Geum.ru

Т. М. Дерендяева моделирование и математические методы в экономике методические указания

Вид материалаМетодические указания

Содержание


По каким правилам записывается модель двойственной задачи линейного программирования?
Целевая установка
Перечень основных вопросов
Тема 10. Задача о назначениях
Перечень основных вопросов
Перечень основных вопросов
Целевая установка
Перечень основных вопросов
Целевая установка
Целевая установка
Целевая установка
5. Задания и методические указания
Правила оформления контрольной работы
1.1Задача оптимального производства продукции
Транспортная задача
Сетевое планирование
Задача межотраслевого баланса
6. Методические рекомендации по выполнению контрольной работы
СРМ для нахождения критического пути. Каков резерв выполнения работы F?
Формы контроля знаний
...
Полное содержание
Подобный материал:
1   2

По каким правилам записывается модель двойственной задачи линейного программирования?

  • Для каких целей используется двойственная задача линейного программирования?
  • Охарактеризуйте, что означают внутренние цены в двойственной задаче линейного программирования?
  • Сформулируйте критерий оптимальности базисного распределения поставок.
  • Какой коэффициент при свободной переменной является оценкой свободной клетки?


    Рекомендуемая литература (2,4,5,6, 10, 11)



    Тема 9. Транспортная задача и методы ее реализации

    Целевая установка:

    Знать основные методы нахождения первоначального базисного распределения поставок: метод «северо-западного или юго-восточного» угла, метод наименьших затрат, метод потенциалов; приобрести навыки решения открытой транспортной задачи сведением ее к закрытой.


    Перечень основных вопросов:

    Экономико-математическая модель транспортной задачи. Нахождение первоначального базисного распределения поставок. Критерий оптимальности базисного распределения поставок. Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Методы решения открытой транспортной задачи. Особый случай решения транспортной задачи (нулевая поставка). Распределительный метод решения транспортной задачи.


    Вопросы для самоконтроля:
    1. Порядок решения для закрытой модели?
    2. Как составляется экономико-математическая модель транспортной задачи?
    3. С помощью какого метода получается первоначальный план поставок?
    4. Как найти оптимальное распределения поставок и минимальные затраты на перевозку, выполнив первоначальное распределения поставок методом наименьших затрат?
    5. Охарактеризуйте метод потенциалов.


    Рекомендуемая литература (1,2,3,4, 7)

    Тема 10. Задача о назначениях



    Целевая установка:

    Знать механизм решения задачи о назначениях как частного случая транспортной задачи.

    Перечень основных вопросов:

    Венгерский метод решения задачи о назначениях. Задача о минимизации целевой функции. Максимизации целевой функции.

    Вопросы для самоконтроля:
      1. Как можно решить задачу об оптимальном использование торговых агентов?
      2. Как решается задача о минимизации целевой функции?
      3. Как найти назначения, минимизирующие целевую функцию?
      4. В чем заключается распределительный метод решения транспортной задачи?
      5. В чем сущность цикла пересчета?


    Рекомендуемая литература (2,3)


    Тема 11. Балансовые модели


    Целевая установка:

    Знать сущность задачи межотраслевого баланса.

    Перечень основных вопросов:

    Задача межотраслевого баланса. Модель Леонтьева: управление межотраслевого баланса, продуктивные матрицы, ограничения на ресурсы, прибыльные матрицы.


    Вопросы для самоконтроля:
          1. Какое основное условие закладывается в балансовые модели?
          2. Как математически записывается система уравнений балансовой модели?
          3. Что такое матрица коэффициентов прямых затрат?
          4. В чем состоит условие продуктивности матрицы прямых затрат?
          5. Что такое матрица полных материальных затрат?


    Рекомендуемая литература (1, 2, 4, 7, 10)


    Тема 13. Сетевое моделирование


    Целевая установка:

    Знать основы сетевого моделирования.


    Перечень основных вопросов:

    Элементы сетевого графика. Правила построение сете­вых графиков. Понятие критического пути. Метод СPM для нахождения критического пути.


    Вопросы для самоконтроля:
    1. Из каких основных элементов состоит сетевой график?
    2. Какие правила являются обязательными при построении сетевого графика?
    3. Перечислите основные параметры сетевого графика.
    4. Что такое ранние и поздние сроки окончания работы?
    5. Что такое полный резерв времени?
    6. Какова длина критического пути?
    7. Сколько работ находится на критическом пути?


    Рекомендуемая литература (2, 3, 12)


    Тема 14. Имитационное моделирование


    Целевая установка:

    Знать область применения имитационных моделей.

    Перечень основных вопросов:

    Основные понятия имитационного моделирования. Области применения имитационных моделей. Статистические данные и стохастическая модель. Оптимизация в имитационном моделировании.


    Вопросы для самоконтроля:
    1. Поясните смыл понятий «имитационное моделирование», «перекрестные данные», «временные ряды.
    2. Каким оператором определяется имитационная модель?
    3. В чем принципиальная разница между премией и вознаграждением?
    4. Какие типы данных временных рядов существуют?
    5. Какими методами осуществляется получение перекрестных данных?


    Рекомендуемая литература (2, 3)


    Тема 15. Системы массового обслуживания

    Целевая установка:

    Знать основные характеристики систем массового обслуживания.


    Перечень основных вопросов:

    Интенсивность потока запросов или требований в СМО. Параме­тры состояний СМО. СМО без отказа и СМО с отказами. Приведенная плотность потока запросов.


    Вопросы для самоконтроля:

    1. Что такое интенсивность запросов или требований в СМО?
    2. Охарактеризуйте параметры состояний СМО.
    3. Что понимается под СМО с отказами?
    4. Чем отличаются друг от друга СМО с отказами и СМО без отказов?
    5. Может ли возникнуть очередь в СМО без отказов, если приведенная плотность потока запросов равна числу каналов?



    Рекомендуемая литература (2, 3)


    Тема 16. Методы теории игр в экономических задачах


    Целевая установка:

    Знать для каких экономических задач применяются методы теории игр.


    Перечень основных вопросов:

    Платежная матрица парной игры. Принцип минимакса. Нижняя цена игры или максимин. Верхняя цена игры или минимакс. Равновесие в игре.


    Вопросы для самоконтроля:
    1. В каких экономических задачах используются для их решения методы теории игр?
    2. Что такое чистая стратегия в игре?
    3. Что такое платежная матрица и как она строится?
    4. Как определяется нижняя и верхняя цена игры?
    5. В чем состоит принцип минимакса для участников парной игры?


    Рекомендуемая литература (2, 3, 7)


    Тема 17. Решения игр в смешанных стратегиях


    Целевая установка:

    Знать каким образом формируются смешанные стратегии в играх.


    Перечень основных вопросов:

    Теоремы теории игр: теорема фон Неймана, теорема об активных стратегиях. Оптимальные смешанные стратегии для игры 2х2. Решение игры методом линейного программирования.


    Вопросы для самоконтроля:

      1. Каким образом формируются смешанные стратегии в играх?
      2. Зависит ли выигрыш игрока при использовании оптимальной смешанной стратегии от действий соперника?
      3. Как найти вероятности оптимальной смешанной стратегии с помощью платежной матрицы для обоих игроков?
      4. Для каких переменных вводится целевая функция при поиске оптимальной смешанной стратегии на основе метода линейного программирования?
      5. Сформулируйте теорему об активных стратегиях.


    Рекомендуемая литература (2, 3, 7)


    5. ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

    ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ


    По дисциплине «Моделирование и математические методы в экономике» для студентов предусмотрено выполнение одной контрольной работы, в которой должны быть раскрыты один теоретический вопрос и два практических вопроса (задачи). Вариант одной контрольной работы соответствует двум последним цифрам номера зачетной книжки студента и определяется с помощью таблицы 1: а) предпоследняя цифра шифра приведена по вертикали; б) последняя цифра шифра – по горизонтали. Каждый вариант контрольной работы включает три числа: первые два числа соответствуют задачам, которые необходимо решить, третий – теоретическому вопросу.


    Предпоследняя

    цифра шифра
    Последняя цифра шифра




    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9

    0
    1.1,

    4.1,

    1
    1.2,

    4.2,

    2
    1.3,

    4.3,

    3
    2.1,

    4.3,

    4
    2.2,

    5.1

    5
    2.3,

    5.2

    6
    3.1

    6.1

    7
    3.2

    1.1

    8
    3.3

    6.2

    9
    5.1

    1.2

    10

    1
    2.1,

    5.1,

    11
    1.1,

    6.6,

    12
    3.1,

    1.1,

    13
    1.1,

    2.1

    14
    4.1,

    3.2

    15
    5.1

    6.2

    16
    6.1,

    1.2

    17
    4.1,

    3.1

    18
    5.1,

    3.2

    19
    1.2,

    4.3,

    20

    2
    3.1,

    6.1,

    21
    2.1,

    5.1,

    22
    1.1,

    4.1,

    23
    6.6,

    4.1,

    24
    1.3,

    6.3

    25
    4.1,

    6.2

    26
    5.1.

    6.1

    27
    6.1,

    1.3

    28
    4.1,

    2.2

    29
    5.1.

    2.3

    30

    3
    4.1,

    1.1

    31
    5.1,

    1.2

    32
    6.5,

    1.3

    33
    2.1,

    6.2

    34
    3.1,

    6.3

    35
    4.1,

    6.4

    36
    5.1,

    6.5

    37
    6.4,

    2.1

    38
    5.2,

    2.2

    39
    5.3,

    2.3

    40

    4
    6.1,

    2.1

    41
    5.1,

    2.2

    42
    4.1,

    2.3

    43
    3.1

    4.1

    44
    2.1,

    3.1

    45
    4.1,

    3.2

    46
    5.1,

    4.1

    47
    5.2,

    4.2,

    48
    5.3,

    4.3,

    49
    6.6,

    4.1,

    50

    5
    6.2,

    4.1,

    1
    6.3,

    4.2,

    2
    1.1,

    4.1,

    3
    1.1,

    4.3,

    4
    6.4,

    2.1

    5
    4.1,

    2.2

    6
    5.1,

    2.3

    7
    1.1,

    4.1,

    8
    1.2,

    4.2,

    9
    1.3,

    4.3,

    10

    6
    2.1,

    4.4,

    11
    2.2,

    4.5,

    12
    2.3,

    4.1,

    13
    3.1,

    4.1,

    14
    3.2,

    4.2,

    15
    6.1,

    4.1,

    16
    3.1,

    4.2,

    17
    1.2,

    4.3,

    18
    1.3,

    4.4,

    19
    2.1,

    4.1,

    21

    7
    2.2,

    4.1,

    20
    2.3,

    4.3

    22
    3.1,

    4.1,

    23
    3.2,

    4.1,

    24
    5.1,

    1.1

    22
    6.6,

    1.2

    25
    6.2,

    2.1

    26
    6.3,

    4.1,

    27
    6.4,

    4.2,

    28
    6.5,

    4.3,

    29

    8
    1.1,

    2.1,

    30
    1.2,

    3.1,

    31
    1.3,

    4.1,

    32
    2.1,

    4.2,

    32
    2.2,

    4.3,

    33
    2.3

    4.4,

    34
    3.1,

    4.1,

    35
    3.2,

    4.5,

    36
    5.1,

    4.1,

    37
    6.6,

    4.1,

    38

    9
    3.1,

    4.5,

    39
    5.1,

    4.4,

    40
    6.1,

    4.2,

    41
    1.1,

    3.1,

    42
    2.1,

    4.3,

    43
    3.2,

    5.1,

    44
    6.5,

    4.5,

    45
    3.2,

    4.3,

    46
    3.1,

    4.2,

    47
    1.1,

    4.4,

    48


    Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако цифровые данные зависят от личного шифра студента, выполняющего работу. Числовые данные параметров m и n определяются также по двум последним цифрам номера зачетной книжки (А - предпоследняя и цифра, В – последняя цифра). Значение параметра m выбираетcя из таблицы 1, а значение параметра n - из таблицы 2. Эти два числа m и n нужно подставить в условия задач контрольной работы.


    Таблица 1 (выбор параметра m)


    А
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9

    m
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10


    Таблица 2 (выбор параметра n)


    B
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9

    n
    5
    3
    2
    4
    1
    4
    5
    2
    3
    1



    Например, если шифр студента – 037, то А=3, В=7, и из таблиц находим, что m=4, n=2. Полученные m=4 и n=2, подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.

    Качественно выполненная контрольная работа, не имеющая серьезных замечаний, допускается к защите. Защита контрольных работ проводится в межсессионный период или в первые три дня экзаменационной сессии. Без защиты контрольной работы студент не допускается к экзамену по курсу. Работы, выполненные не по своему варианту или не в полном объёме, рецензированию не подлежат.


    Правила оформления контрольной работы

    При оформлении работы желательно использование компьютера и принтера, но допустим и рукописный вариант - с четким разборчивым почерком. Текст работы оформляется через полтора межстрочных интервала, 13 шрифтом, абзац – 15 мм.

    Все иллюстративные материалы размещаются после первого упоминания о них в тексте работы или в конце ее. Иллюстрации нумеруют арабскими цифрами сквозной нумерацией. Слово «Рисунок» и наименование помещают под рисунком, по центру после пояснительных данных.

    Название таблицы должно отражать ее содержание, должно быть кратким и точным. Номер таблицы и название помещают в левом углу над таблицей.

    Таблицы следует нумеровать арабскими цифрами.

    В формулах в качестве символов следует применять обозначения, установленные соответствующими государственными стандартами. В работе непосредственно под формулой необходимо давать пояснения символов и числовых коэффициентов, входящих в формулу, если они не пояснены ранее в тексте. Пояснения каждого символа следует давать с новой строки в той последовательности, в которой символы приведены в формуле. Первая строка пояснения должна начинаться со слова «где» без двоеточия после него.

    Например, математическое ожидание исчисляется по формуле:

    М = ∑Рi хi (1)


    где Рi – вероятность случайной величины;

    хi – значение случайной величины.


    Формулы, следующие одна за другой и не разделенные текстом, разделяют запятой.

    Формулы, за исключением формул, помещаемых в приложении, должны нумероваться сквозной нумерацией арабскими цифрами, которые записываются на уровне формулы справа в круглых скобках. Ссылки в тексте на порядковые номера формул дают в скобках, например, в формуле (1).

    В тексте работы не допускается: применять обороты разговорной речи, техницизмы, профессионализмы; применять для одного и того же понятия различные научно-технические термины, близкие по смыслу (синонимы); применять сокращения слов, сокращать обозначения единиц измерения величин, если они употребляются без цифр. В тексте документа, за исключением формул, таблиц и рисунков, не допускается: применять математический знак минус (-) перед отрицательным значением величины (следует писать слово минус); применять без числовых значений математические знаки больше, равно и т.д.

    Структура работы:
    • Титульный лист является первой страницей контрольной работы и заполняется по строго определенным правилам;
    • СОДЕРЖАНИЕ – состоит из наименований всех разделов и подразделов, заголовков, ВВЕДЕНИЕ, ЗАКЛЮЧЕНИЕ, которые не нумеруются как разделы;
    • ВВЕДЕНИЕ - кратко сообщается о содержании рассматриваемых вопросов, указываются их особенности;

    ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ - состоит из параграфов, каждый из которых представляет ответ на один теоретический вопрос или решение задач.

    Обязательно должны приводиться ссылки на используемую литературу. Одним из возможных вариантов является указание в квадратных скобках порядкового номера источника в приведенном списке литературы и номера страницы, на которой расположен цитируемый текст.
    • ЗАКЛЮЧЕНИЕ - здесь подводятся итоги работы, в форме кратких выводов;
    • СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ – библиографический аппарат контрольной работы представлен библиографическим списком и библиографическими ссылками.

    Список использованных источников приводится в конце контрольной работы и составляется в алфавитном порядке.


    Вопросы теоретической части контрольной работы:

    1. Общая задача линейного программирования.
    2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
    3. Метод модифицированных жордановых исключений.
    4. Двойственные задачи линейного программирования и их свойства. Объективно обусловленные оценки и их смысл.
    5. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
    6. Методы решения транспортной задачи. Метод наименьших коэффициентов.
    7. Метод Фогеля.
    8. Метод потенциалов.
    9. Сбалансированные и несбалансированные транспортные задачи.
    10. Задача межотраслевого баланса.
    11. Задача о назначениях. Венгерский метод.

    Технология планирования деловой карьеры персонала организации.
    1. Максимаксное решение.
    2. Максиминное решение.
    3. Минимаксное решение.
    4. Критерий Гурвица.
    5. Правило максимальной вероятности.
    6. Максимизация ожидаемого дохода.
    7. Имитационное моделирование.
    8. Применение имитационных моделей в СМО.
    9. Основные понятия теории игр.
    10. Системы массового обслуживания (на примере поликлиники).
    11. Матричные игры. Платежная матрица. Нижняя цена игры. Верхняя цена игры.
    12. Седловая точка. Цена игры. Устойчивость оптимальных стратегий в случае седловой точки.
    13. Смешанные стратегии. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.
    14. Теорема фон Неймана. Активные стратегии. Сведение матричной игры к матричной игре меньшей размерности.
    15. Оптимальные смешанные стратегии.
    16. Дублирование и доминирование стратегий.
    17. Решение матричной игры 2х2.
    18. Решение матричной игры 2хn.
    19. Решение матричной игры mx2.
    20. Биматричные игры. Смешанные стратегии. Средний выигрыш игроков. Ситуация равновесия.
    21. Примеры экономических задач линейного программирования (задача о диете).
    22. Общая задача линейного программирования. Стандартная и каноническая задачи.
    23. Геометрический метод решения задачи линейного программирования.
    24. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Критерий оптимальности для решения задачи линейного программирования.
    25. Открытая модель транспортной задачи.
    26. Одноканальная СМО. Параметры ее работы.
    27. Критерий Гурвица.
    28. Правило максимальной вероятности.
    29. Метод модифицированных жордановых исключений.
    30. Общая задача линейного программирования. Стандартная и каноническая задачи.
    31. Двойственные задачи линейного программирования, их свойства.
    32. Excel (поиск решения).
    33. Основное неравенство теории двойственности.
    34. Первая и вторая теорема двойственности.
    35. Сведение задачи теории игр к задаче линейного программирования.
    36. Закрытая модель транспортной задачи.
    37. Параметры работ.
    38. Распределительный метод решения транспортной задачи.
    39. Система массового обслуживания с бесконечной очередью.



    Вопросы практической части контрольной работы

      1. Линейное программирование

    1.1Задача оптимального производства продукции


    Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность аij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль ci от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:


    Виды сырья
    Виды продукции
    Виды продукции
    Запасы сырья




    I
    II



    А
    а11 = n
    а11= n
    b1= mn+5n

    В
    a21=1
    a22=1
    b2= m+n+3

    С
    a31= 2
    a32= m+1
    b3= mn+4m+n+4

    прибыль
    c1= m+2
    c2= n+1



    план (ед.)
    x1
    x2


      1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 и x2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.



      1. В условиях предыдущей задачи составить оптимальный план (x1, x2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом)
      2. Построить по полученной системе ограниченный многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путём. Определить соответствующую прибыль Zmax.
    1. Транспортная задача


    На трёх складах А1, А2 и А3 хранится а1=100, а2=200, а3=60+10n единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трём потребителям В1, В2 и В3, заказы которых составляют b1=190, b2=120, b3=10m единиц груза соответственно. Стоимость перевозок сij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:



    потребности

    запасы
    В1


    b1=190
    В2


    b
    2
    2=120

    В3


    b3=10m

    А1 а1=100









    А2 а2=200

    n

    4

    1

    m+1

    5

    n

    3

    6






    А3 а3=60+10n











      1. Сравнивая суммарный запас, а = ∑аi и суммарную потребность b = ∑bi в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом, а = b – a в случае a или фиктивного потребителя с потребностью a – b в случае a>b и положив соответствующие им тарифы нулевыми.
      2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьших затрат).
      3. Проверить, является пи первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план обеспечивающий минимальную стоимость

    перевозок, Smin = ∑ cij xij . Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом Фогеля).





    x11 x12 x13

    x21 x22 x23

    x31 x32 x33



    Хопт =


    1. Матричные игры



      1. Игра 2х2 задана матрицей


    m+6 n

    m m+n



    С =


    Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом).

      1. Игра задана матрицами


    0 m+n n-1 m+3

    m+4 n-1 n+1 n

    С1 = для n – четного





    С
    n-1 n+3

    n+m 0

    n n+2

    n+m n
    2 = для n – нечетного


    Найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.

    1. Сетевое планирование


    Процесс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1,2,….,10.

    1–начальный этап производства продукции, 10 – завершающий. Переход от i – го этапа к j- му этапу назовем операцией. Возможны выполнение операций (i → j) и их продолжительности tij задаются таблицей:



    №
    Шифр операции
    Продолжительность операции




    i → j
    tij

    1
    1 → 2
    m

    2
    1 → 3
    4

    3
    1 → 4
    n

    4
    2 → 3
    3

    5
    2 → 6
    5

    6
    4 → 3
    2

    7
    4 → 6
    6

    8
    3 → 5
    3

    9
    3 → 7
    n+1

    10
    5 → 9
    m+1

    11
    6 → 7
    4

    12
    6 → 8
    3

    13
    7 → 8
    7

    14
    7 → 9
    m

    15
    7 → 10
    5

    16
    8 → 10
    4

    17
    9 → 10
    n


    4.1.Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции i → j обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность tij операции.


    4.2. Считая, что начало работы происходит во время t1=0, определите время tj окончания каждого j-го этапа и проставьте его над соответствующим кружком.



      1. Найдите критическое время завершения процесса работ Ткр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.

    4.4. Для каждой некритической операции i → j определите резервы свободного времени pcij и проставьте их над стрелками рядом с tij в скобках.

    4.5.Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути, подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени pcij необходимо также найти полные резервы времени pcij для каждого этапа)

    1. Системы массового обслуживания (СМО)


    В парикмахерский салон приходит в среднем m+2 клиента в час (т.е. интенсивность λ поступления заявок в систему равна (m+2)/час), а среднее время обслуживания одного клиента равно 1/m часов. Содержание одного рабочего места обходится в n тысяч рублей за 1 час, а доход от обслуживания одного клиента составляет n+2 тысяч рублей в час.

    5.1.Найти относительную пропускную способность СМО Q2 (т.е. вероятность того, что поступившая заявка будет обслужена) и абсолютную пропускную способность СМО А2= λ· Q2 (число заявок, обслуживаемых за 1 час), если салон обслуживает два мастера.


    5.2.Найти доход D2, полученный за 1 час работы двух мастеров.

    5.3.Найти аналогичные характеристики СМО Q3, А3 и D3, когда салон обслуживают три мастера, и определить, выгодно ли принять на работу третьего мастер с точки зрения общего дохода, полученного за 1 час работы салона.

    1. Задача межотраслевого баланса


    Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь определяет матрица коэффициентов прямых затрат


    0,2 0,1-m 0,1

    0 0,3 0,1-n

    0,4 0,1 0,2

    А=


    в которой число аij, стоящее на пересечении i-ой строки и j-го столбца равно xij/Xj, где xij-поток средств производства из i-ой отрасли в j-ую, а Xj-валовой объём продукции j-ой отрасли (все объёмы продукции выражаются в единицах стоимости).


    y1

    y2

    y3

    1000

    500+100n

    400+100m

    Задан также вектор Y= = объёмов конечной продукции.


    6.1. Составить уравнение межотраслевого баланса.

    6.2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, т.е. найти объёмы валовой продукции каждой отрасли X1, X2, X3, обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчёты рекомендуется производить с точностью до двух знаков после запятой)

    6.3. Составить таблицу Х потоков средств производства xij.

    6.4. Определите общие доходы каждой отрасли Pj=Xj - х ij

    6


    .5. Результаты расчётов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:




    Отрасли производящие
    Потребляющие

    отр
    I
    II
    III
    конечный продукт
    валовой

    продукт

    I
    x11
    x12
    x13
    y1
    X1

    II
    x21
    x22
    x23
    y2
    X2

    III
    x31
    x32
    x33
    y3
    X3

    Общий доход
    P1
    P2
    P3






    Валовой продукт
    X1
    X2
    X3







    6.6. Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле:


    Аij = (E –A)-1 , где Е – единичная матрица размера 3х3.


    6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ


    Пример 1. Определение плана перевозок.

    Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет че­тыре карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.

    Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице:



    Фабрика

    Карьер
    1
    2
    3

    1
    7
    3
    5

    2
    5
    4
    6

    3
    4
    5
    6

    4
    3
    2
    5



    Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транс­портные издержки.


    Вопросы:

    1. Сколько руды следует перевозить с карьера 1 на обогатитель­ную фабрику 2?

    2. Сколько руды следует перевозить с карьера 4 на обогатитель­ную фабрику 1?

    3. Какой объем мощностей по добыче руды окажется неис­пользованным?

    4. Каковы минимальные совокупные транспортные издержки?


    Решение: Транспортная таблица имеет следующий вид:


    Фабрика

    Карьер
    1
    2
    3
    Предложение

    1
    7
    3
    5
    170

    2
    5
    4
    6
    130

    3
    4
    5
    6
    190

    4
    3
    2
    5
    200

    Спрос
    250
    150
    270





    Ниже приведены результаты расчетов – объемы перевозок и остаток не вывезенной руды (в тыс. т):


    Фабрика

    Карьер
    1
    2
    3
    Излишек

    1



    10
    160



    2






    110
    20

    3
    190









    4
    60
    140







    В следующей таблице до косой черты указаны объемы перево­зок, после черты — соответствующие издержки:


    Фабрика

    Карьер
    1
    2
    3

    1



    10/30
    160/800

    2






    110/660

    3
    190/760



    6

    4
    60/180
    140/280





    Минимальные совокупные издержки составляют 2710 тыс. руб.

    Ответы: 1.10 тыс. т. 2. 60 тыс. т.

    3. 20 тыс. т. 4. 2710 тыс. руб.


    Сетевое моделирование


    Пример 1. Консалтинговая компания «Системы управленческих решений» специализируется на разработке систем поддержки про­ектов. Компания заключила контракт на разработку компьютер­ной системы, предназначенной для помощи руководству фирмы при планировании капиталовложений.

    Руководитель проекта разработал следующий перечень взаимо­связанных работ:


    Работа
    Непосредственно предшествующие работы
    Время выполнения, недели

    А
    –
    4

    В
    –
    6

    С
    –
    5

    D
    B
    2

    E
    A
    9

    F
    B
    4

    G
    CD
    8

    H
    BE
    3

    I
    FG
    5

    J
    H
    7



    Постройте графическое представление проекта. Используйте метод СРМ для нахождения критического пути. Каков резерв выполнения работы F?


    Решение:



    Рис.1

    На основании таблицы непосредственно предшествующих работ можно по­строить следующее графическое представление проекта (рис. 1).

    На этом рисунке работа, выходящая из вершины 3 и входящая в вершину 5, является фиктивной. Ее продолжительность равна нулю.

    Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию, описывающую работы в виде пары вершин:


    Работа
    Начальная вершина

    Конечная вершина
    Время выполнения, недели

    А
    1
    2
    4

    В
    1
    3
    6

    С
    1
    4
    5

    D
    3
    5
    2

    E
    2
    5
    9

    F
    3
    6
    4

    G
    4
    6
    8

    H
    5
    7
    3

    I
    6
    8
    5

    J
    7
    8
    7

    K
    3
    5
    0



    Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:


    Project
    23





















    Работа
    Начальная вершина

    Конечная вершина
    Время выполнения, недели
    ES
    EF
    LS
    LF
    R

    А
    1
    2
    4
    0
    4
    0
    4
    0

    В
    1
    3
    6
    0
    6
    2
    8
    2

    С
    1
    4
    5
    0
    5
    5
    10
    5

    D
    3
    4
    2
    6
    5
    5
    10
    2

    E
    2
    5
    9
    4
    8
    8
    13
    0

    F
    3
    6
    4
    6
    13
    4
    18
    8

    G
    4
    6
    8
    8
    16
    10
    18
    2

    H
    5
    7
    3
    13
    16
    13
    16
    0

    I
    6
    8
    5
    16
    21
    18
    23
    2

    J
    7
    8
    7
    16
    23
    16
    23
    0

    K
    3
    5
    0
    6
    6
    13
    13
    7


    Ответы: 1. 23 недели. 2. 4. 3. Восемь недель.


    Системы массового обслуживания


    Примеры

    Пример 1. Обслуживание автомобилей.

    Механик автосервиса, может заменить масло в сред­нем в трех автомобилях в течение часа (т.е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспо­ненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, при­езжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено. Рассчитайте основные характеристики системы обслуживания.

    Решение. На основе исходных данных получаем:

    l = 2 машины в час – количество машин, поступающих в те­чение часа;

    m = 3 машины в час – количество машин, обслуживаемых в течение часа;

    машины – среднее количество машин, находящихся в системе;

    – среднее время ожидания в системе;

    машины – среднее коли­чество машин, ожидающих в очереди;

    – среднее время ожи­дания в очереди;

    – доля времени, в течение которого меха­ник занят;

    – вероятность того, что в систе­ме нет ни одного клиента.

    Вероятности того, что в системе находится более чем k машин:


    k
    Pn>k = ()k+1

    0
    0,667

    1
    0,444

    2
    0,296

    3
    0,198

    4
    0,132

    5
    0,088

    6
    0,058

    7
    0,039



    Примечание. При k = 0 значение вероятности равно 1 – P0;

    при k = 1 существует 44,4% шансов на то, что в системе находит­ся более одной машины, и т.д.


    Пример 2. Утилизация отходов.

    Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюми­ниевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющих сырье для вторичной переработки, ожидают в оче­реди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.

    Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром l = 8 автомобилей в час. Если но­вый компактор будет использоваться, то амортизационные затра­ты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Следует ли ис­пользовать компактор?

    Решение. Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют



    В системе с компактором время ожидания в очереди при l = 8 автомобилей в час и m = 12 автомобилей в час будет равно



    Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят



    Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат на простой одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 – 0,5 = 1 тыс. руб.

    При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 тыс. руб.

    Система с компактором дает экономию в 1,5 – 0,8 = 0,7 тыс. руб. Таким образом, компактор использовать следует.

    1. ФОРМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

    По дисциплине «Моделирование и математические методы в экономике» студенты специальности 080507.65 «Менеджмент организации» и 080111.65 «Маркетинг» сдают экзамен. Студенты специальности 080301.65 «Коммерция (торговое дело)» сдают зачет. Для оценки знаний студентов используется подход со следующими критериями:


    «Зачет» выставляется в случае правильных, полных и четких ответов на теоретические вопросы и решение задачи. «Незачет» выставляется при ответах, не удовлетворяющих критериям, указанным в предыдущем пункте.


    Примерный перечень вопросов к экзамену (зачету)
      1. Сетевое планирование и управление
      2. Общая задача линейного программирования

    3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

    4.Метод модифицированных жордановых исключений.

    5. Двойственные задачи линейного программирования и их свойства. Объективно обусловленные оценки и их смысл.
    1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
    2. Методы решения транспортной задачи. Метод наименьших коэффициентов.
    3. Метод Фогеля.
    4. Метод потенциалов.
    5. Сбалансированные и несбалансированные транспортные задачи.
    6. Задача межотраслевого баланса.
    7. Задача о назначениях. Венгерский метод.
    8. Минимаксное и максиминное решения
    9. Критерий Гурвица.
    10. Правило максимальной вероятности.
    11. Максимизация ожидаемого дохода.
    12. Имитационное моделирование.
    13. Применение имитационных моделей в СМО.
    14. Основные понятия теории игр.
    15. Системы массового обслуживания (на примере поликлиники).
    16. Матричные игры. Платежная матрица. Нижняя цена игры. Верхняя цена игры.
    17. Седловая точка. Цена игры.
    18. Устойчивость оптимальных стратегий в случае седловой точки.
    19. Смешанные стратегии. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.
    20. Теорема фон Неймана. Активные стратегии.
    21. Сведение матричной игры к матричной игре меньшей размерности.
    22. Оптимальные смешанные стратегии.
    23. Дублирование и доминирование стратегий.
    24. Решение матричной игры 2х2.
    25. Решение матричной игры 2хn.
    26. Решение матричной игры mx2.
    27. Биматричные игры. Смешанные стратегии.
    28. Средний выигрыш игроков. Ситуация равновесия.
    29. Примеры экономических задач линейного программирования (задача о диете).
    30. Общая задача линейного программирования. Стандартная и каноническая задачи.
    31. Геометрический метод решения задачи линейного программирования.
    32. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Критерий оптимальности для решения задачи линейного программирования.
    33. Открытая модель транспортной задачи.
    34. Понятие системы массового обслуживания (СМО).
    35. Одноканальная СМО. Параметры ее работы.
    36. Критерий Гурвица.
    37. Правило максимальной вероятности.
    38. Метод модифицированных жордановых исключений.
    39. Двойственные задачи линейного программирования, их свойства.
    40. Excel (поиск решения).
    41. Основное неравенство теории двойственности.
    42. Первая и вторая теорема двойственности.
    43. Сведение задачи теории игр к задаче линейного программирования.
    44. Закрытая модель транспортной задачи.
    45. Распределительный метод решения транспортной задачи.



    7. Примерный перечень ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

    1. Решение задачи линейного программирования с помощью программы Excel.
    2. Операции с матрицами. Модель Леонтьева.
    3. Составление программы работы предприятия.
    4. Построение уравнения регрессии.
    5. Статистическая обработка данных метеостанции.
    6. Оценка параметров модели