Линейная зависимость векторов. Подпространства, линейные оболочки, гиперплоскости. Геометрические свойства совокупности решений систем линейных уравнений. Условия совместности общей системы линейных уравнений. |
| | Линейные операторы. Ядро оператора. Инвариантные подпространства. Собcтвенные значения и векторы. Преобразование матрицы линейного оператора при линейном преобразовании базиса. Теорема Гамильтона-Кели. |
| | Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы. |
| | Норма линейного оператора в гильбертовом пространстве. Теорема Банаха-Штейнгауза. Сопряженный оператор. Спектр и резольвента линейного оператора. |
| | Вполне непрерывные операторы. Интегральные операторы Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. |
| | Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема Гильберта-Шмидта. Билинейная формула для ядра интегрального оператора Гильберта –Шмидта. |
| | Гильбертово пространство. Теорема об ортогональной проекции. Ортонормированный базис. Теорема Рисса- Фишера. Теорема Рисса-Фреше о представлении линейного непрерывного функционала. |
| | Нормиованные пространства. Линейные операторы. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала. Выпуклые множества и их отделимость. |
| | Принцип сжатых отображений. Примеры приложений к дифференциальным и интегральным уравнениям. |
| | Метрические пространства. Теоремы Хаусдорфа о пополнении. Компактные и вполне ограниченые множества в метрическом пространстве. Критерий компактности в Lp. |
| | Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических пространств. Гомеоморфизм. Компактные множества в метрическом пространстве. |
| | Положительно определенные эрмитовы интегральные опрераторы. Экстремальный принцип. Теорема Мерсера. |
| | Функция Грина для задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара. |
| | Основные свойства гармонических функций. Единственность и устойчивость классических решений краевых задач для уравнения Лапласа. |
| | Уравнения теплопроводности и диффузии. Решение основных краевых задач о распространении тепла. |
| | Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теоремы единственности и устойчивости. |
| | Задача о колебании ограниченных объемов. Решение методом Фурье. Свойства собственных значений и функций. |
| | Задача о распространении волн в пространстве. Формула Пуассона. Запаздывающий потенциал. |
| | Уравнения гидродинамики и акустики. |
| | Уравнение колебаний струны. Задача на бесконечной струне. Формула Даламбера. Корректность задачи на бесконечной струне. Пример Адамара некорректной задачи. |
| | Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка (случаи двух и нескольких переменных) |
| | Задача на ограниченной струне. Обоснование метода Фурье. Теорема существования и единственности. |
| | Общая задача Коши. Характеристики. Характеристики волнового уравнения. |
| | Сопряженное линейное пространство. Сильная и слабая топология в нем. Рефлексивные пространства. |
| | Случайные величины. Функция распределения. Независимость случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. Распределение суммы независимых случайных величин. |
| | Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышёва и в форме Хинчина. Центральная предельная теорема (ЦПТ). Теорема Муавра - Лапласа. Применение ЦПТ к задаче построения доверительных интервалов. |
| | Характеристические функции, их свойства и применение при доказательстве предельных теорем (ЗБЧ, ЦПТ). |
| | Непрерывные распределения. Нормальное распределение. Гамма—распределение, его частные случаи. |
| | Метод Монте-Карло. Применение ЦПТ к оценке интегралов и вероятности случайного события. |
| | Аксиоматика теории вероятностей. |
| | Условная функция распределения. Условная плотность. Условное математиче- ское ожидание, его свойства. |
| | Пуассоновский процесс. Винеровский процесс. Марковские цепи. Эргодическая теорема для марковских цепей. Эргодический марковский процесс. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей P  нахождения марковского процесса в i-ом состоянии. |
| | Проверка гипотез. Этапы построения критерия. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Критерий Колмогорова. Критерий  : теорема Пирсона, теорема Фишера. |
| | Проверка гипотез. Лемма Неймана - Пирсона. |
| | Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Метод наименьших квадратов. |
| | Функции комплексной переменной . Аналитические функции. Ряды Тейлора и Лорана. Интеграл Коши.. Аналитическое продолжение. |
| | Приведение квадратической формы к каноническому виду. Закон инерции. Критерий Сильвестра. Билинейные и квадратические формы в евклидовом пространстве. |
| | Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Определитель Вронского. Решение в случае постоянных коэффициетов. Метод вариации постоянных. |
Образцы билетов
Билет №
1.Функции действительной переменной. Предельное значение функции в точке по Коши и Гейне. Критерий Коши существования предела.
2.Гильбертово пространство. Теорема Рисса о представлении линейного непрерывного функционала.
Билет №
1.Производная и дифференциал. Формулы для суммы, произведения и частного. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Производные высших порядков.
2.Принцип сжимающих отображений. Примеры приложений к дифференциальным и интегральным уравнениям.
Билет №
1.Определенный интеграл Римана. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.
2.Основные свойства гармонических функций. Единственность и устойчивость классических решений краевых задач для уравнения Лапласа.
Билет №
1.Экстремум функции. Необходимые условия экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия экстремума. Понятие об условном экстремуме. Градиентный метод поиска экстремума.
2.Уравнения гидродинамики и акустики.
Билет №
1.Основные операции теории поля и их выражения в криволинейных координатах. Формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского и их приложения.
2. Случайные величины. Функция распределения. Независимость случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. Распределение суммы независимых случайных величин.
Билет №
1. Компактые метрические пространства.
2. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышёва и в форме Хинчина. Центральная предельная теорема (ЦПТ). Теорема Муавра - Лапласа. Применение ЦПТ к задаче построения доверительных интервалов.
Билет №
1.Интеграл Лебега и его связь с интегралом Римана. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства Lp.
2. Метод Монте-Карло. Применение ЦПТ к оценке интегралов и вероятности случайного события.
Рекомендуемая литература
- Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1-2. М.1974
- Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.1974
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.
- Колмогоров А.Н, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.
- Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.
- Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.
- Крамер Г. Математические методы статистики. М.
9. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. “Наука”. 1974.
5. Критерии выставления оценки по результатам испытания
Общая оценка подсчитывается по 100 балльной шкале как сумма баллов по всем разделам вступительных испытаний. Испытание считается успешно пройденным при 60 и более баллах.
При прочих равных условиях предпочтение отдается кандидату с максимальным баллом по разделу 2.
Таблица 2 – Таблица начисления баллов по критериям
| № п/п | Раздел | Критерий | Балл |
| 1 | Соответствие профиля и уровня полученного образования | Наличие диплома с отличием. | 10 5 |
| Благодарственные грамоты и сертификаты. | 5 5 | ||
| Наличие стажа работы по профилю направления. | 5 | ||
| 2 | Подготовленность к научно-исследовательской работе | Участие в научно-исследовательских работах. | 5 |
| Публикации и выступления на конференциях. | 5 | ||
| Участие в конкурсах и грантах. | 5 | ||
| Рекомендация ГАК на поступление в магистратуру | 5 | ||
| 3 | Оценка уровня знаний | Ответ на первый вопрос билета | 25 |
| Ответ на второй вопрос билета | 25 | ||
| Ответ на дополнительный вопрос | 10 |