В. А. Гордин доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник гидрометцентра России, Почетный работник Гидрометслужбы рф, профессор кафедры математики на факультете экономики государственного университ
| Вид материала | Курс лекций |
- В. И. Стражев 200 г. Регистрационный № физические основы электроники учебная программа, 116.78kb.
- Карпухин В. Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная, 263.95kb.
- Учебно методический комплекс Для специальности: 080105 «Финансы и кредит» Москва, 2099.95kb.
- Задачи линейного программирования и задачи математической экономики Методика преподавания, 19.49kb.
- Т. С. Рамазанов доктор физико-математических наук, профессор, Казну им. Аль-Фараби,, 5487.66kb.
- В. С. Лукашенко главный научный сотрудник, доктор с Х. наук А. Ш. Кавтарашвили ведущий, 487.31kb.
- СоставителИ: В. М. Борздов, 76.29kb.
- О. В. Михайлов Михайлов Олег Васильевич, 170.11kb.
- Что такое «институционализация теневой экономики»?, 221.21kb.
- С. А. Смоляк главный научный сотрудник Центрального экономико-математического института, 305.44kb.
Ю
дович В. И.Математические модели естественных наук:
Учебное пособие. 1-е изд.
ISBN 978-5-8114-1118-4
Год выпуска 2011
Тираж 1000 экз.
Формат 12,8 20 см
Переплет: твердый
Страниц 336
Цена 550,00 руб.
Курс лекций известного математика и механика В. И. Юдовича (1934–2006), разработанный и читавшийся им на мехмате Ростовского госуниверситета. Излагаются основы теории динамических систем и лагранжевой механики, применяемые к конечномерным и бесконечномерным задачам, включая задачи механики сплошной среды и статистической механики. Материал данных лекций может быть использован в специальных курсах для магистрантов и курсе "Концепции современного естествознания" на математических факультетах.
Издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по естественнонаучным специальностям.
Рецензенты:
А. В. Белоконь — Президент ЮФУ, зав. кафедрой математического моделирования, профессор, доктор физико-математических наук; А. В. Наседкин — профессор кафедры математического моделирования ЮФУ, доктор физико-математических наук; В. А. Гордин — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник гидрометцентра России, Почетный работник Гидрометслужбы РФ, профессор кафедры математики на факультете экономики государственного университета "Высшая школа экономики", член Московского и Американского математических обществ.
Предисловие
Цель этого курса — рассказать об основных моделях естествознания, научить подходам к исследованию явлений природы, ее фундаментальных законов на основе математического анализа. Это — лекции. И хотя письменный курс не повторяет дословно все то, что говорится на занятиях, сохраняется стиль живого разговора с аудиторией.
Начиная с классического труда Ньютона «Математические начала натуральной философии» образцом для построения математических моделей служила механика. Дальнейшее развитие механики вплоть до XIX в., связанное с именами, пожалуй, всех великих математиков и физиков XVII–XX вв. — Декарт, Гюйгенс, Лейбниц, Ферма, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Гаусс, Герц, Максвелл, Пуанкаре, — привело к построению грандиозного здания механики систем с конечным числом степеней свободы, а также и механики сплошной среды. Вся история науки ясно показывает, что каждый серьезный новый шаг в исследовании природы неразрывно связан с развитием новых математических теорий. Нужно ли напоминать, что научные открытия непосредственно влияют на развитие технологии, а тем самым — и на образ жизни людей?
Время от времени возникают споры о том, какое достижение математики было самым важным и кто из математиков был самым великим. (Я не считаю такие обсуждения слишком уж серьезными, но все-таки .......... ) Очень многие считают, что главным достижением было введение позиционной системы счисления, а ее автор, имя которого неизвестно (возможно, араб, а скорее всего, индус), и был величайшим из математиков на нашей планете. С этим можно поспорить. Я склонен думать, что величайшим достижением математики является, быть может, оглавление современных книг по глобальной дифференциальной геометрии. Оно начинается с понятий топологического и метрического пространств. Затем рассматриваются многообразия, векторные поля, дифференциальные формы, тензорные поля, геодезические на многообразиях, кривизны, вариационные принципы для геодезических, группы и алгебры Ли. Это оглавление представляет собой великий план исследования, созданный и реализованный прежде всего в механике усилиями едва ли не всех ведущих математиков трех столетий. Оказалось, что геодезические линии в геометрии в точности соответствуют движениям в механике. Далее выяснилось, что явления, с виду совершенно непохожие на механические движения тел, описываются, по сути, теми же законами, лишь с некоторыми изменениями, носящими не принципиальный характер с точки зрения общих геометрических теорий. Например, в основе электродинамики лежат вариационные принципы, установленные впервые в механике. Теория относительности с ее головокружительными следствиями тоже оказывается с формальной стороны не более чем одной из глав механики.
Сейчас постоянно употребляются названия «Математическая физика», «Математическая химия», «Математическая биология», «Математическая экономика». Но нет никакой «физической» или «биологической» математики. Правда, в последнее время стал мелькать термин «финансовая математика», но это лингвистическое недоразумение. По-английски говорят «mathematical finance» (математические финансы). Это, однако, неудобопроизносимо, что и привело к появлению «финансовой математики». Некоторые недалекие люди приняли это недоразумение всерьез и предлагают учить детей складывать и вычитать не яблоки и палочки, а доллары и рубли, и дальше продолжать развивать математику в том же духе. Конечно, я считаю это чушью. На самом деле в «финансовой математике» применяются все те же методы математического анализа, алгебры, теории вероятностей, теории меры. Решаются уравнения, по сути (а то и вовсе ничем), не отличающиеся от уравнений математической физики. Кстати, высокомерное отношение математиков к этой области не особенно оправдано. Конечно, халтурщики есть во всех областях, а в новых (модных, престижных и денежных) областях их в процентном отношении бывает чуть больше, но и в финансовой математике ставятся и решаются замечательно интересные математические задачи.
Имеется довольно много книг, названия которых начинаются словами «Математические модели .......... » или «Математическое моделирование в .......... ». Дальше поминается биология, экономика, химия .......... Знакомство с этими книгами сразу показывает, что речь в них идет, по сути, о тех или иных частных моделях математической физики. Естественнонаучная и технологическая специфика рассматриваемых проблем зачастую отражается довольно слабо. Недавно мне довелось участвовать в конференции по математическим моделям, описывающим плавающие живые организмы (biological swimmers, биологических пловцов, как образно выражается один из авторитетов в этой области Джон Кесслер (John Kessler)). На этой конференции одни докладчики рассматривали микроорганизмы в воде, другие говорили о рыбах и дельфинах. Довольно забавным образом математические модели были при этом почти одни и те же. Специфику жизни до сих пор не удается уловить и вставить в математические формулы.
Обычно математики, занимающиеся биологией, любят ссылаться на то, что их предмет много сложнее, чем то, чем занимаются физики. Так-то оно так, но в реальной жизни пока что задачи, которые решаются в математической физике и механике, как правило, куда сложнее и глубже, чем те, которые решают математические биологи. Может быть, когда-нибудь это положение изменится — когда математика по-настоящему глубоко проникнет в биологию. Один мой друг, математический биолог, отвечая на вопрос анкеты о недостатках исследований по математической биологии, написал: «Их всего два: слабое проникновение в биологическую сущность проблем и низкий математический уровень».
В этом курсе я пытаюсь изложить те общие принципы и подходы к построению моделей, которые явно или неявно, правильно или не совсем правильно применяются во всех этих областях. Возможно, главная трудность построения этого курса связана с тем, что в математическом моделировании применяется едва ли не весь математический аппарат, созданный математикой прошлого и создаваемый на наших глазах современной математикой. Между тем в курсах, прослушанных (в обоих смыслах) студентами-математиками (и «чистыми», и «прикладными»), многие важнейшие теории и факты даже не упоминаются. Например, наши студенты ничего не знают о дифференциальных формах, и даже когда читается курс топологии, некоторые лекторы ухитряются не упомянуть числа Бетти, когомологии, степень отображения, вращение векторного поля и т. п. В курсах алгебры зачастую даже не упоминаются унитарные, ортогональные, якобиевы трехдиагональные матрицы, не разъясняется толком понятие кратности собственного значения. Дело усугубляется тем, что книги по топологии (за редким и счастливым исключением) пишутся для топологов, книги по геометрии — для геометров и т. д. В литературе ощущается острый дефицит учебных пособий по различным разделам математической теории, изложенным для последующего применения в прикладной науке. В итоге в ряде случаев мне приходится бегло, без детальных доказательств, рассказывать об основных понятиях линейного и нелинейного функционального анализа, методах спектральной теории операторов, вариационного исчисления, дифференциальных формах и т. д.
Изучение математики так или иначе начинается с освоения ее терминологии, словаря, набора определений. В современной математике вообще есть тенденция загонять все более значительную часть содержания в определения. Доказательства теорем при этом зачастую становятся короткими и тривиальными и дают не слишком много пищи для ума. В этих лекциях по ходу изложения поясняются математические термины, даются краткие определения основных понятий. Иногда они будут новыми для студента, а иногда их приходится приводить ради определенности, ввиду существующего разнобоя в употреблении слов. Один пример: некоторым лекторам кажется, что у понятий «отображение», «оператор» мало синонимов, и они добавляют еще один — «функция». На мой взгляд, лучше понимать функцию по-старому — как отображение со значениями на вещественной оси. Синонимом служит слово «функционал», которое чаще употребляется, когда область определения — бесконечномерное пространство.
В. И. Юдович
Юдович В. И.
Математические модели естественных наук:
Учебное пособие. 1-е изд.
Оглавление
Предисловие .......... 3
Глава 1. Математические модели .......... 8
§ 1. Динамические системы .......... 8
§ 2. Автономные дифференциальные уравнения .......... 13
§ 3. О глобальной разрешимости задачи Коши и единственности решения .......... 17
§ 4. Динамические системы с дискретным временем .......... 30
§ 5. Интегралы и законы сохранения .......... 44
§ 6. Неавтономные дифференциальные уравнения .......... 52
§ 7. Интегро-дифференциальные уравнения .......... 56
§ 8. Декартово произведение динамических систем и разбиение системы на независимые подсистемы .......... 59
§ 9. Производные и градиенты .......... 62
Глава 2. Механика .......... 70
§ 10. Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода .......... 73
Конфигурационное и фазовое пространства .......... 73
Деформация и вариация .......... 75
Принцип Гамильтона .......... 78
Уравнения Лагранжа II рода .......... 81
Вырожденные лагранжианы .......... 84
Тривиальные лагранжианы .......... 87
§ 11. Лагранжианы материальных частиц .......... 88
Лагранжиан свободной частицы .......... 88
Системы частиц. Обобщенный второй закон Ньютона .......... 93
Натуральные механические системы и уравнение обобщенного второго закона Ньютона .......... 94
§ 12. Законы сохранения в механике .......... 96
Закон сохранения энергии .......... 96
Связь законов сохранения с симметриями. Теорема Эмми Нётер .......... 97
Трансляционная инвариантность и интеграл импульса .......... 103
Изометрии и вращения банаховых и гильбертовых пространств .......... 106
Интеграл момента количества движения .......... 110
§ 13. Принцип Гамильтона для систем со связями .......... 116
Исключение связей .......... 119
Принцип Гамильтона для систем со связями .......... 121
§ 14. Принцип наименьшего действия Мопертюи (Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби) .......... 124
Принцип стационарного действия Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби .......... 128
Принцип Мопертюи и геодезические на многообразии .......... 130
Преломление света. Закон Снеллиуса .......... 133
§ 15. Применение принципа Гамильтона в механике сплошной среды .......... 135
Волновое уравнение .......... 135
Обобщенные решения .......... 142
Функциональные производные .......... 145
Обобщенное волновое уравнение .......... 148
§ 16. Принцип Гамильтона и конечномерные аппроксимации бесконечномерных систем .......... 149
Разностный метод решения волновых уравнений .......... 150
Принцип Гамильтона и метод Галеркина .......... 152
§ 17. Динамика гибкой нерастяжимой нити .......... 157
§ 18. Уравнение колебаний струны .......... 176
§ 19. Специальная теория относительности Эйнштейна .......... 187
§ 20. Каноническая гамильтонова форма уравнений механики .......... 201
§ 21. Силы трения. Диссипация энергии .......... 212
Диссипация энергии при движении вязкой жидкости. Функционал Рэлея .......... 216
Экспоненциальное затухание энергии .......... 219
Глава 3. Элементы статистической механики .......... 225
§ 22. О законах термодинамики .......... 227
§ 23. Теоремы Пуанкаре о возвращении .......... 230
§ 24. Гидродинамическая интерпретация систем дифференциальных уравнений и теорема Лиувилля .......... 239
Уравнение неразрывности — уравнение Лиувилля .......... 240
Инвариантная мера и инвариантная плотность .......... 244
Несжимаемость фазовой жидкости для гамильтоновой системы .......... 246
Вероятностная трактовка уравнения Лиувилля и инвариантной плотности .......... 247
§ 25. Распределение Гиббса .......... 248
§ 26. Статистическая механика идеального газа .......... 255
§ 27. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов .......... 263
§ 28. Градиентные системы .......... 272
Восстановление потенциала по заданному полю .......... 274
Примеры градиентных систем .......... 275
Равновесия градиентной системы и их устойчивость .......... 277
Колебательная устойчивость и колебательная неустойчивость .......... 279
§ 29. Малые колебания механической системы около положения равновесия .......... 283
Устойчивость по Ляпунову .......... 284
Устойчивость равновесия механической системы .......... 291
§ 30. Статистическая механика твердого тела .......... 298