Динамика и синтез широкополосных сейсмических приборов 01. 02. 06 Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры, 05. 13. 01 Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, технические системы)

Вид материала

Автореферат

Содержание 7 » ноября Общая характеристика работы Цель работы Задачи исследования Методы исследования. Достоверность научных результатов На защиту выносятся следующие основные научные положения Научная новизна Практическая ценность Реализация результатов работы. Апробация работы Содержание работы В первой главе Во второй главе Динамика наземного сейсмического прибора Динамика скважинного прибора Динамика сейсмических источников Третья глава В четвертой главе Пятая глава. ... Полное содержание

Подобный материал:

• Динамика управляемого движения мобильного ползающего робота с изменяемой формой корпуса, 219.75kb.
• Оценка и повышение живучести несущих конструкций технологического оборудования металлургического, 294.38kb.
• Разработка расчетных методов оценки живучести рабочих и опорных прокатных валков 01., 250.79kb.
• Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 06 «Динамика, прочность, 76.1kb.
• Беспружинная пневмогидроарматура с уплотнительными затворами различной физической природы, 1044.02kb.
• Высокоточное нейросетевое распознавание в системах технического зрения, 248.39kb.
• Касьянов Константин Геннадьевич оценка несущей способности и ресурса конструкционных, 452kb.
• Краткосрочное прогнозирование на основе технологии нейросетевого пространственно-параметрического, 194.81kb.
• Эволюционный метод синтеза непрерывно дискретных систем управления, 288.26kb.
• Системный анализ параметров сердечно-сосудистой системы учащихся югры 05. 13. 01 системный, 641.8kb.

На правах рукописи


Певзнер Александр Абрамович


динамика и синтез

широкополосных сейсмических приборов


01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов

и аппаратуры,

05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка

информации (промышленность, технические системы)


АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук


Рыбинск – 2007

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении

высшего профессионального образования «Ярославский государственный педагогический университет имени К.Д. Ушинского»


Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Вечфинский Владимир Сигизмундович

доктор технических наук, профессор Савин Леонид Алексеевич


доктор технических наук, профессор Яманин Александр Иванович


Ведущая организация – ГФУП ВНИИГЕОФИЗИКА (Москва)


Защита состоится « 7 » ноября 2007 года на заседании диссертационного совета ДМ 212.210.02 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. П.А. Соловьева по адресу: 152934, г. Рыбинск, Ярославская область, ул. Пушкина, 53.


С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. П.А. Соловьева


Автореферат разослан « __ » __________ 2007 года


Ученый секретарь

диссертационного совета И. В. Надеждин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность темы. Возможность получить информацию о строении земной коры с минимальными затратами позволяет важнейший метод геофизики – сейсморазведка. Источники сейсмической энергии излучают сигналы в глубь земли, где они отражаются или преломляются к поверхности от зон резкого изменения плотности и скорости распространения, обусловленных вариациями литологии, стратиграфии и структуры горных пород. На поверхности отраженные сигналы регистрируются, обрабатываются с помощью ЭВМ, в результате чего получаются сейсмограммы, геологическая интерпретация которых позволяет определить возможность наличия и потенциальные запасы полезных ископаемых в данной области.

Карстовые, суффозионные образования, погребенные русла, физические свойства горных пород определяются методами инженерной сейсмики.

Специфика сейсмологической характеристики реальных сред и геологических задач, решаемых сейсморазведкой при изучении рудных месторождений и районов, определяется высокими значениями скоростей распространения упругих колебаний в изучаемой части разреза, резким отличием частотного спектра низкоскоростных волн-помех и целевых отраженных волн и использованием информации, в основном заключенной в ближней части сейсмограммы (до 0,5 с). Указанные особенности, с одной стороны, заставляют искать пути повышения разрешающей способности сейсморазведки, что реально за счет увеличения частоты возбуждаемых колебаний, а с другой стороны, требуют увеличения динамического диапазона регистрирующей аппаратуры и исключения из состава возбуждаемого волнового поля наиболее интенсивных волн – низкочастотных помех, связанных с верхней низкоскоростной частью разреза. Исключение низкочастотных помех может быть достигнуто за счет применения источников с управляемым в широком диапазоне частотным спектром. Привлечение сейсморазведки к решению задач классификации аномалий других геофизических методов и к прямым поискам рудных тел может быть эффективно при одновременном использовании волн различной поляризации.

Таким образом, повышение разрешающей способности сейсморазведки может быть достигнуто за счет повышения частоты колебаний (при достаточно большом октавном числе), понижения скорости или за счет использования поперечных волн. Также повышение разрешающей способности сейсморазведки обеспечивает сокращение расстояния до отражающего объекта за счет наблюдений в скважинах, и в этом случае возможности метода будут определяться свойствами приборов в скважинах. Наиболее реальным путем повышения разрешающей способности является расширение частотного диапазона используемых сигналов. При этом, наряду с достижением основной цели, могут быть получены дополнительные преимущества, заключающиеся в увеличении диапазона изучаемых глубин, улучшении соотношения сигнал/помеха и сокращении диапазона волнового поля на входе приемных приборов и в конечном итоге в вовлечении в число объектов прогнозирования непосредственно рудных тел и других структурно-вещественных неоднородностей малого размера. Появляется возможность включить в число изучаемых параметров так называемые «собственные частоты колебаний» геологических неоднородностей.

Повышение точности и селективности сейсмических методов особенно важно при решении задач инженерной сейсмики.

В связи с этим повышение разрешающей способности сейсморазведки является актуальной научной проблемой.

Активное развитие высокочастотных модификаций сейсморазведки сдерживается в первую очередь проблемами возбуждения и регистрации широкополосных сигналов с преобладанием высоких частот.

Так как повышение разрешающей способности сейсморазведки в большой мере зависит от расширения полосы частот при создании и использовании сейсмических приборов, важным является как расширение диапазона частот излучаемых источниками сигналов, так и расширение полосы пропускания приемной аппаратуры. Поэтому исследование динамики и синтез широкополосных сейсмических приборов является важной задачей.

В разработку и совершенствование теории вибрационных машин различного назначения внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные ученые. В том числе – А. А. Андронов, П. М. Алабужев, В. Л. Бидерман, Н. Н. Боголюбов, И. И. Блехман, В. В. Болотин, И. И. Быховский, Р. Ф. Ганиев, И. Ф. Гончаревич, Г. Ю. Джанелидзе, Ф. М. Диментберг, М. З. Коловский, К. С. Колесников, В. О. Кононенко, Б. И. Крюков, А. И. Лурье, Л. И. Мандельштам, Ю. А. Митропольский, Р. Ф. Нагаев, Я. Г. Пановко, Г. Я. Пановко, К. В. Фролов, В. Н. Челомей, Д. Ден-Гартог, К. Магнус, Дж. Релей, И. Рокар, Дж. Стокер, С. П. Тимошенко, Ф. Цзе и многие другие.

Цель работы. Разработка научных основ синтеза сложных динамических систем на основе функций сопрягающих частот и динамика широкополосных сейсмических приборов, обеспечивающих повышение разрешающей способности сейсморазведки.

Задачи исследования:

- исследование существующих методов и создание методов синтеза широкополосных сейсмических приборов, обеспечивающих заданные динамические характеристики;

- исследование динамики взаимодействия с геологической средой наземных и скважинных сейсмических приборов в зависимости от их конструктивных параметров;

- исследование динамики электромагнитных процессов в системе статический преобразователь – электрический преобразователь возвратно-поступательного движения;

- анализ существующего аппаратурного обеспечения сейсморазведки и определение путей повышения разрешающей способности;

- разработка математических моделей сейсмических приборов;

- разработка широкополосных сейсмических приборов для вибрационной и импульсной сейсморазведки;

- исследование вопросов применения широкодиапазонных и широкополосных сейсмических приборов для решения различных практических задач.

Методы исследования. В качестве основных методов исследования в диссертационной работе применялись методы, принятые в теории колебаний, теории управления, системного анализа, физического и математического моделирования, статистического анализа, теории измерений и обработки наблюдений.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, адекватного решаемым задачам, удовлетворительным совпадением теоретических и экспериментальных результатов, опытом практического использования разработок в производственной и научной областях.

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

1. Созданный на основании предложенных автором функций сопрягающих частот метод синтеза сейсмических приборов, позволяющий выбирать параметры приборов, обеспечивающие заданную, с точки зрения повышения разрешающей способности сейсморазведки, полосу частот.
   
2. Научно обоснованный метод расчета электромагнитных процессов в системе статический преобразователь – электрический преобразователь возвратно-поступательного движения, позволяющий упростить расчет электромагнитных процессов при наиболее сложных для расчета режимов работы статического преобразователя, на основании которого разработаны методика и алгоритмы расчета электромагнитных процессов в системе автономный инвертор напряжения – электродинамический преобразователь возвратно-поступательного движения сейсмического источника.
   
3. Способ управления статическим преобразователем сейсмического источника, полученный в результате проведенных с помощью разработанных методики и алгоритмов исследований электромагнитных процессов, позволяющий обеспечить формирование сигнала возбуждения с минимумом частотных искажений для повышения разрешающей способности сейсморазведки.
   
4. Математические модели наземных и скважинных сейсмических приборов, позволяющие провести анализ их динамики.
   
5. Научно обоснованная модель эквивалентного сопротивления грунта и зависимости сопротивления грунта от силы взаимодействия сейсмического прибора с поверхностью грунта, которая позволяет выбирать режимы эксплуатации сейсмических приборов, обеспечивающие минимизацию нелинейных искажений.
   
6. Полученные на основании построенных математических моделей зависимости характеристик сейсмических приборов от вариации значений их параметров, позволяющие выбрать параметры, обеспечивающие наилучшую характеристику с точки зрения повышения разрешающей способности.
   

Научная новизна:

Автором получены следующие научные результаты.

1. На основании предложенных автором функций сопрягающих частот создан метод синтеза сейсмических приборов, позволяющий выбирать параметры приборов, обеспечивающие наилучшую, с точки зрения обеспечения повышения разрешающей способности, полосу частот.
   
2. Создан метод расчета электромагнитных процессов в системе статический преобразователь – электрический преобразователь возвратно-поступательного движения, позволяющий упростить расчет электромагнитных процессов при наиболее сложных для расчета режимов работы статического преобразователя, на основании которого разработаны методика и алгоритмы расчета электромагнитных процессов в системе автономный инвертор напряжения – электродинамический преобразователь возвратно-поступательного движения сейсмического источника.
   
3. В результате проведенных с помощью разработанных методики и алгоритмов исследований электромагнитных процессов предложен способ управления статическим преобразователем сейсмического источника, позволяющий обеспечить формирование сигнала возбуждения с минимумом частотных искажений для повышения разрешающей способности сейсморазведки.
   
4. Построены математические модели наземных и скважинных сейсмических приборов, позволяющие провести анализ их динамики.
   
5. Обоснована модель эквивалентного сопротивления грунта и зависимости сопротивления грунта от силы взаимодействия сейсмического источника с поверхностью грунта, позволяющая выбирать режимы эксплуатации сейсмических приборов, обеспечивающие минимизацию нелинейных искажений.
   
6. На основании построенных математических моделей получены зависимости характеристик сейсмических приборов от вариации значений их параметров, позволяющие выбрать параметры, обеспечивающие наилучшую характеристику с точки зрения повышения разрешающей способности.
   

Практическая ценность диссертационной работы заключается в следующем.

Предложенный метод синтеза сейсмических приборов на базе функций сопрягающих частот от выбираемых параметров дает возможность в процессе проектирования наглядно представить влияние изменения соответствующего параметра на характеристики системы. Это позволяет достаточно просто определить области оптимальных значений параметров системы, обеспечивающих требуемую полосу, а при необходимости параметрического управления свойствами системы определить пределы изменения управляющего параметра.

Разработанный метод исследования электромагнитных процессов в системе статический преобразователь напряжения – электрический преобразователь возвратно-поступательного движения позволяет упростить процесс исследования электромагнитных процессов при широтно-импульсной модуляции и частотно-токовом управлении. На основании результатов исследований с помощью разработанного метода предложен способ управления электродинамическим сейсмическим источником с широтно-импульсной модуляцией, обеспечивающий формирование сигнала возбуждения с минимумом высших гармоник.

Полученные обобщенные математические модели наземных и скважинных сейсмических приборов обеспечили анализ влияния вариации параметров сейсмических приборов на их характеристики, в результате которого реализована возможность определения выбора значений параметров для обеспечения наиболее широкой полосы приборов.

Анализ динамики скважинных приборов, выполненный на базе разработанной модели, позволил предложить решения для создания скважинных приборов, обеспечивающих наиболее широкие полосы частот.

Предложена упруго-диссипативная модель грунта с зависимостью параметров от силы прижатия источника к грунту, которая объясняет возникновение существенных нелинейных искажений на низких частотах при соизмеримых значениях силы прижима и амплитуды развиваемой источником силы и позволяет выбирать оптимальные соотношения развиваемого источником усилия и силы прижима его к грунту для уменьшения нелинейных искажений.

В результате анализа динамики электромагнитного преобразователя возвратно-поступательного движения предложено принципиально новое решение, позволяющее повысить динамические показатели импульсного сейсмического источника на базе электромагнитного преобразователя возвратно-поступательного движения (расширение полосы спектра излучения в область верхних частот) и его КПД.

На основании предложенных моделей и методов анализа и синтеза сложных систем найдены новые подходы к построению структурно-функциональной организации приборов и устройств, которые позволили создать и внедрить в ряд отраслей народного хозяйства:

- широкополосные вибрационные сейсмические источники;

- широкополосные импульсные сейсмические источники;

- широкополосные скважинные геофизические приборы для возбуждения и регистрации сейсмических сигналов;

- устройства для эксплуатации и ремонта подземных водозаборов;

- системы вибрационной диагностики строительных конструкций;

- системы и устройств коррекции психофизиологического состояния человека;

- вибрационных вискозиметров.

Применение разработанных широкополосных наземных и скважинных приборов обеспечило повышение разрешающей способности сейсморазведки почти на порядок.

Предложенная методика определения параметров грунта позволяет ускорить процесс оценки реальных параметров грунтов в точках установки сейсмических приборов.

Разработанные стенды для исследования сейсмических источников обеспечивают возможность испытания вибрационных и импульсных сейсмических источников.

Оригинальность предложенных способов и устройств подтверждается авторскими свидетельствами и патентами СССР, РФ, Австралии, Великобритании, Франции, Украины.

Реализация результатов работы. Результаты работы использованы при создании сейсмических источников в НПО «Рудгеофизика» Каз. ВИРГ (г. Алма-Ата), Каз. Геофизприбор (г. Алма-Ата). Работы велись в рамках программы ГКНТ 0.50.03., заказ-наряда 070/4 и договора 287 отраслевой программы Мингео СССР. С помощью разработанных опытно-методических образцов широкополосных вибрационных и импульсных наземных и скважинных сейсмических приборов получено повышение разрешающей способности сейсморазведки почти на порядок. Разработанный на основе предложенных решений скважинный сейсмический источник использован для поиска и разведки алмазных месторождений в Якутии. Скважинный сейсмический прибор с управляемым прижимом использовался при проведении опытно-методических работ по изучению геопространства Кольской сверхглубокой скважины. Разработанный электромагнитный импульсный источник ИСЗИ-ВА4-01 использовался в Кольской горно-геологической компании при проведении инженерно-геологических работ, что повысило точность и производительность полевых работ. Полученные в результате исследований аппаратурные и методические решения использованы при проведении инженерно-геологических изысканий в Ярославле, в том числе было обнаружено расположение погребенного русла под зданием первого российского театра им. Ф. Волкова. Разработанные устройства использованы для эксплуатации и ремонта водозаборных скважин.

Апробация работы

Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований докладывались на Всесоюзной НТК « Измерение и контроль при автоматизации процессов» (Барнаул,1982); Всесоюзной НТК « РАПП-83» (Барнаул,1983); Всесоюзной научно-практической конференции «Разработка и применение невзрывных источников сейсмических сигналов для сейсморазведки на нефть и газ» (Гомель, 1983); V и VI Всесоюзных совещаниях «Электрические виброимпульсные системы» (Новосибирск, 1984, 1987); Всесоюзной конференции «Оптико-электронные устройства и системы» (Томск, 1989); Всесоюзном совещании «Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе» (Барнаул, 1989); II-й НТК «Устройства и системы автоматики автономных объектов» (Красноярск, 1990); краевой НТК «Автоматизация электроприводов и оптимизация режимов электропотребления» (Красноярск, 1991); межрегиональной НПК «Проблемы экологической оптимизации землепользования и водохозяйственного строительства в бассейне р. Днепр» (Киев, 1992); I-й Международной конференции «Датчики электрических и неэлектрических величин» (Барнаул, 1993); Международной конференции «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» (Курск, 1993); Международной конференции «Проблемы техники и технологии XXI века» (Красноярск, 1994); II-й научно - технической конференции «Вибрационные машины и технологии» (Курск, 1995); международных конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» (Курск, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005); IV-й Международной конференции «Экология урбанизированных территорий» (Ярославль, 1999); международных научно-технических конференциях «Вибрация-2001, 2003, 2005 (Вибрационные машины и технологии)» (Курск, 2001, 2003, 2005); XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» - ММТТ-17 (Кострома, 2004); XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2006); 5-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» ( Москва, 2006).

Разработанные при непосредственном участии и под руководством автора приборы демонстрировались и отмечены на ВДНХ СССР (серебряная медаль), г. Москва, ВДНХ УССР (свидетельство и диплом), г. Киев, ВДНХ Каз. ССР г. Алма-Ата, ЭКСПО-НАУКА 2003 (медали и дипломы), НТТМ-2004, НТТМ-2005, НТТМ-2006 (медали и дипломы) ВВЦ, г. Москва, «Инженерное искусство в развитии цивилизации», юбилейной выставке, посвященной 150-летию В. Г. Шухова, Москва, 2003 (диплом), «Инновации. Производство. Рынок» Ярославль, 2004 (медали и дипломы), «Инновации. Производство. Рынок» Ярославль, 2005 (медали и дипломы), «Инновации. Производство. Рынок» Ярославль, 2006 (медаль и диплом).

Публикации

По теме диссертации опубликовано более 90 работ, в том числе 1 монография, 8 работ в изданиях, включенных в перечень ВАК, получено более 50 патентов и авторских свидетельств на изобретения.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 311 наименований и приложений.


СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ


Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследований, перечислены основные положения, выносимые на защиту, отражена их научная новизна и практические результаты.

В первой главе сформулированы основные требования, предъявляемые к сейсмическим приборам для малоглубинной сейсморазведки.

Отмечено, что при малоглубинных сейсмических исследованиях для поиска и разведки рудных тел и решения инженерных задач необходимы приборы, обеспечивающие излучение и прием сейсмических сигналов с широкой полосой частот. В данном случае под полосой частот мы понимаем диапазон частот, при котором отношение максимального и минимального значения сигнала не превышает заданного предела.

На основании анализа существующих типов сейсмических источников обосновано построение сейсмических источников для малоглубинной сейсморазведки на базе электрических преобразователей возвратно-поступательного движения с управлением от статических преобразователей.

Существенный вклад в развитие невзрывных методов возбуждения упругих колебаний в геологической среде внесли работы Ю. П. Бевзенко, Н. В. Волошина, Л. П. Вержбицкого, Б. Г. Ваншельбойма, Т. М. Гродзянской, А. Г. Гурина, Г. П. Евчатова, В. В. Ивашина, И. Б. Крылова, Ю. П. Лукашина, В. В. Майорова, А. П. Малахова, Г. И. Молоканова, Л.А. Певзнера, А. А. Певзнера, М. К. Полшкова, О. А. Потапова Л. Д. Райхера, Н. П. Ряшенцева, В. А. Теплицкого, А.С. Шагиняна, М. Б. Шнеерсона, В. В. Циммермана, И. С. Чичинина, В. И. Юшина и др.

На основании анализа существующих моделей контакта источников с грунтом и собственного многолетнего опыта предложена параллельная (на базе модели Фойхта - Кельвина) упруго-диссипативная модель контакта источника с грунтом с пропорциональной и квадратичной зависимостью, соответственно упругого и диссипативного, параметров от силы прижатия источника к грунту. Предложенная модель объясняет возникновение существенных нелинейных искажений на низких частотах при соизмеримых значениях силы прижима и амплитуды развиваемой источником силы.

На основании предложенной модели контакта источник-грунт и исходя из условия обеспечения требований к источникам для малоглубинной сейсмики (широкополосность, мобильность и др.) выбрана физическая модель источника в виде трехмассовой системы с упруго-диссипативными связями.

Во второй главе дается исследование динамики сейсмических приборов. Процесс формирования сейсмического сигнала можно разделить на две составляющие: преобразование первичной энергии в энергию механических колебаний и внедрение полученной вибрации в геологическую среду. При этом важную роль играют условия согласования сейсмических источников с геологической средой. В приемной сейсмической аппаратуре также важную роль играет согласование с геологической средой.

Так как взаимодействующую с геологической средой механическую часть излучающих и приемных сейсмических приборов можно представить в виде подобных математических моделей с сосредоточенными параметрами, представляется целесообразным процесс исследования динамики сейсмических приборов разделить на два этапа: динамика взаимодействия механической части приборов как наземных, так и скважинных с геологической средой и динамика электрических преобразователей возвратно-поступательного движения.

Динамика наземного сейсмического прибора

Вывод уравнений динамики механической части сейсмического прибора

При выводе уравнений считается, что система линейна и одномерна, то есть параметры системы сосредоточенные: силы параллельны, коэффициенты постоянны.

В качестве исходной принята схема замещения механической части сейсмического источника, приведенная на рис. 1.

Принятые обозначения: m_т – масса транспортного средства; m – инерционная масса; m_п – масса излучающей плиты; k – коэффициент упругости подвески инерционной массы; k_т – коэффициент упругости подвески транспортного средства; k₁– коэффициент упругости связи транспортного средства и инерционной массы; k_г – коэффициент упругости грунта; D_т – коэффициент демпфирования подвески транспортного средства; D – коэффициент демпфирования подвески инерционной массы; D₁ – коэффициент демпфирования связи транспортного средства и инерционной массы; D_г – коэффициент демпфирования грунта.

Вывод основных дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы, осуществляется на основе уравнения Лагранжа


, (1)


где q_i – обобщенная координата (ОК) перемещения системы; q₁= y_т – ОК транспортного средства; q₂= y – ОК инерционной массы; q₃= y_п – ОК излучающей плиты; Q_i=F – обобщенная составляющая приложенной силы (направление силы в сторону грунта берется со знаком «+»); T – кинетическая энергия системы; U – потенциальная энергия системы; F_R – функция рассеивания Рэлея.


а₁₁·y_{т (p)}- а₁₂ y_(p) - а₁₃·y_{п (p)} =0

- а₂₁·y_{т (p)}+ а₂₂·y_(p) - а₂₃·y_п(p) = - F_(p) (2)

- а₃₁·y_{т (p)}- а₃₁·y_(p)+ а₃₃·y_{п (p)} = F_(p),


где а₁₁= m_тp² +D_тp +k_т; а₂₂= mp² +Dp +k; а₃₃= m_п·p²+(D_т+D+D_г) ·p+k_т+k+k_г;

а₁₃= а₃₁= D_тp + k_т; а₁₂= а₂₁= D₁p + k₁; а₂₃= а₃₂= Dp+k.


На основании системы (2) получаем передаточные функции смещения соответствующей координаты y_{i (p)}относительно действующей силы


, (3)

, (4)

. (5)