Geum.ru

Cols=2 gutter=66> Математическое моделирование и процесс создания математической модели

Вид материалаДокументы

Содержание


Построение математической модели.
Статическая модель
Постановка, исследование и решение вычислительных задач.
Проверка качества модели на практике и модификация модели
2. Основные этапы решения инженерной
Выбор или построение математической модели.
Постановка вычислительной задачи.
Предварительный анализ свойств вычислительной задачи.
Выбор или построение численного метода.
Алгоритмизация и программирование.
Отладка программы.
Счет по программе.
Обработка и интерпретация результатов
Использование результатов и коррекция математическое модели.
3. Вычислительный эксперимент
4. Простейшие методы решения задач
Метод хорд (секущих).
М етод касательных (метод Ньютона).
4.2. Поиск минимума функции
4.3. Интерполяция функции
...
Полное содержание
Подобный материал:
1. Математическое моделирование

и процесс создания математической модели.

Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математических моделей.

Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов:
  1. построение математической модели;
  2. постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач;
  3. проверка качества модели на практике и модификация модели.

Рассмотрим основное содержание этих этапов.

Построение математической модели. Математической моделью называется аналитическое выражение, которое находится в результате анализа некой физической системы или явления, включающей в себя несколько неизвестных параметров этой системы или явления, подлежащих определению на основе данных эксперимента. С помощью наблюдений и экспериментов, практики выявляются основные "характеристики" явления, которым сопоставляются некоторые величины. Как правило, эти величины принимают числовые значения, т.е. являются переменными, векторами, матрицами, функциями и т.д.

Установленным внутренним связям между "характеристиками" явления придается форма равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в математическую модель. Таким образом, математическая модель становится записью на языке математики законов природы.

Подчеркнем, что математическая модель неизбежно представляет собой компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания.

Математические модели часто разделяют на статические и динамические. Статическая модель описывает явление или ситуацию в предположении их завершенности, неизменности (т.е. в статике). Динамическая модель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому (т.е. в динамике). При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени у=у(t), переменная t в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль.

Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.

Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы:
  1. исходные (входные) данные х,
  2. параметры модели ,
  3. искомое решение (выходные данные) у.

1). Наиболее часто решают так называемые прямые задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров требуется найти решение у. Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входное данное х характеризует "причины" явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — "следствие".

Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей. Выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели . Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения.

2). Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у (параметры модели , как и в прямой задаче, фиксированы). Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие "причины" x привели к известному "следствию" у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые.

3). Помимо двух рассмотренных типов задач следует упомянуть еще один тип — задачи идентификации. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление. В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели (с помощью выбора ее параметров ), с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений.

Указанные три типа задач (прямые, обратные и задачи идентификации) будем называть вычислительными задачами. Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х.

Как правило, решение вычислительной задачи не удается выразить через входные данные в виде конечной формулы. Однако это совсем не означает, что решение такой задачи не может быть найдено. Существуют специальные методы, которые называют численными (или вычислительными). Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных. Однако для решения задач численные методы применялись довольно редко, так как их использование предполагает выполнение гигантского объема вычислений. Поэтому в большинстве случаев до появления ЭВМ приходилось избегать использования сложных математических моделей и исследовать явления в простейших ситуациях, когда возможно найти аналитическое решение. Несовершенство вычислительного аппарата становилось фактором, .сдерживающим широкое использование математических моделей в науке и технике.

Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью.

Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости.

Вопросы для повторения:
  1. Что такое математическая модель?
  2. Основные этапы построения математической модели?
  3. Основные типы решаемых задач?

2. Основные этапы решения инженерной

задачи с применением ЭВМ

Решение инженерной задачи с использованием ЭВМ можно разбить на ряд последовательных этапов. Выделим следующие этапы:
  1. постановка проблемы;
  2. выбор или построение математической модели;
  3. постановка вычислительной задачи;
  4. предварительный (предмашинный) анализ свойств вычислительной задачи;
  5. выбор или построение численного метода;
  6. алгоритмизация и программирование;
  7. отладка программы;
  8. счет по программе;
  9. обработка и интерпретация результатов;
  10. использование результатов и коррекция математической модели.

Постановка проблемы. Первоначально прикладная задача бывает сформулирована в самом общем виде:
  • исследовать некоторое явление,
  • спроектировать устройство, обладающее заданными свойствами,
  • дать прогноз поведения некоторого объекта в определенных условиях и т.д.

На данной стадии происходит конкретизация постановки задачи. Первостепенное внимание при этом уделяется выяснению цели исследования.

Этот очень важный и ответственный этап завершается конкретной формулировкой проблемы на языке, принятом в данной предметной области. Знание возможностей, которые дает применение ЭВМ, может оказать существенное влияние на окончательную формулировку проблемы.

Выбор или построение математической модели. Для последующего анализа исследуемого явления или объекта необходимо дать его формализованное описание на языке математики, т.е. построить математическую модель. Часто имеется возможность выбора модели среди известных и принятых для описания соответствующих процессов, но нередко требуется и существенная модификация известной модели, а иногда возникает необходимость в построении принципиально новой модели.

Постановка вычислительной задачи. На основе принятой математической модели формулируют вычислительную задачу (или ряд таких задач). Анализируя результаты ее решения, исследователь предполагает получить ответы на интересующие его вопросы.

Предварительный анализ свойств вычислительной задачи. На этом этапе проводят предварительное (предмашинное) исследование свойств вычислительной задачи, выяснению вопросов существования и единственности решения, а также исследованию устойчивости решения задачи к погрешностям входных данных.

Выбор или построение численного метода. Для решения вычислительной задачи на ЭВМ требуется использование численных методов.

Часто решение инженерной задачи сводится к последовательному решению стандартных вычислительных задач, для которых разработаны эффективные численные методы. В этой ситуации происходит либо выбор среди известных методов, либо их адаптация к особенностям решаемой задачи. Однако если возникающая вычислительная задача является новой, то не исключено, что для ее решения не существует готовых методов.

Для решения одной и той же вычислительной задачи обычно может быть использовано несколько методов. Необходимо знать особенности этих методов, критерии, по которым оценивается их качество, чтобы выбрать метод, позволяющий решить проблему наиболее эффективным образом. Здесь выбор далеко не однозначен. Он существенно зависит от требований, предъявляемых к решению, от имеющихся в наличии ресурсов, от доступной для использования вычислительной техники и т.д.

Алгоритмизация и программирование. Как правило, выбранный на предыдущем этапе численный метод содержит только принципиальную схему решения задачи, не включающую многие детали, без которых невозможна реализация метода на ЭВМ. Необходима подробная детализация всех этапов вычислений, для того чтобы получить реализуемый на ЭВМ алгоритм. Составление программы сводится к переводу этого алгоритма на выбранный язык программирования.

Существуют библиотеки из которых пользователи из готовых модулей свои программы, либо, в крайнем случае, приходится программу писать с «нуля».

Отладка программы. На этом этапе с помощью ЭВМ выявляют и исправляют ошибки в программе.

После устранения ошибок программирования необходимо провести тщательное тестирование программы — проверку правильности ее работы на специально отобранных тестовых задачах, имеющих известные решения.

Счет по программе. На этом этапе происходит решение задачи на ЭВМ по составленной программе в автоматическом режиме. Этот процесс, в ходе которого входные данные с помощью ЭВМ преобразуются в результат, называют вычислительным процессом. Как правило, счет повторяется многократно с различными входными данными для получения достаточно полной картины зависимости от них решения задачи.

Обработка и интерпретация результатов. Полученные в результате расчетов на ЭВМ выходные данные, как правило, представляют собой большие массивы чисел, которые потом представляются в удобной для восприятия форме.

Использование результатов и коррекция математическое модели. Завершающий этап состоит в использовании результатов расчетов в практической деятельности, иначе говоря, во внедрении результатов.

Очень часто анализ результатов, проведенный на этапе их обработки и интерпретации, указывает на несовершенство используемой математической модели и необходимость ее коррекции. В таком случае математическую модель модифицируют (при этом она, как правило, усложняется) и начинают новый цикл решения задачи.

Вопросы для повторения:
  1. Основные этапы решение инженерной задачи с использованием ЭВМ?

3. Вычислительный эксперимент

Создание математических моделей и решение инженерных задач с применением ЭВМ требует выполнения большого объема работ. Нетрудно заметить аналогию с соответствующими работами, проводимыми при организации натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов) обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Однако вычислительный эксперимент проводится не над реальным объектом, а над его математической моделью, и роль экспериментальной установки играет оснащенная специально разработанной программой ЭВМ. В связи с этим естественно рассматривать проведение больших комплексных расчетов при решении инженерных и научно-технических задач как вычислительный эксперимент, а описанную в предыдущем параграфе последовательность этапов решения как один его цикл.

Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным:
  1. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического.
  2. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться.
  3. Его можно повторить еще раз (если в этом есть необходимость) и прервать в любой момент.
  4. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории.

Заметим, что в ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено (а иногда и невозможно), так как изучаются быстропротекающие процессы, исследуются труднодоступные или вообще пока недоступные объекты. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование результатов катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление климата, землетрясение). В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. Заметим, что с его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования.

Существенным недостатком вычислительного эксперимента является то, что применимость его результатов ограничена рамками принятой математической модели.

Создание нового изделия или технологического процесса предполагает выбор среди большого числа альтернативных вариантов, а также оптимизацию по ряду параметров. Поэтому в ходе вычислительного эксперимента расчёты проводятся многократно с разными значениями входных параметров. Для получения нужных результатов с требуемой точностью и в приемлемые сроки необходимо, чтобы на расчет каждого варианта тратилось минимальное время.

Разработка программного обеспечения вычислительного эксперимента в конкретной области инженерной деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса. Он состоит из связанных между собой прикладных программ и системных средств, включающих средства, предоставляемые пользователю для управления ходом вычислительного эксперимента, обработки и представления его результатов. Такой комплекс программ иногда называют проблемно-ориентированным пакетом прикладных программ.

Вопросы для повторения:
  1. Достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным?
  2. Недостатки вычислительного эксперимента?

4. Простейшие методы решения задач

4.1. Поиск корня функции.

Метод деления отрезка по полам (метод Вилли).

Д

елим отрезок пополам (АС=СВ). Выбираем половину, в которой функция пересекает ось 0х, затем обозначаем С за В, т.е. С=В и снова делим пополам. Выбор половины осуществляется произведением (А)(В). Если произведение больше 0, то корня нет.

Метод хорд (секущих).

(В-А)/2 nlog2((В-А)/2)

(y-y0)(x-x1)=(y-y1)(x-x0)

y=0; y0(x-x1)=y1(x-x0)






М

етод касательных (метод Ньютона).

у=у'(х0)(х-х0)+у0

у(х0)=у0

х=х0-у0/у'

хn+1=хn-у(хn)/у'(хn)

|хn+1-хn|<E; |yn|<E.

4.2. Поиск минимума функции

х



/1=(1-х)/(1-2х)

х2-3х+1=0 - золотое сечение.

С=А+(В-А)2 D=В-(В-А)2

4.3. Интерполяция функции

Линейная интерполяция.




Интерполяция полинома



Рn-1(xj)=yj; j=1,…n.



Интерполирующий полином Лагранжа.

полином 2-ой степени.

Р2(х1)=у1; Р2(х2)=у2; Р2(х3)=у3;






Метод наименьших квадратов

y=ах+b - линейная зависимость

[y1-(ax1+b)]2







4


.4. Вычисление определённых интегралов

Вычисление интеграла методом прямоугольников


- площадь.

Метод трапеций

N=3; xi-xi-1=h

S1=h(y1+y2)/2

S=S1+S2+S3

S=h((y1+y2)/2+(y2+y3)/2+(y3+y4)/2)=h(y1/2+y2+y3+y4/2).

Sпрям=h(y1+y2+y3+…+yn-1). Sтрап=h(y1/2+y2+…+yn-1+yn/2).

Метод Симпсона (приближение с помощью параболы)

y

=ax2+bx+c результат интеграла не зависит от выбора осей.



y

(0)=C;

S=h/3(y1+4y2+y3)

При N разбиений


4.5. Погрешности вычисления определённых интегралов

Метод прямоугольников

y(x)=y0+y'(x0)(x-x0)+…- разложение в ряд.



S0=y'h2/2 - при первом разбиении.

- погрешность метода прямоугольников.

- погрешность метода трапеций.

- погрешность метода Симпсона.