Конспект лекцій 2004 Загальна теорія систем. Конспект лекцій Для студентів денної І заочної форм навчання спеціальності 080200 "Інформатика"/Укл.
| Вид материала | Конспект |
- Конспект лекцій з дисципліни «теплоенергетика» для студентів за фахом мч, мс, лв, омт, 290.65kb.
- Конспект лекцій для студентів спеціальності "Економіка підприємства" денної й заочної, 882.83kb.
- Конспект лекцій по дисципліні Інформаційні моделі "великих" систем, 1986.92kb.
- Опорний конспект лекцій з дисципліни „ правознавство (для студентів денної І заочної, 1124.35kb.
- Конспект лекцій з курсу «Економіка підприємств електротранспорту», 2178.24kb.
- Конспект лекцій для студентів спеціальностей 030508 І 030508 "Фінанси І кредит" денної, 4154.08kb.
- Конспект лекцій з дисципліни «Оподаткування підприємств», 2062.58kb.
- Комп‘ютерні інформаційні технології в електроенергетиці тексти лекцій для студентів, 1076.06kb.
- Конспект лекцій для студентів спеціальності 8050201 Менеджмент підприємств та організацій, 203.46kb.
- Конспект лекцій з навчальної дисципліни «основи охорони праці» для студентів 3 курсу, 15.25kb.
Любые методы системного анализа опираются на математическое описание тех или иных фактов, явлений, процессов. Наше знание всегда относительно, поэтому описание на любом языке также отражает лишь некоторые стороны явлений и никогда не является абсолютно полным. Употребляя термин «мо-дель», всегда имеем в виду некоторое описание, отражающего именно те осо-бенности изучаемой системы, которые интересуют исследователя.
Точность такого описания (адекватность модели) определяется соответст-вием модели тем требованиям, которые предъявляются к исследованию, и со- ответствием получаемых с помощью модели результатов поведению реальной системы.
Построение математических моделей является основой всего системного анализа. Это центральный этап исследования любой системы. От качества мо-дели (её адекватности изучаемой системе) зависит эффективность всего после-дующего анализа.
Математическая модель отражает определённые свойства реальных систем. В результате анализа математической модели мы получаем качественное пред-ставление об особенностях изучаемых систем, устанавливаем закономерности их поведения, определяем их количественные характеристики. При наличии математической модели изучаемой системы у нас появляется возможность ре-шать задачи диагностики её состояния, прогнозирования поведения и опти-мизации.
По существующей ныне парадигме построение моделей – всегда процедура неформальная, зависящая от таланта, знаний и опыта исследователя, а также от качества имеющегося в его распоряжении опытного материала.
«Моделирование – это метод опосредствованного познания с помощью ис-кусственных или природных систем, которые сохраняют некоторые особен-ности объекта исследования и таким образом замещают его, что даёт воз-можность получить новые знания об объекте – оригинале». (Катренко А.В. Системний аналіз об’єктів та процесів комп’ютерізації. – Львів: “Новий світ – 2000”, 2003. – 424 с.)
2.1 Определение модели
Хотя интуитивно понятно, что такое модель изучаемой системы, строгого и однозначного определения этого понятия не существует.
Модели используются во многих отраслях науки и техники: биологии, психологии, машиностроении, химии, биохимии, физике, экономике и т.д. Поэтому, вероятно, невозможно учесть в одном определении все различные значения слова "модель".
Приведём несколько определений понятия модели:
« Метод моделирования позволяет исследовать свойства объектов на модели, сходство которой с объектом существенно, а различие несущественно». (Кринецкий И.И. Основы научных исследований. Киев - Одесса, "Вища школа", 1981, с.208).
« Модель представляет собой высказывание относительно связи между входами (управляемыми и неуправляемыми) модели и ее выходом на любом удобном языке». (Л.А.Расстригин. Современные принципы управления слож-ными объектами. - М.: Советское Радио, 1980. - 232 с.).
« Модель - это информационный эквивалент объекта, созданный для дос-тижения определенных целей». (Л.А.Расстригин. С компьютером наедине. - М.: Радио и связь, 1990. -224 с.)
«Модель можно определить как представление существенных аспектов системы, обеспечивающие в удобной форме знания об этой системе». (П.Эйкхофф. Основы идентификации систем управления. - М:. Мир. 1975. - 676 с.)
«Математической моделью системы называется её описание на каком либо формальном языке, позволяющее выводить суждение о некоторых чертах поведения этой системы при помощи формальных процедур над её описанием». (Введение в автоматизированные системы управления. Под ред. Г. Шерина. - М.: Знание, 1974, 320 с.).
« Модель представляет собой высказывание относительно связи между входами модели и её выходом на любом удобном языке». (Расстригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами.- М.: "Советское радио" 1980 , 232 с.)
«Математической моделью реального объекта называется такое его отображение, которое позволяет описать существенные стороны объекта языком математической логики и математических формул». (Осипов Б.В.,
Мировская Е.И. Математические методы и ЭВМ в стандартизации и управлении качеством. - М.: Изд. стандартов, 1990. -168 с.)
« Под моделью понимается создание возможности определить реакцию
объекта в той или иной ситуации без экспериментов с объектом». (Расстригин Л.А. Вычислительные машины, системы, сети... - М.; Наука, 1982. -224 с.).
«Математической моделью химико – технологического процесса называется его описание на каком - либо формальном языке, позволяющее выводить суждение о некоторых чертах поведения этого процесса при помощи фор-мальных процедур». (Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Липатов Л.Н. Системный анализ процессов химической технологии. Статистические методы идентификации процессов. - М.: Наука, 1982, с.344).
« Модель – это заместитель объекта исследования, который находится с ним в таком соответствии, которое позволяет получить новые знания об этом объекте». (Катренко А.В. Системний аналіз об’єктів та процесів ком-п’ютерізації. – Львів: “Новий світ – 2000”, 2003. – 424 с.)
«Модель - приближённое описание реального явления». (Моисеев Н.Н.. Ма-тематические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.-.488 с.).
«Математической моделью называют формальное соотношение, уста-навливающее связь принятого критерия эффективности с входными пере-менными». (Ю.И. Дегтярев. Исследование операций. - М.: "Высшая школа", 1986. -320 с.)
« Математическая модель - описание, отражающее те особенности изучаемого процесса, которые интересуют исследователя». (Войлов Ю.Г. Элементы теории систем и системного анализа. - Луганск: Изд-во ВНУ им. В.Да-ля, 2002) .
«Под моделью понимается такая мысленно представляемая или матери-ально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте». (В.А.Штофф. Моделирование и философия. - М.-Л., 1966).
2.2 Математическая модель – основной инструмент изучения сложных систем
Известно, что главным ограничителем познавательных и творческих спо-собностей человеческого ума в изучении сложных систем является неспо-собность моделировать явления (и решать задачи) многофакторные по самой природе.
Свойственные человеку психофизиологические ограничения в восприятии окружающего мира, заключаются в том, что даже самые квалифицированные
специалисты не могут представить себе, как зависит выходной показатель более чем от 2-ух входных параметров, или как влияет один входной параметр более чем на один выходной показатель.
Неспособность человека к распознаванию формальных образов (невоз-можность выделить основные закономерности изучаемой системы на основа-нии данных, полученных при её экспериментальном исследовании) оставляет единственный путь познания сложных объектов - построение их математических моделей.
При всём необозримом разнообразии физических, технических, экономи-ческих, физиологических и др. систем имеется единственный путь для систе-матизации знаний. Это изучение абстрактных математических моделей, кото-рыми на основании тех или иных упрощающих предположений заменяются для теоретического обследования реальные объекты. Это столбовая дорога в классическом естествознании.
Математические модели необходимы для выявления специфических зако-номерностей изучаемых систем и решения практических задач диагностики их состояния, прогнозирования поведения и оптимизации.
Познание окружающего мира осуществляется путём построения моделей реально существующих объектов (процессов, систем, явлений).
« Научные исследования вообще, как фундаментальные, так и прикладные, имеют одной из своих основных целей получение модели изучаемого явления или объекта». (В.В.Бойко.- Автоматизация научных исследований и проведе-ния испытаний как фактор ускорения технического прогресса. - Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях. - М.: "Советское ра-дио", 1974)
Метод моделирования отличается от других методов познания тем, что объект изучается с его помощью не непосредственно, а путём исследования другого объекта, аналогичного в некотором смысле первому.
Основная функция модели – это способ познания. В соответствии с ней различаются следующие производные функции моделей:
- Модель как способ осмысливания действительности помогает упорядо-чить и при возможности формализовать первые нечёткие или противоречивые представления о системе. В процессе построения модели в значительной мере определяются взаимозависимости, последовательность действий и необходи-мые ресурсы для построения модели.
- Модель как способ общения позволяет более точно описать сложные по-нятия по сравнению со словесным описанием, описывает систему боле сжато, позволяет понять причинно – следственные связи и общую структуру модели-руемой системы.
- Модель как способ обучения и тренировки позволяет повысить эффектив-ность и сократить сроки обучения. Имитация различных практических ситуа-ций на модели, особенно ситуаций критических, информация про действия в
которых получена опытом предшественников, способствует повышению ка-чества обучения. На практике широко используются разнообразные тренажё-ры для обучения специалистов работе на конкретных системах.
- Модель как способ прогнозирования поведения системы в будущем на ос-новании имеющейся информации о поведении системы в прошлом.
- Модель как способ проведения эксперимента используется в тех случаях, когда проведение экспериментов на реальной системе не возможно или не це-лесообразно. Так, выбор оптимальной структуры системы принятия решений путём экспериментирования на реальном предприятии приводит к чрезвычай-но большим затратам.
Однако возможности известных методов моделирования существенно ограничены: " Пока лишь небольшая часть проблем, стоящих перед человечеством, поддается математической формализации и описанию на языке матема-тики". (Н.Н. Моисеев).
Дело в том, что подавляющее большинство реальных объектов окружа-ющего нас мира по своим информационным характеристикам: большому ко-личеству входных параметров (n>8) и выходных показателей (m>1), су-щественной зависимости выходного показателя от взаимного влияния вход-ных параметров и др. относятся к классу «больших систем».
Известен афоризм, определяющий возможности современных методов ма-тематического моделирования при изучении реальных объектов: "Если в за-даче меньше трех переменных - это не задача, если больше восьми - она не-разрешима".
Достигнутый в настоящее время уровень методологии изучения «больших систем» существенно недостаточен для эффективного решения широкого круга важнейших общечеловеческих задач здравоохранения, экологии, ресур-сосбережения, повышения эффективности производства и т.п.
2.3 Требования к модели.
К математическим моделям предъявляют требования точности (адекватнос-ти), экономичности, наглядности, удобства для использования и универсаль-ности.
Математическая модель должна быть:
- достаточно простой, наглядной и понятной для пользователя;
- адекватной (описывать изучаемую систему с точностью, достаточной для ре-шения той задачи, для решения которой она строилась);
- надёжной, чтобы позволить интерполяцию и особенно экстраполяцию, а также правильно отображать тенденции изменения выходных показателей при определенном изменении входных параметров;
- достаточно представительной во всем диапазоне приложений;
В каждом конкретном случае дополнительные требования к модели опре-деляются её назначением.
Например, математическая модель технологического процесса, предназна-ченная для целей управления должна быть:
- адекватна процессу с точностью, необходимой для целей управления;
- информативна для исследования систем управления
- должна отражать связь реальных физических управляющих воздействий с па-раметрами модели;
- должна быть быстродействующей, т.е. требовать минимального времени для реализации.
2.3.1 Адекватность
Если с помощью модели достигается предварительно определённая цель, то она адекватна объекту, который моделируется. Понятие адекватности не совпадает полностью с требованиями полноты, точности и истинности – адекватность обозначает, что эти требования выполнены не вообще или в со-ответствии с некоторой абсолютной мерой, а лишь в той степени, которая дос-таточна для достижения цели моделирования.
«Адекватность модели - соответствие модели моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду не адекватность вообще, а по тем свойствам модели, которые для исследования считаются существен-ными». (Экономико - математический словарь. Л.И. Лопатников. - М.: "Наука", 1987).
«Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить ос-новой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев». (Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: "Высш. школа", 1985. -271с.)
2.3.2 Экономичность
Чем детальнее в модели отражаются различные закономерности изучаемой системы, тем выше трудозатраты на её построение и тем больше объём вычис-лений для решения с её помощью задач диагностики, прогноза и оптимизации. Кроме того, при решении задачи оптимизации, повышение точности рекомен-даций по управлению процессом эффективно до определённого предела.
Минимальные затраты на оптимальное управление процессом будут в том случае, если существующая система информационного обеспечения обеспечи-вает необходимую точность анализа информации, а существующая система управления способна стабилизировать значения управляемых параметров в за-данных при оптимизации поддиапазонах. В противном случае повышение точ-ности соблюдения оптимального режима потебует замены существующих сис-тем информационного обеспечения и управления более точными и, следова-тельно, более дорогими.
Существует следующая зависимость между точностью поддержания опти-мального технологического режима и экономической эффективностью. При увеличении точности контроля и управления затраты на разработку и эксплу-
атацию систем контроля и управления экспоненциально возрастают, а допол-нительная эффективность экспоненциально убывает.
Требования высокой точности, и высокой экономичности – противоречивы.
Поэтому, при разработке модели стремятся к тому, что иногда называют "принципом оптимальной неточности". Модель должна быть настолько дета-лизирована, насколько это необходимо для целей исследования, для которого её создали.
2.3.3 Наглядность
Информация в математической модели должна быть представлена в удобной и наглядной форме. Если модель слишком сложна для восприятия, её полезность становится сомнительной. Относительная простота является главной характеристикой модели.
« Нужны такие математические модели, элементы которых легко ин-терпретируются в виде свойств реальных объектов». (Д.Н. Хорафас. Системы и моделирование. - М.: Мир, 1967. с.419).
Модель должна достаточно правильно отражать явления, однако одного этого ещё мало. Она должна быть удобной для использования. Поэтому «степень детализации модели, форма её представления определяются целью исследования». (Войлов Ю.Г. Элементы теории систем и системного анализа. -Луганск: Изд-во ВНУ им. В.Даля, 2002. 310 с.).
2.4 Информация, которая используется для построения модели
При построении эмпирических математических моделей используются сле-дующие виды информации: априорная, эвристическая, директивная и экспери-ментальная.
2.4.1 Априорная информация
Априорная информация - это знания об изучаемом процессе, которыми владеют специалисты до построения математической модели. С помощью априорной информации осуществляется "выделение объекта из среды", заключающееся в определении полного перечня входных параметров и выходных показателей по отношению, к которым будет осуществляться идентификация и последующая оптимизация процесса.
В частности для задания структуры эмпирической континуальной модели необходимо иметь информацию, включающую:
- перечень существенных входных переменных;
- перечень существенных парных взаимодействий входных переменных;
- перечень существенных тройных, четверных и т.д. взаимодействий входных переменных;
- перечень входных переменных с существенными квадратичным, кубически-ми и т.д. зависимостями.
К априорной также относится информация о:
- характере входных параметров - сосредоточенные (каждый параметр фиксируется в одном месте) и распределенные (один и тот же параметр фиксируется в разных местах, например, температура на разных уровнях агрегата);
- характере технологического режима (стационарный - нестационарный).
«Качество математического описания исследуемого объекта в значи-тельной степени зависит от имеющейся в распоряжении у экспериментатора априорной информации о виде уравнений связи и характере возмущающих воздействий. Чем выше степень информированности экспериментатора, тем лучше решается задача идентификации». (Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации. - М.: Наука, 1977, с.208).
« Успех идентификации объекта почти целиком зависит от соотношения 2-ух факторов - объема априорной информации о структуре объекта и объема измерительной информации». (Л.А. Расстригин, Н.Е. Маджаров. Введение в идентификацию объектов управления. - М.: Энергия. 1977. - 216 с.)
2.4.2 Эвристическая информация
Эвристическая информация предназначена для компенсации дефицита ап-риорной информации и представляет собой допущения (экспертные оценки) о структурных характеристиках объекта.
С помощью эвристической информации задаются:
- условия свертки множества выходных показателей в обобщенный критерий;
- критерии для оценки эффективности отдельных этапов построения модели и модели в целом.
Эвристическая информация основана на обобщенных знаниях (представ-лениях), догадках, недостаточно корректных допущениях (например, объект стационарный, зависимость выходного показателя от параметров технологи-ческого режима линейна и т.п.), интуиции и др.
Эвристическая информация - совокупность знаний, опыта, интуиции, ин-теллекта, используемых для получения решений с помощью неформализован-ных правил. Обычно эти правила обосновываются с позиций "здравого смы-сла" и отражают внутренние (часто подсознательные) мотивы предпринимае-мых действий, не поддающиеся подробному (точнее формальному) описа-нию.
« Эвристика - не имеющий формального обоснования метод, который повышает эффективность принятия решения». (Реальность и прогнозы искус-ственного интеллекта. Сб. статей. Пер. с англ. //Под ред. В.Л. Стефанюка. - М. : Мир, 1987. -247 с.). М. Минский. Общение с внеземным разумом. с. 231-244).
« Эвристики отображают практический опыт и интуицию исследовате-ля». (Кухтенко А.И. Кибернетика и фундаментальные науки. - К.: Наукова думка. 1987. - 144 с.).
«Возникающее противоречие между потребностями общественного раз-вития и возможностями "математического обеспечения" запросов практики приводит к возрастанию роли эвристических методов» (Ю.И. Дегтярев. Исследование операций. - М.: "Высшая школа", 1986. -320 с.)
2.4.3 Директивная информация
Директивная информация обычно задаётся такими документами как госу-дарственные стандарты, технические условия, технологические регламенты и технологические инструкции.
Как правило, директивная информация - это заданные ограничения на до-пустимые значения:
- каждого из выходных показателей;
- некоторых входных параметров по условиям техники безопасности.
2.4.4 Экспериментальная информация.
К ней относятся значения входных параметров и выходных показателей, зафиксированных на множестве реализаций изучаемой системы. Например, для технологического процесса под реализацией процесса понимается:
- для периодических (циклических) процессов - значения входных и выходных показателей в период от загрузки сырья до выгрузки готовой продукции;
- для непрерывных процессов - средние значения входных параметров и выходных показателей за фиксируемый промежуток времени, превышающий время пребывания обрабатываемой среды в технологической схеме (например, среднесуточные значения в доменном процессе или среднесменные значения в непрерывных химических производствах).
Очевидно, что чем выше доля экспериментальной и директивной инфор-мации в общем объёме информации, используемой для построения модели, тем выше адекватность математической модели. Идеальным методом иденти-фикации является гипотетический метод, который позволяет построить мате-матическую модель изучаемого объекта с помощью формализованных проце-дур только на основании экспериментальной и директивной информации (без использования априорной и эмпирической информации).
2.5 Классификация математических моделей:
2.5.1 Изоморфные – гомоморфные
По степени соответствия оригиналу модели делятся на изоморфные и гомо-морфные. Изоморфные модели находятся в строгом соответствии с оригина-лом и дают о нём исчерпывающую информацию. Очевидно, изоморфные мо-дели существуют только для простых систем, в частности механических.
Изоморфизм – это соотношение между системами тождественной структу-ры. Между элементами и соотношениями изоморфных систем существует вза-
имно однозначное отображение – каждому элементу и отношению одной сис-темы соответствует один и только один элемент (и отношение) другой и нао-борот.
Любую систему S1, изоморфную системе S, можно рассматривать как мо-дель системы S и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств «модели» S1
Для сложных систем оказывается возможным построить модель только после упрощающих предположений. Такие модели, отражающие лишь неко-торые определённые свойства оригинала, называются гомоморфными.
Подобие модели оригиналу всегда неполное, т.е. модель лишь приблизи-тельно отображает некоторые свойства оригинала. Вследствие этого реальная система может иметь различные гомоморфные модели, которые не будут между собой изоморфными
Система Sa отображается гомоморфно в систему Sb, если каждому элемен-ту и каждому отношению (связи) соответствует один и только один элемент (и отношение) системы Sb, но обратное утверждение неправильное. Sb является гомоморфным образом системы Sa, которая называется прообразом.
Моделирование – это итерационный процесс, во время которого представ-ления о модели постоянно пополняются и корректируются – возможно даже до изменения первичных представлений. В соответствии с этим изменяется модель. Подобие модели оригиналу всегда неполное, т.е. модель лишь приб-лизительно отражает некоторые свойства оригинала. Вследствие этого реаль-ная система может иметь разнообразные гомоморфные модели, которые меж-ду собой не будут изоморфными. Таким образом, понятие гомоморфизма поз-воляет теоретически обосновать процесс моделирования и многообразие моде-лей системы.
2.5.2 Фундаментальные - эмпирические
Под фундаментальной моделью понимают уравнение (систему уравнений), построенную на основе физико - химической сущности процессов, происходя-щих в элемнтах изучаемой системы.
При построении фундаментальной модели исходным пунктом исследования является изучение внутренней структуры изучаемой системы. Например, при изучении химико – технологических процессов их поведение представляется как совокупность химических, механических, тепловых, гидравлических и др. явлений, протекающих в жидкофазной полидисперсной среде с механическим перемешиванием. Как правило, эти явления описываются дифференциаль-ными, интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями.
« Модели с теоретическим обоснованием обладают двойным преимущес-твом:
- генерируемые ими данные коррелируются и соответствуют зависимостям, которые, как это доказано, носят общий характер и поддаются экстраполя-
ции (Например, уравнение Аррениуса, соотносящее скорость реакции с темпе-ратурой, справедливо для широкого диапазона температур);
- получая данные, исследователь описывает ситуацию в категориях, имеющих научный смысл». (А. Бейнз, Ф. Бредбери, С. Саклинг. Организация исследова-ний в химической промышленности - М.: Химия, 1974, 336 с.).
« Физико-химические детерминированные модели более универсальны. Они имеют, как правило, более широкий интервал адекватности». (Химико – тех-нологические системы. Синтез, оптимизация и управление. Под ред. И.П. Му-хлёнова. - Л.: Химия, 1986. - 416 с.).
Недостатки фундаментальных методов
Аналитические модели, если они и могут быть получены, оказываются иногда настолько громоздкими и сложными, что их невозможно использовать для целей исследования и решения задач управления.
Исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральны-ми и интегро - дифференциальными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифферен-циальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой ко-нечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределёнными па-раметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющего так называемую ячеечную структуру
Главный недостаток аналитического метода состоит в том, что большинст-во моделей процесса, с которыми приходится иметь дело на практике, пред-ставляют собой системы уравнений, не поддающиеся аналитическому реше-нию.
Аналитическими методами нельзя быстро разрешить проблему моделиро-вания ввиду того, что изучение физикохимии конкретного объекта всегда требует участия квалифицированных специалистов, глубоко знающими сущность протекающих в объекте процессов.
Например, исследование сложных технологических процессов аналитичес-кими методами осложняется следующими факторами:
- слабой изученностью протекания химических реакций в аппаратах и кинети-ки химических процессов;
- недостаточной достоверностью информации о технологических процессах из-за отсутствия надёжных датчиков и непрерывных анализаторов качества на потоках, объёмных счётчиков и т.д.;
- трудностью использования на реальных объектах результатов исследований, полученных на лабораторных и полупромышленных установках;
- технологическими ограничениями на проведение активного эксперимента;
- отсутствия чётких представлений о процессе и его отдельных участках, как
объектах автоматического управления».
«Качественной теорией дифференциальных уравнений нельзя воспользо-
ваться для случая более чем 2-ух независимых переменных. Если мы обратимся к какой-либо конкретной области знаний, широко использующей модели, записываемые в виде дифференциальных уравнений, скажем к химической кинетике, то увидим, что там при этом делается столько принципиально непроверяемых допущений, что придирчивым исследователем эти модели скорее могут восприниматься как интерполяционные». (В.В. Налимов. Планирова-ние эксперимента - взгляд в будущее. В кн. "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях". - М.: Советское Радио, 1974 г.)
«Обычно, когда дело доходит до построения алгоритмов, основанных на некоторой теории, оказывается, что развитая теория является всё - таки грубым приближением к реальности. Как правило, эта "грубость" компенсируется тем, что при построении алгоритмов теории не следуют буквально. Авторы привносят в алгоритмы своё понимание реальной действительности, которые не поддаются формализации». (Вапник В.Н. Восстановление зависи-мостей по эмпирическим данным. - М.: "Наука", 1979, 448 с.).
«Приобретение фундаментальных знаний связано с затратами времени и денег, поэтому с практической точки зрения следует ожидать, что и в даль-нейшем значительная часть зависимостей в сложных системах будет носить эмпирический характер». (Дж. Ф. Эндрюс. Применение некоторых представ-лений и методов системного анализа к системам управления качеством воды. В кн. Математические модели контроля загрязнения воды. /Под ред. А.Джейм-са. М.: "Мир", 1981 г.).
Использование для целей управления физических, химических, механических и других закономерностей, на базе которых созданы данные технологические процессы, не представляется возможным:
- Во первых, имеющиеся закономерности (уравнения кинетики, материального баланса и др. в основном получены в лабораторных условиях с чистыми веществами и т.п. Уже в полупромышленных пилотных установках эти закономерности сильно искажаются из-за увеличения масштабов процесса, влияния различного рода помех, шумов и отклонения от идеальных условий. Еще больше эти искажения проявляются в промышленных установках, где масштаб производства и уровень шумов значительно выше.
- Во вторых, математическая модель объекта, необходимая для управления технологическим процессом, должна включать одновременное влияние на выходной показатель всех входных параметров, т.е. необходимо отразить уравне-ние связи между выходным показателем и всеми входными параметрами.
- В третьих, во многих случаях химические, физические и другие уравне-ния, вытекающие из теории процессов, являются очень сложными и требуют высоких трудозатрат на решение.
Абстрагирование от реальности, присущее любой теории, лишает теорети- ческие модели возможности служить близким отображением опыта, накоплен-ного специалистами в четко очерченных узких областях (при изучении реаль-
ной системы в заданной области исследования). Этой возможностью обладает описание, основанное на минимуме абстракции, каковым является эмпирическая модель.
Вот почему, несмотря на неоценимое значение теоретических моделей в качестве вспомогательных средств исследования и проектирования процесса, как только дело дойдет до практического управления производством и отра-ботки эксплуатационного режима, специалист по моделированию, как прави-ло, обращается к эмпирическому подходу, основывающемуся на реальном по-ведении производственных объектов.
Под эмпирическим моделью понимается уравнение, полученное путем под-гонки под экспериментальные данные с помощью регрессионного анализа или какого - либо аналогичного метода.
Задача построения эмпирической модели по экспериментальным данным может быть сформулирована следующим образом. Из допустимого множества функций необходимо выбрать такую, которая удовлетворяет определенному соотношению между величиной, характеризующей качество приближения функции к заданной совокупности эмпирических данных, и величиной, характеризующей "сложность" приближающей функции.
Дальнейшее приближение к экспериментальным данным за счет "усложне-ния" приближающей функции может привести к тому, что восстановленная функция будет лучше отражать конкретные эмпирические данные, но хуже искомую функцию.
Эмпирическая модель может служить отображением опыта, накопленного специалистами в четко очерченных узких областях (при изучении реальной системы в заданной области исследования).
Модель, синтезированная для потребностей управления, может и не отра-жать внутренних механизмов явления, что совершенно необходимо для познавательной модели. Ей достаточно лишь констатировать наличие определенной формальной связи между входом и выходом объекта. Характер и особенности этой связи и составляют основу модели, получаемой в процессе идентификации объекта управления».
Эмпирические модели, полученные в виде уравнений множественной регрессии на основе обработки экспериментальных данных, устанавливают соотношения между входными параметрами и выходными показателями изучаемой системы, но не отражают сущность определяющих физико - химических, биологических и др. процессов.
Эмпирическая модель записана на одном только ей присущем языке и не может ни обогатить науку, ни обогатиться за счет науки, если ее предвари-тельно не переведут на общий научный язык, что может оказаться длительной процедурой.
Теоретическую и эмпирическую модели можно рассматривать как 2 крайние формы моделирования систем. Если теория, на которой основывалась модель,
надежна и верна, и если ее общие положения распространяются на рас-сматриваемую систему, то чем более теоретический характер носит модель, тем более полезной она, вероятно, окажется при разработке новой системы (процесса, материала и т.п). И, напротив, там, где нет надежно обоснованной теории, более полезной может оказаться эмпирическая модель.
Несмотря на неоценимое значение теоретических (фундаментальных) мо-делей в качестве вспомогательных средств исследования процесса, как только дело дойдет до практического управления производством и отработки эксплу-атационного режима, специалист по моделированию, как правило, обращает-ся к эмпирическому подходу, основывающемуся на реальном поведении про-изводственных объектов.
2.5.3 Детерминированные – стохастические
По степени определённости модели классифицируются как детерминиро-ванные, стохастические и неопределённые.
Детерминированные модели – модели, в которых значение выходного по-казателя однозначно определяется значениями входных параметров. Термин детерминированные системы следует относить только к математическим мо-делям, а не к реальным системам, т.к. в любой реальной системе присутствуют случайные и вообще не поддающиеся учёту факторы.
Детерминированной будем называть такую модель, описание которой да-ётся в виде функциональной зависимости между входными и выходными па-раметрами объекта. Как правило, эта математическая модель соответствует физическому процессу.
«Детерминированные модели обычно строят и для объектов с неизвестными функциональными зависимостями между параметрами объекта. При этом в качестве информации о свойствах объекта используют данные о значениях входных и выходных параметров». (Г.Е.Пухов, И.С.Хатиашвили. Моде-ли технологических процессов. Киев: Техника, 1974 г.).
В стохастических моделях входные параметры, выходные показатели, ус-ловия функционирования и характеристики состояния системы представляют-ся случайными величинами и связаны стохастическими (случайными) зависи-мостями. Поэтому характеристики состояния и реакции в модели определяют-ся законами распределения вероятностей. В процессе построения стохастичес-ких моделей для получения характеристик модели и расчёта результатов моде-лирования используются методы регрессионного, корреляционного и фактор-ного анализов.
Идентификация систем по результатам наблюдений за их функционирова-нием часто формально сводится к изучению статистических закономерностей
случайного вектора - модели исследуемой системы, компонентами которого являются значения признаков, определяющих систему.
Для изучения закономерностей, определяющих состояние и поведение мно-гих систем в экономике, социальных науках, биологии и технике, исследова-тель располагает часто лишь результатами наблюдений за реализациями состо-яний их элементов.
Один из возможных и достаточно эффективных подходов к анализу систем, заданных статистическим материалом наблюдений и, возможно, некоторой до-полнительной априорной информацией, состоит в моделировании их много-мерными случайными величинами или процессами. Изучение взаимосвязей между составляющими случайного вектора, анализ различных его статисти-ческих характеристик позволяет установить закономерности состояния и функционирования моделируемой им статистической системы.
Основным недостатком статистических методов математического модели-рования является то, что классическая математическая статистика требует обя-зательного выполнения целого ряда предположений: о законах распределения исходных случайных величин, вторичных распределениях выборочных оценок и т.д. При моделировании объектов с неопределённостью распределение веро-ятностей некоторых параметров может либо вообще не существовать, или же быть неизвестным.
«Задачи анализа состояния и поведения статистической системы (и зада-чи синтеза, в частности, совершенствования и оптимизации системы) зачас-тую требуют знания совместной функции распределения вероятностей набо-ра взаимосвязанных случайных величин - наблюдаемых признаков системы или, по крайней мере, некоторых их статистических характеристик». (Юдин Д.Б., Юдин А.Д. Математики измеряют сложность. - М.: Знание, 1985. -192 с.)
В реальных задачах исходная статистическая информация, как правило, ог-раничена. Накопленных данных явно недостаточно для того, чтобы без допол-нительных знаний или допущений о системе сколько-нибудь надежно восста-новить функцию распределения ее компонент.
Для получения точного и надежного описания произвольной системы не-малой размерности необходимо иметь громадное количество реализаций моде-лирующего ее случайного вектора - гораздо больше, чем это может быть обеспечено при любых предвидимых возможностях накопления информации.
Следовательно восстановление функции распределения, отвечающей про-извольной статистической системе немалой размерности, по результатам наб-людения за ней - нереальная задача.
Отсутствие априорных гипотез, основанных на предварительном качест-венном анализе, практически исключает возможность установления законо-мерностей статистической системы немалой размерности на основе данных статистического обследования. Объем наблюдений, необходимый для сколько-нибудь надежной аппроксимации совместного распределения вероятностей
компонент случайного вектора модели системы, астрономически быстро рас-тет с ростом размерности системы.
«На всех стадиях статистического исследования главенствующую роль играет дополнительная информация об анализируемом объекте. Особенно остро эта проблема встает в задаче оценки многомерных зависимостей с ростом размерности пространства контролируемых переменных». (Дубровский С.А. Прикладной многомерный статистический анализ. - М.: Финансы и статистика, 1982. -216 с.).
2.5.4 С распределенными – с сосредоточенными параметрами
Объект с сосредоточенными параметрами – объект, у которого параметры, описывающие его состояние, изменяются только во времени.
Объект с распределёнными параметрами - объект, у которого параметры могут изменяться в пространстве.
«В большинстве случаев при построении моделей протяжённые в прост-ранстве реальные объекты заменяются системами с сосредоточенными па-раметрами. Круг объектов, которые при идентификации представляются как распределённые, постоянно расширяется». (Райбман Н.С., Богданов В.О., Кнеллер Д.В. Идентификация систем с распределёнными параметрами. (Обзор). Автоматика и телемеханика, 1982, 6, с.5-36).
2.5.5 Континуальные - дискретные
В зависимости от типа шкал, используемых для измерения параметров, мо-дели могут быть дискретными, непрерывными (континуальными) и дискретно – непрерывными.
В непрерывных моделях все параметры и выходные показатели являются непрерывными. Типичный представитель моделей такого типа – система диф-ференциальных уравнений.
В дискретных моделях множество допустимых значений параметров и вы - ходных показателей дискретны. Дискретная модель может отображать как дискретные, так и непрерывные системы, которые в этом случае представля-ются в дискретном виде путём перехода к дискретным шкалам, введения бальных оценок и др.
Обычно использование численных шкал ассоциируется с методами коли-чественного изучения закономерностей, а дискретных – с качественными ме-тодами
«Многие математические дисциплины направлены на получение конечного численного результата. Но сводить математические методы исследования только к получению числа – значит бесконечно обеднять математику, обед-нять возможности того могучего оружия, которое сегодня есть в руках ис-следователя». (Н.Н.Моисеев. Математик задает вопросы. - М.: "Знание", 1975, 192 с.).
Дело в том, что возможности современных количественных методов идентификации (построения математической модели изучаемой системы по экспе-
риментальным данным) существенно ограничены. Известен афоризм, четко определяющий эти возможности: « Если в задаче меньше 3-ёх переменных – это не задача, если больше 8-и, то она неразрешима».
К качественным методам исследования относятся: топология, формально - логические методы, некоторые методы обучения распознаванию образов и др.
Развитие этих чрезвычайно обогатило математику, сделало её весьма гиб-ким инструментом исследования. Более того, современные методы численного анализа в значительной степени используют результаты предварительного качественного анализа.
Во многих случаях при изучении сложных систем качественного (полуко-личественного, дискретного) анализа достаточно для решения задачи.
Иногда качественное решение - единственно возможное и удовлетворяю-щее потребителя.
2.5.6 Статические – динамические
По фактору времени модели делятся на статические и динамические.
В статической модели все зависимости отнесены к одному моменту времени. Примером статической модели может служить структура системы, как неизменяемая во времени характеристика. В статических моделях в явном виде отсутствует зависимость от времени. Статическая модель может описывать и динамическую систему в определённый момент времени.
Динамика – свойство систем изменять параметры и показатели функциони-рования во времени. Сложную систему можно представить состоящей из прос-тейших взаимосвязанных элементов, каждый из которых имеет свой вход и выход и описывается своим уравнением динамики. Уравнение динамики сис-те может быть получено из системы уравнений динамики элеменьов путём исключения промежуточных параметров.
В динамических моделях значения переменных зависят от времени.