Geum.ru

Программа курса «история и методология математики»

Вид материалаПрограмма курса
Подобный материал:
ПРОГРАММА КУРСА «ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ»

(А. Ю. Лисица)

Курс семестровый, читается в первом семестре магистратуры, 2 часа лекций в неделю (всего 18 недель). Итоговый контроль – зачет.

Цель курса – познакомить студентов с различными взглядами на методологию и историю математики в целом, а также, более подробно и глубоко, с отдельными страницами последней.

Курс состоит из двух частей. К первой относится общий (по необходимости, беглый и, в основном, поверхностный) исторический обзор развития математики с древнейших времен до настоящего времени. Вторую часть курса составляет по возможности подробное исследование отдельных страниц математической истории (история открытия неевклидовых геометрий, история решения задачи об уравнении 5-й степени и др.)

  1. Вводные замечания. (1-2 лекции.)



  1. Что такое история и история математики, в частности? Их необозримость. Общие принципы исследования математических открытий прошлого. Историческое свидетельство. Историк прошлого и историк настоящего. Возможность истории современной математики.
  2. Необходимость истории математики. Отличие истории математики от просто истории. История математики как наука с различных точек зрения на понятие науки.
  3. Что такое методология? Методология математики в прошлом и настоящем.



  1. Общий обзор исторического развития математики. (4-5 лекций)



  1. Догреческая математика. Факты и домыслы. Эмпирические знания и доказательство.
  2. Математика Древней Эллады. История первых теорем. Фалес, Архимед и другие.
  3. Евклид как ученый, собиратель и компилятор. Его труд «Начала».
  4. Первые шаги логики. Софисты, Аристотель и современная логика.
  5. Математика как наука в древнем мире. Ее содержание, цели и место в ряду наук с точки зрения древних.
  6. Европейская математика в Средние века. Арабская математика.
  7. Математика Эпохи Возрождения и Нового времени. Декарт, Ньютон, Лейбниц и другие. Их взгляд на содержание и сущность математики.
  8. Развитие математики в XVIII столетии. Эйлер, Лагранж и другие.
  9. Математика XIX столетия. Гаусс, Галуа, Лобачевский и другие.
  10. Математика на рубеже веков. Новые задачи и новые цели. Теория множеств, логика, теория групп и алгебра, новые взгляды на геометрию и анализ. Проблемы Гильберта. Математическое сообщество тех лет.
  11. Математика начала XX века, ее бурное развитие. Успехи логики. Проблемы оснований математики и теории множеств.
  12. Математика середины XX века (до 70-х годов). Теория вероятностей, топология, алгебраическая геометрия и другие области.
  13. Спад или накопление сил? (О математике конца XX века и современной.)
  14. Математика в России. От «Арифметики» Магницкого до «дела Лузина».



  1. История открытия неевклидовой геометрии. (4-5 лекций).



  1. «Начала» Евклида, 5-й постулат, попытки его доказательства. Труды Саккери, Ламберта и Лагранжа.
  2. Труды Лобачевского, их сходство и принципиальное отличие от трудов его предшественников: попытки рассуждений от противного, утверждение о существовании «воображаемой» геометрии, решение с ее помощью некоторых задач анализа.
  3. Краткий очерк геометрии Лобачевского (повторяющий путь самого Лобачевского).
  4. Труды Яноша Больяи и Гаусса.
  5. Дальнейшая история неевклидовых геометрий. Труды Ф.Клейна и других. Современные подходы к построению геометрии Лобачевского.



  1. История решения алгебраического уравнения 5-й степени (2-3 лекции).


1. Решение квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени. Попытки построения общей формулы решения уравнения 5-й степени.

2. Абель и Галуа, история их открытий. Перестановки, римановы поверхности и группы. Полное решение задачи. Значение открытий Абеля и Галуа для дальнейшего развития математики.

  1. История оснований математики (4-5 лекций)



  1. Краткий очерк истории открытия и оснований математического анализа.
  2. Очерк истории построения действительного числа. Различные взгляды на понятие действительного числа. Дедекинд, Пеано и другие.
  3. Кантор и его теория множеств. Парадоксы, парадокс Рассела. Г.Фреге.
  4. Лейбниц, Гильберт и программа основания математики.
  5. Открытия логики XX-го столетия (теоремы Гёделя и др.)
  6. Аксиоматические системы теории множеств. Континуум-гипотеза.
  7. Проблемы оснований математики. Попытки разрешения этих проблем. Конструктивизм и традиционная теоретико-множественная математика.



Литература


Основная:
  1. Стройк Д.Я., «Краткий очерк истории математики», любое издание
  2. Гиндикин С.Г. «Рассказы о физиках и математиках», любое издание.
  3. Прасолов В.В. «Геометрические задачи Древнего мира». М.: «Фазис», 1997.
  4. Каган В.Ф. «Основания геометрии», часть I («Геометрия Лобачевского и ее предыстория»). М.-Л.: 1949.

Дополнительная:
  1. «Дело академика Николая Николаевича Лузина». М., 1999.
  2. Верещагин Н. К., Шень А. Х. «Начала теории множеств». М., МЦНМО, 2006.
  3. Френкель А., Бар-Хилел И. «Основания теории множеств».
  4. Алексеев В. «Теорема Абеля в задачах и решениях», любое издание.
  5. Прасолов В.В. «Геометрия Лобачесвого». М.: МЦНМО, любое издание.