Geum.ru

"львовско-варшавская школа философии. Альфред тарский"

Вид материалаРеферат

Содержание


Школа в период II мировой войны и послевоенное время.
АЛЬФРЕД ТАРСКИЙ. Краткая справка из БСЭ.
Из истории метаматематических исследований во Львовско-варшавской школе
Подобный материал:
1   2   3   4   5

Школа в период II мировой войны и послевоенное время.


Обычно принято считать, что с началом войны Школа прекратила свое существование. И тем не менее, как кажется, необходимо обсудить судьбы отдельных представителей и Школы в целом после 1939 года.


В мае 1939 г. умер один из наиболее оригинальных и выдающихся участников Львовско-варшавской школы - Станислав Лесьневский. Война произвела ужасные опустошения в рядах этого интеллектуального содружества. Утратили жизни (главным образом были убиты) следующие упоминавшиеся выше философы и логики: Ауэрбах, Бад, чета Блауштайнов, Вайсберг, Зайковский, Игель, чета Линденбаумов, З.Лемпицкий, Мильбрандт, Мосдорф, Ортвин, Паньский, Пресбургер, Райгородский, Рутский, Саламуха, Шмирер, Третер. В первые годы после войны умерли Витвицкий, Завирский и Смолька.


В предисловии к "Философским фрагментам. Серия II. Памятная книга к юбилею 40-летия педагогической работы профессора Тадеуша Котарбинского в Варшавском университете" можно прочитать: "Первая серия "Философских фрагментов" вышла в 1934 г. за счет учеников, чьи имена фигурируют на одной из первых страниц книжки. Сегодня из состава в пятьдесят одну особу не живет двадцать. О пяти наших коллегах отсутствуют какие-либо сведения и кажется обоснованным предположение, что их имена следует дописать к двадцати предыдущим". Приводя эту цитату в своей книге о Львовско-варшавской школе ее историк Я.Воленский с болью и сожалением продолжает: "И хотя эти слова были написаны в 1958 году, эти двадцать пять человек в действительности полностью являются жертвами войны. А ведь первые "Фрагменты" изданы 51 особой, теми, кто уже в 1934 году был квалифицированным философом. А сколько погибло тех, кто закончил учебу позже, кому учебу прервала война и наконец те, кто приступил к учебе во время войны? Не знаю, возможен ли ответ на этот вопрос, в конечном счете касающийся не только Львовско-варшавской школы, но и польской философии вообще".


Военные потери Львовско-варшавской школы - это не только персональные потери. Это также замедление на шесть лет нормального процесса научной и педагогической работы, это утрата значительной части публичных и частных библиотечных фондов. В годы войны был уничтожен ряд написанных и уже подготовленных к публикации работ, в том числе монографии Лукасевича о силлогистике Аристотеля и Бохеньского о логике Теофраста, содержащая важные результаты рукопись Лесьневского и обширная реконструкция его теорий, проведенная Собоцинским, уже упоминавшийся первый том "Collectanea Logica", а также перевод Котарбинским "Нового Органона" Ф.Бэкона. Но было в это время написано и несколько значительных работ. Витвицкий создавал свои "Нравственные беседы", Оссовская кончила написание трактата о морали , а Татаркевич подготовил свои размышления о счастье. Не удивительно, что во время войны этическая проблематика превалировала. В предисловии к своей книге Татаркевич пишет: "Значительная часть этой книги была написана во время второй мировой войны, в 1939 - 1943 гг. Может показаться странным, что работа о счастье создавалась тогда, когда люди переживали самое большое несчастье. И однако, это понятно: в несчастье больше думается о счастье".


Во время оккупации польские университеты не проводили занятий. Учеба продолжалась путем тайного преподавания. Философы Львовско-варшавской школы также принимали участие в работе т.н. "подземного университета". В Варшаве читали лекции и проводили семинарские занятия Лукасевич, Котарбинский, Татаркевич, Оссовские, Саламуха, Слупецкий, Собоцинский, Штейнбарг, во Львове - Айдукевич и Домбская, в Вильнюсе - Чежовский. Время войны совпало со временем учебы Генрика Хижа, Яна Калицкого, Анджея Гжегорчика, Ежи Пельца, которых можно считать последними представителями Львовско-варшавской школы. Пельц вспоминает: "Вошел очень щуплый, вроде бы уставший, с проседью, но еще не совсем седой, пожилой господин. Быстро поздоровавшись, подошел к указанному ему хозяйкой креслу и присел на краешек. [...] Затем наклонился вперед, вытянул долгую, худую шею из просторного, как и у всех в то время, воротничка, прикрыл глаза и [...] начал говорить: "Сегодня я буду говорить о том, что значит "выражать непосредственно", "опосредованно", "высказывать", "высказывать мысль"". Так без излишних вступлений началась первая лекция Тадеуша Котарбинского в первом семестре наших тайных университетских занятий осенью 1942 г." .


Но не только смерть опустошила шеренги Львовско-варшавской школы. Во время войны или вскоре после нее Польшу оставили, Бохеньский, Вундхайлер, Йордан, Калицкий, Леевский Лукасевич, Мельберг, Познаньский, Собоциньский, Хиж, а Тарский оказался в Соединенных Штатах Америки еще перед войной. Судьбы оставивших Польшу философов различны, но все (кроме Вундхайлера) продолжили научную карьеру. Наиболее значительного положения достиг Тарский. Он стал профессором в Калифорнийском университете, создал большую, т.н. калифорнийскую школу теории моделей, которая оказала доминирующее влияние на развитие логики после второй мировой войны. Лукасевич получил кафедру логики в Королевской Академии наук в Дублине. Хиж является профессором лингвистики в университете Пенсильвании. Мельберг был профессором философии науки в Торонто, а затем возглавил кафедру в Чикагском университете (после Карнапа). Познаньский стал профессором в Еврейском университете Иерусалима, Сабоциньский - в католическом Notre Dame университета штата Индиана, а Бохеньский - в католическом университете швейцарского Фрайбурга. Калицкий работал преподавателем в Калифорнийском университете, а Леевский - в университете Манчестера. Вне университетского окружения остался только Йордан. Как правило, научная деятельность перечисленных философов после войны продолжалась в сферах тех интересов, которые сформировались еще в Польше и были связаны главным образом с логикой и ее историей.


После войны в Польше проходила бурная организация и реорганизация научной жизни, вызвавшая миграцию университетских преподавателей. Вследствие территориальных изменений два университета - во Львове и Вильнюсе оказались за границами страны. Но тут же возникли четыре новых: в Люблине, Лодзи , Торуне и Вроцлаве. Миграционные процессы коснулись также ученых из Львовско-варшавской школы. Чежовский и Яськовский оказались в Торуне, Айдукевич - в Познани (до 1954 г.), а позже - в Варшаве, Домбская - в Гданьске, приезжая на лекции в Варшаву, Кокошинская - во Вроцлаве, Слупецкий - в университете им. М. Кюри-Склодовской в Люблине, а с 1948 года - во Вроцлаве, Свежавский и Корцик начали работать в Католическом университете Люблина, Лушчевская-Романова - в Познани, Мельберг (до момента выезда из Польши) - во Вроцлаве. Котарбинские, Мостовский, Оссовские, Татаркевич и Витвицкий остались в Варшаве, Завирский - в Кракове. Какое-то время Котарбинский преподавал в Лодзи, но более занимался организацией университетской жизни, будучи ректором Лодзинского университета. В тяжелые послевоенные годы (1949 - 1956) некоторые философы Школы были лишены права преподавания (Оссовские, Татаркевич, Домбская), другим (Котарбинский, Айдукевич, Чежовский, Кокошинская) было позволено преподавать исключительно логику. Окончательная "географическая" стабилизация Школы наступила в 1957 г. Айдукевич, Котарбинские, Мостовский, Оссовские и Татаркевич были профессорами Варшавского университета, Домбская и Громская возглавили кафедры в Ягеллонском университете Кракова, Чежовский, Яськовский, Кокошинская, Корцик, Лушчевская-Романова, Слупецкий и Свежавский остались в тех научных центрах, в которых работали в конце сороковых годов. В середине 50-х годов во всех университетах, кроме Лодзинского и Люблинского, работали представители Львовско-варшавской школы.


После войны было возобновлено издание выходящих ранее изданий: в 1946 г. в Варшаве появился "Пшеглёнд Филозофичны", в Кракове - "Квартальник Филозофичны", в 1948 г. в Торуни - "Рух Филозофичны". В 1948 г. увидел свет третий очередной том "Studia Philosophica" (за 1939-1946 гг.), а в 1951 г. - четвертый том (за 1949-1950 гг.). После непродолжительного довольно мирного сосуществования различных философских направлений в конце 40-х годов дошло до открытой конфронтации представителей различных течений с марксистами, выступавшими в роли хозяев идеологии и цензоров. Их стремление унифицировать философскую среду привело к тому, что уже в 1949 г. перестает выходить "Пшеглёнд Филозофичны", в 1950 г. - "Рух Филозофичны" и "Квартальник Филозофичны".


После 1945 г. в общей сложности с университетами Польши были связаны и активно работали 19 человек, принадлежавших к Львовско-варшавской школе, а после 1948 г. - 16 человек. Несомненно, число это велико, но все же превалирует мнение, что Школа прекратила свое существование. Почему же нельзя считать послевоенный период еще одной стадией развития философской школы? Историк Школы Воленский пишет, что «уклончиво на этот вопрос можно дать простой ответ: это был период упадка». Однако он уходит от прямого ответа, пытаясь привести, главным образом, социологические объяснения. Но помимо социологических факторов были причины метафилософского характера, которые можно весьма грубо очертить следующим образом: Школа исчерпала потенциал философии, которую культивировала, несмотря на то, что существенной философской переориентации не произошло. Вернемся к социологическим объяснениям Я.Воленского , достаточно полно отразившим внешние причины «упадка» Львовско-варшавской школы. Вследствие смерти и эмиграции школа в 1939-1948 гг. утратила 34 философа, в том числе нескольких первого ранга; к этим последним принадлежат прежде всего Лесьневский, Лукасевич, Тарский, Витвицкий и Завирский. Таким образом, Варшава потеряла лидеров прежде всего среди логиков, из которых в Польше осталось только три человека - Яськовский, Мостовский и Слупецкий. Наибольшие потери пришлись на вторую и третью генерации школы, т.е. поколения, которые должны были составить будущее школы. Однако реальные потери были более значительны. После второй мировой войны многие не вернулись к философии, а филологи, педагоги, психологи, принадлежавшие к Школе, стали высказывать меньшую заинтересованность философией, чем ранее. Но и среди оставшихся произошли существенные изменения. Логики почувствовали себя более связанными с математикой, чем с философией. В этой связи историк Школы Воленский считает, что научная школа полностью потеряла один из своих столпов - математическую логику и это было следствием неизбежного процесса специализации. Специализация сказалась и на других областях философии. Попросту говоря, чувствовать себя историком философии, специалистом по эстетике, этике или эпистемологом стало более существенным, чем принадлежать к Львовско-варшавской школе. Воленский справедливо замечает, что «силой Львовско-варшавской школы было мощное окружение, склонное к самоидентификации со школой; оно служило противовесом, наметившейся уже в межвоенный период специализации. Между прочим это окружение не возродилось после войны и по причине упоминавшихся миграционных процессов, а также более значительной, чем ранее географической разбросанности; следовательно школа утратила основной фактор самоидентификации».


Почему не возродилась школа, конечно, уже не львовская и даже не варшавская, а просто польская философская мысль, формирующим началом которой стали бы принципы, заложенные Твардовским? Ведь остались старые мастера - Айдукевич, Чежовский, Котарбинский и Татаркевич - необычайно деятельные на педагогическом поприще. После войны они действительно воспитали не меньшее число учеников, нежели перед войной, но почти никто из них не причислял себя к наследникам Школы . Многие восприняли проблематику, язык и даже стиль мышления, культивировавшийся в Школе, но вместе с тем относились к ней как чему-то прошлому. Воленский считает, что «основным фактором было сознание необходимости иной концепции философии, философии, не избегающей выборов мировоззрения. Частично это было влияние марксизма, частично - влияние общей ситуации в мировой философии, которая после войны шла в направлении «ангажированной философии»». Но поскольку ученики профессоров из Львовско-варшавской школы занимались прежде всего конкретными проблемами, то пожалуй это скорее всего свидетельствует об обратном, о нежелании участвовать в разработке проблем, окрашенных каким-либо мировоззрением. Правда, были сторонники той или иной философской ориентации, чувствовавшие себя марксистами, феноменологами, экзистенциалистами, неопозитивистами или неотомистами. Значимость психологической компоненты, определяющей единение Львовско-варшавской школы, ее самоидентификацию, позволившую выработать иммунитет к различного рода идеологиям, заключалась в том, что в Школе были безразличны ко всему, кроме истины. В новых условиях такая позиция плохо согласовывалась с окружающей действительностью. Да и сама истина оказалась чем-то более сложным, нежели считал Твардовский; научная истина оказалась ограниченной интерпретациями в различных областях знания и потому частичной. Как кажется, открытие многозначных логик, разложивших истину, уже предвещало не столько трудности с их интерпретацией, сколько разделение последующих поколений на течения, специализации, направления, группировки и т.п.


АЛЬФРЕД ТАРСКИЙ. Краткая справка из БСЭ.


ТАРСКИЙ Альфред (1902—88) — польский логик, математик и методолог науки, один из виднейших представителей львовско-варшавской школы; с 1938 в США. Т. принадлежит ряд значительных результатов в теории моделей, определимости,понятий, в разработке проблем разрешимости, различных разделов математической логики и оснований математики. Т.— один из основоположников логической семантики. Значительное место в творчестве Т. занимают проблемы методологии дедуктивных наук, исследования познавательных возможностей и границ применимости формальных методов (аксиоматического метода, формализации и др.) в научном познании. В основополагающей для последующего развития логической семантики и металогике работе “Понятие истины в формализованных языках” (1936) Т. раскрыл специфику содержания и использования понятия истины в формализованных теориях, дал определение этого понятия для большой группы формализованных языков (Истина в формализованных языках). С философско-методологической т. зр: наиболее важный результат, полученный Т. в этой работе,— доказательство внутренней ограниченности выразительных возможностей формализованных теорий (невозможность строго формальными средствами передать все то познавательное содержание, к-рое выражается достаточно богатыми содержательными научными теориями, подвергшимися формализации). Наряду с теоремами Гёделя о неполноте достаточно богатых формальных систем результаты Т. стали важной вехой на пути осознания принципиальной невозможности полной формализации научного знания, способствовали углублению представлений о диалектике взаимосвязи содержательного и формального в познании. В 30-х гг. философские взгляды Т. были близки к неопозитивизму; впоследствии он выступил с критикой формализма и субъективизма в истолковании логики и математики. Осн. соч.: “Введение в логику и методологию дедуктивных наук” (1936, рус. пер. 1948), “Семантическая концепция истины и основания семантики” (1944), “Логика, семантика, метаматематика” (1956), “Истина и доказательство” (1972).

Выдающийся польский математик и логик Альфред Тарский (1901-1984) считал, что “вплоть до конца девятнадцатого столетия понятие доказательства имело главным образом психологический характер” . По существу, на аргументы, применяемые при доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, кроме интуитивной убедительности, хотя уже и начала ощущаться потребность в анализе самого понятия “доказательства”. Такой анализ был проделан логиками, так что, начиная с работ крупнейшего немецкого математика Готлоба Фреге (1848-1925), который первым в явной форме ввел в математическую логику кванторы и систематически использовал их, было определено новое понятие “формального доказательства”. Осуществив дедуктивное аксиоматическое построение математической логики, и применив ее в качестве метода обоснования арифметики, Фреге представил математику как продолжение логики. И, тем не менее, за исключением некоторых элементарных теорий, Альфред Тарский делает вывод “о несовпадении понятий истинности и доказуемости” относительно всех формализованных теорий, имеющий почти универсальный характер. “Тот факт, что философские следствия этого результата негативны по своему характеру, нисколько не уменьшает его значения”, – утверждает он . Даже в области математики понятие доказуемости, вообще говоря, не замещает понятия истинности. Однако именно доказательство по-прежнему остается единственным методом в любой математической теории, используемым для утверждения истинности ее предложений.


Из истории метаматематических исследований во Львовско-варшавской школе


Первой публикацией в области метаматематики является книжка К. Айдукевича "Из методологии дедуктивных наук". Правда, термин "метаматематика" в ней не используется и автор уже много позже, в 1960 г., все еще определяет ее как "первую польскую работу в области методологии дедуктивных наук, остающуюся под влиянием математической логики". Термин "метаматематика" вошел в обиход в школе, главным образом в ее варшавской части, основной состав которой составляли математики с философской родословной, обязанной "апостатам" философии - Лесьневскому и Лукасевичу. Однако следует заметить, что в польском восприятии этот род занятий определялся как методология дедуктивных наук. А.Тарский - ученик Лесьневского оказался главным действующей фигурой в проведении метаматематических исследований, которые должны были свободный стиль комментариев к логической системе преобразовать в точные методы изучения этих систем путем разделения уровней языка на язык-объект и метаязык. В проекте метаматематики Тарский учитывал идеи Гильберта, который провозглашал создание теории дедуктивных систем под названием "метаматематики". Свое видение метаматематики Тарский изложил следующим образом: "Дедуктивные дисциплины в том смысле составляют предмет методологии дедуктивных наук, которая сегодня вслед за Гильбертом называется метаматематикой, в каком пространственные объекты являются предметами геометрии, а звери - зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представлены в форме, пригодной для научных исследований. Например, непригодны те, которые не основаны на определенном логическом базисе, не имеют точных правил вывода и утверждения которых, как правило, сформулированы в многозначных и нечетких терминах естественного языка, одним словом те, которые не формализованы. В конечном счете метаматематические исследования ограничиваются дискуссиями о формализованных дедуктивных дисциплинах. Короче говоря, метаматематика не должна считаться единой теорией. С целью исследования каждой дедуктивной теории может быть построена специальная метадисциплина. Однако эта стадия имеет более общий характер: целью в ней является уточнение ряда важных метаматематических понятий, которые общи отдельным метадисциплинам, и определение основных свойств этих понятий. Одним из результатов этого исследования является то, что некоторые понятия, которые могут быть определены с помощью отдельных метадисциплин, здесь будут рассмотрены как первичные понятия и охарактеризованы последовательностью аксиом". В этом высказывании важным является стремление использовать точные методы в методологии, применение которых диктуется самим предметом - дедуктивными дисциплинами. В этом смысле намерения Тарского совпадали со стремлением Гильберта, однако в вопросе точности методов имеются и расхождения. Метаматематика развивалась Гильбертом в связи с доказательствами непротиворечивости, тогда как в варшавской школе метаматематические исследования не определялись достижением каких-либо конкретных целей, а состояли в уточнении главным образом семантических понятий. Кроме того, и это особенно важно подчеркнуть, Гильберт в метаматематических исследованиях допускал использование только финитных методов, составляющих ядро его программы формализма, тогда как "методология дедуктивных наук" понималась в Варшаве независимо от той или иной философии математики и была направлена на формализацию отдельных семантических понятий с единственной, пожалуй, целью - освободиться от парадоксов, антиномий и прочих химер, препятствующих введению точных методов в методологию вообще, и дедуктивных наук в частности.


Обращаясь к творчеству Тарского как одного из создателей матаматематики нельзя не подчеркнуть роль Лесьневского, установок которого в методе его ученик придерживался неукоснительно, что вовсе не означает приверженности Тарского, например, к концепции радикального номинализма, которую он перестал разделять именно в процессе развития методологии дедуктивных наук. Основным методом, оказавшимся достаточно универсальным, а тем самым пригодным для построения метаматематики было определение. Определения послужили инструментом Тарскому и при написании одной из его первых работ - "О первичном выражении логистики" (докторская диссертация), они же явились высшей и конечной целью его метаматематических исследований, как например, определение понятия истинного предложения. В диссертации еще невозможно найти разделение уровней языка, а комментарии к утверждениям заменяют собой по сути их доказательство, но шаг за пределы логической системы, названный позже методологическим, сделан. Во вступлении к докторским тезисам Тарский пишет: "Я не провожу свои рассуждения на основе какой-то определенной системы логистики" . Но не смотря на эту оговорку "логическую теорию типов" Лесьневского он считает безупречной возможно потому, что ее развитие происходит путем определений, ведь именно их Тарский выбирает в качестве средства решения поставленной задачи: "Можно ли построить логическую систему, принимая знак эквивалентности как единственное первичное выражение (очевидно, кроме квантификаторов)". Совершенно очевидно, что это вопрос метатеоретического исследования Прототетики Лесьневского, однако сформулированный уже безотносительно к самой системе, которая служит источником инспираций при введении прочих логических понятий, в том числе констант "истина" и "ложь", отсутствующих у Лесьневского. (Роль константы "истина" у Лесьневского косвенно представляли предложения Онтологии). Следует особенно подчеркнуть, что Тарский не прибегает к какому-либо отдельному знаку "по определению" для введения необходимых ему констант, но, как Лесьневский, использует эквивалентность. Основное утверждение его работы составляет предложение, определяющее конъюнкцию, тогда как все прочие логические знаки вводятся на основании этого знака и принятых дефиниций


Дальнейшее изложение посвящено изучению свойств истинностнозначных функций, аргументами которых являются предложения, в частности функций подстановки. В связи с этим вопросом Тарский замечает, что "Лесьневский сконструировал некоторый общий метод, который позволяет элиминировать из языка функции, не являющиеся истинностнозначными функциями", однако в примечании добавляет, что этот результат не опубликован.


Метаматематические результаты 20-х годов Тарский изложил в двух работах, составивших начальный этап этой новой дисциплины. Существенным достижением в этих исследованиях было формулирование теории присоединения следствий в аксиоматической форме.


Пусть X, Y, S, Cn(X), nx, cxy означают соответственно множества предложений X и Y, множество всех предложений S некоторого языка (X и Y суть подмножества множества S), множество логических следствий множества X, отрицание предложения x и импликацию с антецедентом x и консеквентом y. В этих обозначениях аксиомы логической теории присоединения следствий таковы: (1) S £Ào , (2) XÍ Cn(X), (3) Cn(Cn(X))=Cn(X), (4) Cn(X)=$YCn(Y), где Y является конечным подмножеством множества X, (5) $ xCn(x) = S, (6) если x и y принадлежат S, то nx и cxy также принадлежат S, (7) если cxy Î Cn(X), то y Î Cn(X)+{x}, (8) если y Î Cn(X)+{x}, то cxy Î Cn(X), (9) Cn{x,nx}=S, (10) Cn{x}× Cn{nx}=Cn0.


Первые пять аксиом - это т.н. общие аксиомы, составляющие первую группу, не учитывающие конкретное исчисление. Аксиома (1) утверждает, что множество S содержит не более, чем перечислимое число предложений, (2) - что каждое множество содержится в множестве своих следствий, (3) - что операция присоединения следствий идемпотентна, (4) - что операция Cn конечна, т.е. если что-либо удается вывести из множества X, то это же удается вывести из его конечного подмножества, (5) - что существует предложение, следствия которого составляют весь язык S. Аксиомы (6)-(10) относятся к дедуктивным системам, использующим двузначную логику. Аксиома (6) говорит о том, что Cn как раз выражает такую логику в импликативно-негативном представлении, (7) - это правило отделения, (8) - теорема дедукции, сформулированная, как информирует Тарский в 1921 г. в связи с дискуссией, вызванной книжкой Айдукевича,[2] в (9) утверждается, что следствие пары взаимно противоречивых предложений есть множество S и в (10) - что пересечение множества следствий предложения x и множества следствий предложения nx равняется множеству следствий, полученных из пустого множества. Из аксиом (1)-(5) следует, что если X Í Y, то Cn(X) Í Cn(Y) (монотонность операции присоединения следствий), а также Cn(X+Y) = Cn(Cn(X)+Cn(Y)). Множество логических следствий множества X интуитивно понимается как множество доказуемых предложений, выведенных из множества X при помощи принятых правил вывода. Далее Тарский приводит точные определения метаматематических понятий, используемых до тех пор интуитивно: понятия непротиворечивости, полноты, аксиоматизируемости, конечной аксиоматизируемости, независимости; все эти понятия определены для произвольного множества предложений.


Понятие дедуктивной системы является весьма важным понятием, позволяющим определить собственно логику как частный случай такой системы. Так множество предложений X будет дедуктивной системой тогда и только тогда, когда Cn(X)=X. Поскольку Тарским доказывается, что для каждого множества предложений X существует множество Y, содержащее X и такое, что Y=Cn(X), то легко заключить, что Cn(0) является наименьшей дедуктивной системой и представляет собой теоретико-множественное пересечение всех дедуктивных систем. Вполне естественным будет считать Cn(0) логикой.


Активное участие в исследовании дедуктивных систем принимал Линденбаум. Тарский приводит несколько важных результатов, касающихся таких систем. Так оказывается, что число всех дедуктивных систем составляет неперечислимое множество, а число всех аксиоматизируемых систем перечислимо. Вместе с тем ни одну систему не удается представить в виде конечной суммы отличных друг от друга систем, а каждое непротиворечивое множество предложений можно расширить до непротиворечивого и полного множества предложений. Правда, утверждение Линденбаума неэффективно, поскольку оно не предоставляет конкретного метода для получения конструкции расширения, а поэтому может служить примером использования таких методов в варшавской логической школе и их отличия от гильбертовской программы построения метаматематики.


Для Тарского свойство эффективности построения формул сохранялось implicite в начальном периоде построения матаматематики тем, что он разделял концепцию радикального номинализма Лесьневского. Но он замечает, что в аксиоме (6) предложения не удается трактовать как конкретные материальные объекты и приходится использовать не понятие инскрипции, например, "x", а понятие типа-инскрипции как класса записей эквиморфных "x". Тем самым в метаматематику был введен абстрактный предмет - тип выражения.


В работах [1935],[1936] Тарским предложена иная версия метаматематики в форме т.н. исчисления систем. В исчислении систем первичными терминами являются: множество предложений логики L, множество всех предложений S, отрицание n, импликация c. Аксиоматику исчисления систем составляют следующие утверждения: (1) 0 < S £Ào , (2) если x,yÎ S, то nx, cxyÎ S, (3) L Í S, (4) ccxyccyzcxz, ccnxxx, cxcnxy Î L (принадлежность стандартного исчисления L2 к L), (5) если x, cxy Î L, то yÎ L. Если X является множеством предложений, то Cn(X) может быть определено как наименьшее множество, содержащее множества L и X и замкнутое относительно правила (операции) отделения. Из аксиом исчисления систем (1)-(5) и определения отношения следования Тарский выводит аксиомы общей теории следования, а также принимает равенство L = Cn(0). При этом оказывается, что из аксиом общей теории следования и определения L = Cn(0) можно вывести аксиомы исчисления логических систем. Таким образом, обе версии метаматематики эквивалентны, но Тарский считает исчисление систем интуитивно более прозрачным. Тот факт, что логика определяется как множество следствий пустого множества посылок, т.е. общей части всех логических систем подтверждает интуитивные соображения, что логика инвариантна относительно "содержания". Вместе с тем такое определение логики служит также иллюстрацией высказанного выше тезиса о том, что в ней процесс (вывода) = результату, под которым следует понимать логическую форму без какого-либо номиналистического субстрата в духе радикального номинализма, например, Лесьневского. Как кажется, именно так и понимал логику Лукасевич, правда, несколько акцентируя логический процесс как необходимый. Тарский, сотрудничая с обоими основателями варшавской логической школы, более упор делал на результате, нежели на самом логическом процессе. Возможно поэтому им был поставлен вопрос: возможна ли алгебра систем? Оказалось, что этот результат получить можно, если определить сумму систем и их дополнение. Однако такая алгебра не изоморфна алгебре Буля, или же алгебре множеств, являющихся интерпретациями исчисления высказываний. Алгебра систем оказалась изоморфной алгебре Буля, которая служит моделью интуиционистского исчисления высказываний и, в частности, она не содержит закона исключенного среднего. Этот неожиданный результат можно представить следующим образом: отношение между алгеброй множеств и алгеброй систем подобно отношению между классическим и интуиционистским исчислением высказываний.