Г. П. Щедровицкий «Избранные труды» в 4-х тт
| Вид материала | Документы |
- И. И. Ш м альгаузен избранные труды организм как целое в и ндивидуальном и и сторическом, 7370.54kb.
- А. Н. Леонтьев Избранные психологические произведения, 6448.08kb.
- А. Н. Леонтьев Избранные психологические произведения, 6931kb.
- Д. Б. Эльконин Избранные психологические труды, 9094.25kb.
- Отечества избранные психологические труды в 70-ти томах, 4620.69kb.
- Эльконин Д. Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте, 217.77kb.
- В. В. Виноградов об основных типах фразеологических единиц в русском языке, 424.21kb.
- В. В. Виноградов вопрос об историческом словаре русского литературного языка XVIII-XX, 283.61kb.
- Избранные научные труды. М.: Наука, 1988, с. 722-734, 363.13kb.
- Становление: основные положения психологии личности, 1002.65kb.
III. АНАЛИЗ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СПОСОБА
§ 1. Задачи данного раздела исследования
Арифметические операции не могут быть непосредственно применены к конкретным условиям, описанным в тексте задачи. Поэтому вопрос о других необходимых средствах, входящих в способ решения, есть одновременно вопрос о плоскости того содержания, к которому могут быть отнесены операции сложения и вычитания. Разные средства могут задавать различные плоскости такого содержания.
В данном разделе исследования мы поставили задачу проанализировать в качестве возможных средств выделения содержания операций сложения и вычитания в связи с конкретными условиями следующие действия:
1) предметный счет в форме присчитывания и отсчитывания.
2) действие установления отношений «равенства — неравенства».
2') действие уравнивания.
3) действие установления отношения «целое — части».
Следующие два условия определяли общий характер работы по указанным трем линиям: а) в способ должны войти только необходимые элементы. Анализируя каждое из трех действий, мы выделяли в них те стороны, которые предположительно могли бы быть связаны с использованием арифметических действий. А это определялось полученными требованиями к способу, а также знанием о результатах предшествующих исследований в этой области; б) обучение должно было строиться таким образом, чтобы сложение и вычитание вводились в связи с данными действиями, а непросто следовали за ними во времени. Это определяло построение методик.
В данной части исследования мы должны получить следующий продукт:
1) при анализе указанных трех действий выявить, какие компоненты способа могут быть получены в каждом из них,
Конец страницы 356
Начало страницы 357
имея в виду функцию этих компонентов в способе и их структуру;
2) получить данные о дефектности способа, включающего каждое из этих действий в отдельности, что С дет основанием для формулирования новых, более конкретных требований к недостающим компонентам способа.
§ 2. Введение арифметического сложения и вычитания на основе присчитывания и отсчитывания по одному
Методика обучения. 1. Сначала дети решают задачу способом предметного присчитывания.
2. Затем вводится фиксация условий задачи с помощью числовых знаков
3. Дети учатся определять направление счета — считали ли они «вперед» (присчитывание) или «назад» (отсчитывание) — и в зависимости от этого выбирать арифметический знак «+» или «—». Этим совершенно искусственным приемом мы дополнили принятую методику обучения, для того чтобы арифметические действия и присчитывание (отсчитывание) были даны в обучении не «рядом», или во временной последовательности, а в связи друг с другом. Конечно, можно было бы задать другое содержание и форму такой связи Однако анализ экспериментальных материалов должен показать, зависят ли результаты обучения от того, что арифметические действия оказываются связанными с действием присчета или от содержания и формы этой связи, используемых в данном обучении.
В процессе обучения дети должны были перейти сначала к присчитыванию и отсчитыванию без предметов и фиксации решения в арифметической формуле, а затем к использованию арифметических действий вместо реально выполняемых присчета или отсчета.
Опыты мы проводили с детьми, которые умели решать задачи способом присчитывания и отсчитывания по одному ии не использовали в то же время арифметическое сложение и вычитание (всего 5 человек: Саша К., 5 лет, Сережа Ф., 5 лет 6 мес., Вова Б., 6 лет, Юра Г., 6 лет 6 мес., Лена К., 7 лет).
Результаты. После двух — четырех занятий дети начинают использовать присчитывание и отсчитывание без предметов. Они фиксируют, считали ли они «вперед» или «назад», и составляют арифметическую формулу. Приведем пример. '• Испытуемый Саша К. (5 лет).
Конец страницы 357
Начало страницы 358
Задача: «У сестры было 4 яблока, 2 она дала брату. Сколько яблок у нее осталось?»
Эксп. Поставить цифры: у сестры сколько?
Исп. Четыре (ставит цифру «4»). Экс. Потом что было?
Исп. 2 отдала она брату своему (ставит цифру «2»). Эксп. Сколько у сестры осталось яблок?
Исп. 4, одно отдала — осталось 3, еще одно — осталось 2 яблока.
Эксп. Как ты считал — вперед или назад?
Исп. Назад: 4, 3, 2...
Эксп. Значит, какой значок поставишь сюда?
Исп. Отнять (ставит между цифрами знак «—»).
Эксп. И запиши, сколько получилось.
Испытуемый ставит остальные знаки и получает формулу 4 — 2=2.
Старшие дети проделывают все эти операции сами, без побуждений со стороны экспериментатора.
Когда был достаточно усвоен и закреплен описанный способ, мы ввели (на шестом занятии) новое требование. Дети должны были, не выполняя присчитывания или отсчи-ттывания, сразу составить арифметическое выражение.
По особенностям действий в этих условиях испытуемых можно разделить на две группы. Старшие дети (7 лет и 6 лет 6 мес.) могли правильно выбрать знак «+» или «—» без осуществления реального присчета или отсчета (первая группа). Остальные правильно составляли формулу только после того, как они решали задачу, присчитывая или отсчитывая по одному (вторая группа).
Понять причины, лежащие в основе различных результатов, помогает анализ особенностей решения и записи косвенных зада' детьми этих двух групп.
Дети второй группы решают косвенные задачи так же, как и прямые,— присчитыванием и отсчитыванием — и после этого осуществляют правильное построение арифметической формулы. Дети первой группы, решая косвенные задачи, дают правильный ответ, а арифметическое выражение строят неправильно. Приведем примеры.
Задача: «Сидели птички; 2 улетели, 3 остались. Сколько птичек сидело сначала?» Лена К. (7 лет) отвечает: «Сидело 5 птичек» — а формулу составляет так: «5 — 2 = 3». Юра Г. (6 лет 6 мес.) в задаче: «Сидели птички. Прилетели еще 2 птички, и всего их стало 5. Сколько птичек было сначала?» —
Конец страницы 358
Начало страницы 359
дает правильный ответ: «Три». На вопрос экспериментатора, как ты узнал, отвечает: «Я посчитал — 1, 2, 3» — и составляет запись: «3 + 2 = 5»
Эти данные могут быть интерпретированы следующим образом. У старших детей в результате проведенного обучения образовались два способа решения арифметических задач: они решают задачу, используя присчитывание и отсчитывание по одному, и в то же время выбор арифметического знака они стали ориентировать не только направлением счета, но и другими, внешними по отношению к счету ммоментами — прежде всего повторяющимися элементами словесного текста условий, например, выражениями «дали», «отдали», «улетели», «прилетели» и т. д. Именно это и дало возможность старшим детям справиться с прямой задачей, когда они были поставлены перед требованием составить арифметическое выражение до выполнения присчета или отсчета. Этот же способ записи дети перенесли и на решение косвенных задач. Выполняя решение путем присчета и отсчета, они составляли формулу, ориентируясь по-прежнему на выражения словесного текста. В результуте запись оказывалась несоответствующей пути решения задачи. Это отличалось от того, как действовали младшие дети (первая группа), у которых функционировал только один способ; арифметическую запись и в прямых и в косвенных задачах они составляли только на основе (и после) присчитывания и отсчитывания по одному и поэтому переходили к формуле только после выполнения этих действий.
В течение десяти последующих занятий дети первой и второй групп решали описанными способами различные задачи. После таких многократных упражнений дети действовали следующим образом. Двое испытуемых (Саша К., 5 лет, и Сережа Ф., 5 лет 6 мес.), как и раньше, составить формулу могли только после выполнения присчета или отсчета. До реального их осуществления они не могли даже ответить на вопрос, «вперед» или «назад» они будут считать.
Один мальчик, который раньше входил в первую группу,— Вова Б. (6 лет) — начал составлять формулу, не осуществляя присчет или отсчет. Однако при этом он также не мог ответить, до осуществления счета, «вперед» или «назад» он будет считать. Решение косвенных задач обнаружило, что ребенок опирается при составлении арифметической формулы на фрагменты словесного текста (например, при выражении «мальчику дали» он ставит знак «+-», хотя в решении требуется операция вычитания).
Конец страницы 359
Начало страницы 360
Наконец, двое старших детей — Юра Н. (блет 6 мес.) и Лена К. (7 лет) — решают прямые и косвенные задачи, ориентируясь теперь только на фрагменты текста. Поэтому решение косвенных задач соответствует у них записи формулы и не отвечает условиям предложенных задач. Так, ту же задачу: «Сидели прички. Прилетели еще 2 — и стало 5. Сколько птичек сидело сначала?» — они сразу записывают так: 5 + 2 = и присчитывают после этого к пяти два по одному.
Результаты дополнительной серии обучения. В дополнительной серии мы обучали детей (четверо испытуемых, 5 лет 6 мес. — 6 лет 6 мес ) переходить к сложению и вычитанию чисел от присчета и отсчета по принятой методике, не вводя специальных моментов по связыванию этих двух действий Дети сначала решали задачу присчитыванием и отсчитыванием, а затем записывали решение в арифметической формуле. После 15 занятий один мальчик, решая новую задачу, не мог правильно выбрать знак «+» или «—» при составлении формулы даже после того, как он выполнил присчет или отсчет. Он так и не перешел, следовательно, к использованию арифметических действий. Остальные дети стали составлять формулу, но при этом они ориентировались на повторяемые в разных задачах словесные формулировки, что сразу же обнаружилось при решении косвенных задач.
Выводы. Арифметические операции должны быть включены в способ, который позволял бы осуществлять решение задачи вне предметного действия с единицами заданных совокупностей. Получим ли мы такой способ в том случае, если арифметические операции тем или иным образом связать с действиями присчета и отсчета? В данном параграфе мы описали, особенности эмпирического проявления такой связи при анализе ее экспериментальной модели
Были исследованы разные типы таких моделей:
1. Получение арифметических операций как результата многократного повторения и сокращения присчитывания и отсчитывания. В этом случае присчитывание и отсчитывание не входили бы непосредственно в способ решения задачи, а были бы генетическими «предшественниками» арифметических операций. Само это «предшествование» здесь может иметь разный смысл. Например, присчет и отсчет создают то содержание, к которому относятся затем арифметические операции, или структуры присчета и отсчета и т. д. Результаты экспериментального обучения детей дошкольно-
Конец страницы 360
Начало страницы 361
го возраста и анализ школьного обучения детей 1 класса показали, что арифметические операции не возникают как сокращения, преобразованная форма присчета — отсчета. 2. Включение присчета — отсчета в способ решения. Здесь анализировались два типа экспериментальных моделей способа:
а) присчет — отсчет и сложение — вычитание включались в способ как рядопсложные средства. Дети решали задачу, используя присчет и отсчет, а затем должны были записать условия и решение в арифметической формуле. При таком обучении дети не переходили к правильной записи формулы, а тем более не могли использовать ее при различных конкретных условиях задач;
б) вводилась определенная связь присчета — отсчета и сложения — вычитания, которая задавалась в обобщенной форме. При таком способе дети могли использовать арифметическую формулу, но только в одной функции: как средство фиксации реально выполненных присчета или отсчета Перейти к арифметической формуле, как обеспечивающей решение вне обращения к поединичному предметному действию, они не могли.
Можно думать, что способ, который создавался при описанном типе обучения, оказывался внутренне противоречивым: присчитывание и отсчитывание связаны с поединичным восстановлением совокупностей (по крайней мере второго слагаемого), а сложение и вычитание должны дать возможность не действовать с поединичной совокупностью. Но тогда содержание и структура присчета — отсчета, с одной стороны, и сложения — вычитания чисел, с другой, должны быть принципиально различны. Поэтому получить сложение — вычитание в данной функции из счета — отсчета (как преобразованную их форму — модель первого типа) или при связи их со счетом — отсчетом (модели типа 2а и 26) оказывается невозможным.
Следовательно, довольно распространенное представление о том, что сложение и вычитание являются особой формой выполнения предметного счета и что переход к сложению и вычитанию у детей осуществляется в процессе преобразования пересчета или присчитывания, не подтверждается результатами исследования.
Конец страницы 361
Начало страницы 362
§ 3. Действия по установлению отношения равенства — неравенства и уравнивание как возможные компоненты арифметического способа решения задач
Методика 1. Сравнение предметов по длине и ширине (через прикладывание их друг к другу). Введение понятий «равны», «не равны» и выбор соответствующего знака (« = » или « = »).
2. Обозначение результатов сравнения формулами А = В, A
В.3. Уравнивание неравных отрезков (используются бумажные полоски): А не равно В. Присоединим к В такой кусочек Б, чтобы эти полоски стали равны (составляется формула А = В + Б); от А уберем такой кусочек Б, и эти полоски стали равны (формула В = А — Б
Предполагалось затем ввести сюда числа. Однако оказалось, что в результате трех предшествующих этапов обучения не удается получить такого продукта, на основе которого можно было бы ввести числовую формулу. Поэтому способ, которым мы предполагали ввести здесь арифметическую формулу, описывать пока нет необходимости.
Опыты проводились с шестью детьми: Лиля Т. (4 г. З мес.), Марина К. (4 г. 5 мес.), Юра Г. (4 г. 7 мес.), Алла А. (4 г. 9 мес.), Наташа 3. (5 лет. З мес.), Таня Л. (5 лет 3 мес.).
Результаты 1. Сравнение предметов по длине, по росту и т. д. не затруднило ни одну из наших испытуемых. При введении знаков пытались сначала прикладывать таблички с буквами друг к другу. Но это легко было преодолено 2.
2. Уравнивание отрезков в предметном действии и словесное описание произведенного действия также не вызвали никаких затруднений у наших испытуемых. Они присоединяли к одному из отрезков «кусочек» или отрывали лишний «кусочек», чтобы получить равные отрезки. Однако обозначить выполненные действия формулой дети не могли, как и правильно выбирать знаки «+» и «—» при составлении формулы.
___________
1 Данная методика в основном аналогична методике введения отношения равенства и действия уравнивания, описанной В. В Давыдовым [5].
2 В специальном исследовании и экспериментах с детьми (3—4 лет) мы более подробно проанализировали структуру действия установления равенства — неравенства. Она оказывается довольно сложной включает ряд операций в определенной связи. В данной статье мы опускаем изложение этих результатов
Конец страницы 362
Начало страницы 363
Когда при уравнивании к отрезку А присоединяли кусочек Б, действие фиксировалось в формуле A + Б, или, если от отрезка А убирали кусочек Б, это обозначалось формулой А — Б. Дети усвоили эти обозначения и правильно их использовали.
4. Таким образом, у наших испытуемых были отработаны теперь оба элемента формулы: обозначение результата сравнения отрезков по длине (А = Б, А
Б) и обозначение операции увеличения или уменьшения отрезка (А + Б, А — Б). Дети выполняют практическое уравнивание и описывают словесно выполненное действие. Однако использовать формулу А = Б + В (А = В — Б), как описывающую данное действие, они по-прежнему не могут.Испытуемые действуют при этом следующими двумя способами:
а) вместо целостной формулы они используют только отдельные ее фрагменты, составляя следующие выражения: А = Б и реже: В + Б, В — Б;
б) при дальнейших занятиях они начинают составлять формулу А = ВБ, т. е. пропускают знаки « + » или «—».
Напомним, что практическое уравнивание и словесное описание этого действия доступны этим испытуемым.
Данные результаты приводят нас к двум гипотезам относительно их объяснения.
Гипотеза первая. Дети не могут фиксировать в формуле больше одного действия (или операции). Поэтому они при первом способе отображают в формуле либо только операцию установления равенства (составляя формулу А = Б), либо увеличение или уменьшение отрезков (В + Б, В — Б), а при втором способе, фиксируя отношение равенства, они не отображают в формуле операцию, посредством которой это отношение было получено.
Проверяя эту гипотезу, мы провели следующие две серии экспериментов.
В I серии мы предлагали детям обозначить в формуле два выполненных перед этим действия: к одному отрезку присоединяли другой, а затем третий или сначала присоединяли отрезок, а затем кусочек отрывали и т. п. Дети без особых затруднений перешли к обозначению этих действий в формулах А + Б + В, A-J-B — Б и т. д. Таким образом, построение формулы, описывающей последовательные действия, было доступно нашим испытуемым.
Во II серии дети фиксировали в отдельности каждую из
Конец страницы 363
Начало страницы 364
операций действия уравнивания, получая нужную формулу: сначала они обозначают операции увеличения или уменьшения отрезка В + Б или В — Б, затем сравнивают полученный отрезок с третьим и достраивают формулу В + Б = А. В то же время составить сразу формулу А = В -+- Б, как обозначающую действие уравнивания в целом, они не могут.
Эти результаты показывают, что дети могут строить формулу, если они фиксируют в ней ряд последовательных действий. Отсюда возникает промежуточная гипотеза. Может быть, причина описанных трудностей лежит в том, что дети не могут фиксировать и, значит, прежде всего теоретически учитывать одновременно два действия или две операции? Подобного рода интерпретации — на другом материале — мы часто встречаем у Пиаже, для которого симультанность действий — один из основных механизмов операторного уровня.
Однако правомерно поставить вопрос: в чем природа этого феномена — отсутствия симультанности до определенного уровня развития ребенка; как может быть содержательно охарактеризован и объяснен данный феномен? «Динамические» интерпретации — недостаточная подвижность и т. п.— вряд ли могут служить здесь объяснением.
Для выяснения этого вопроса была осуществлена III серия опытов. Теперь фрагмент формулы В + Б уже не был связан с операцией увеличения отрезков, а обозначал определенный объект. Экспериментотор говорил детям: «Эти отрезки вместе называются В + Б» В этом случае испытуемые использовали формулу А = В + Б. Но когда отрезок обозначался В — Б, то использовать формулу А = В — Б, как отображающую результат уравнивания, дети не могли.
На основании этих результатов мы сформулировали следующую, вторую гипотезу. Причина описанных затруднений при данной методике обучения в том, что дети не могут выполнять такое соотнесение объектов (ситуаций), при котором один из них должен выступить как продукт, как результат определенного действия. Поэтому в случае, когда В + Б обозначает не результат действия, а лишь объект сам по себе, дети могут составить формулу. Однако подобный способ действия не может использоваться с случае уравнивания путем уменьшения исходного отрезка.
Таким образом, согласно данной гипотезе, использование формулы А = В+Б (А — В — Б) требует выделения
Конец страницы 364
Начало страницы 365
такого отношения между совокупностями, при котором один объект рассматривается как равный другому, выступающему в виде продукта определенного действия (увеличения или уменьшения отрезка). Следовательно, выделение содержания формулы А = В + Б (А=В — Б) требует по крайней мере следующих операций и действий:
а) установления отношения равенства — неравенства двух отрезков;
б) увеличения и уменьшения отрезков в процессе практического уравнивания;
в) установления равенства одного объекта с другим, который рассматривается как продукт одной из двух операций (увеличения или уменьшения).
Применяемая нами методика обучения не обеспечивала формирование последнего действия. Дети овладели лишь операциями, которые указаны в пунктах а) и б) каждой в отдельности, и их знаковой фиксацией, но не могли рассматривать эти операции в связи друг с другом, в их взаимосвязи, так как это могло быть возможно лишь при наличии действия, описанного в пункте в).
Итак, мы получили следующие результаты:
1. Анализ действия по установлению отношения равенства и уравнивания позволил конкретизировать ту слишком общую характеристику содержания арифметической формулы, которая была дана в предыдущем разделе. Теперь мы уже можем говорить не просто о выделении отношения совокупностей, но об определенном отношении, которое и характеризуется операциями и действиями, описанными в пунктах.
2. Выяснено, какие части или стороны этого содержания могут быть выделены посредством действий установления равенства — неравенства и уравнивания (включая операции их знаковой фиксации).
3. Сформулировано требование к новому средству (см. п. в).
Поскольку средство выполнения этого действия, особенно в его отношении и связи со всеми другими операциями и действиями должно иметь сложную структуру, мы, как и в предыдущем шаге исследования, будем искать и анализировать это средство не методом искусственной трансформации и дополнения действий установления равенства и уравнивания, а обратимся к анализу другой, уже сложившейся системы средств. На этом пути может быть подтверждена или опровергнута и сформулированная нами гипотеза.
Конец страницы 365
Начало страницы 366
§ 4. Действие с отношением «целое — части» как возможный компонент арифметического способа решения задач
Методика обучения. 1. Отношение «целое — части» вводится на предметных моделях: например, дается полоска бумаги, обозначаемая как «целое», которая потом разрывается на две «части». Части соединяются — полученная из них полосочка называется «целое».
2. От целой полоски отрывается или отсоединяется часть. Это действие обозначается в выражении: «От целого отняли часть». Соединение частей обозначается так: «К части прибавили часть». Кроме того, формулируются предложения: «К части прибавить часть — получится целое», «От целого отнять часть — получится часть»1.
3. Вводятся знаковые обозначения целого и частей:
О — целое, D — часть, а также следующие формулы:
D + D («к части прибавить часть»)
О — D («от целого отнять часть»),
D + D = О («к части прибавить часть — получится целое»).
Занятие проводилось в следующей форме: испытуемый выполнял действие на предметах, экспериментатор составлял формулу, фиксирующую это действие, потом они менялись местами и т. д. Двое из испытуемых обучались в серии с переходом от присчета к арифметическому действию (Саша К., 5 лет 3 мес., Вова Б., 6 лет), и трое детей обучались в серии с отношением равенства (Алла А., 4 г. 9 мес., Таня Л., 5 лет 3 мес., Наташа 3., 5 лет 3 мес.).
Результаты. Дети не испытывали затруднений при усвоении отношения «целое — части» на предметных моделях. Они могли также потом ответить на вопросы: «К части прибавили часть, что получится?», «От целого отнять часть, что получится?» — и перейти к правильному словесному описанию выполненного на предметах действия, используя заданную форму словесного описания. Однако изображение
__________________
1 Такие как будто неправомерные с точки зрения обычного употребления терминов выражения («прибавить» вместо «присоединить», «отнять» вместо «отделить») использовались для детей данного возраста специально, чтобы сократить число шагов по замене словесных терминов припереходе к формуле, у более старших детей можно было использовать разные словесные обозначения при описании предметного действия («присоединить», «отделить») и знаковых операций («прибавить», «отнять» или «плюс», «минус»)
Конец страницы 366
Начало страницы 367
этого действия в знаковой формуле вызвало большие трудности у детей. Они ставили либо все значки подряд, либо, случайно выбирая отдельные значки, не могли правильно употреблять в соответсвующих ситуациях две разные формулы О – D = D и D +D = O.
Дальнейшие эксперименты и теоретический анализ показали, что эти трудности связаны прежде всего с особенностями усвоения детьми дошкольного возраста таких действий, в которых структуры предметных и знаковых операций не изоморфны.
Эта сторона обучения подробно анализируется нами в другой работе. Введение специальных педагогических условий, учитывающих эту характеристику данной структуры действия и особенности ее усвоения у детей, привело к тому, что все наши испытуемые стали правильно использовать все знаки формулы, кроме одного знака «=». Испытуемые, как правило, не включают этот знак в формулу
D + DO,
а, включив неправильно, прочитывают ее, обозначив знак равенства другим словом:
D + D = O
(«часть прибавить часть целое целое»), либо же совсем его не называют («часть прибавить часть целое»).
Все условия, направленные на преодоление трудностей, связанных с неизоморфизмом предметной и знаковой операций, не сняли указанных ошибок в использовании знака «=» в формуле.
Это заставило предположить, что данные трудности обусловлены не особенностями усвоения, а какими-то другими причинами.
Соотнесем теперь результаты введения формулы типа А + Б = В (В — Б = А) на основе действия по установлению равенства и уравнивания, с одной стороны, и действия с отношением «целое — части», с другой. В первом случае при составлении формулы дети включали в нее знак «=», но неправильно использовали (или совсем не использовали) знаки «+» и «—». Полученные данные позволили предположить, что дети не могли соотносить один объект с другим, который рассматривался бы как продукт, как результат определенного действия. При введении формулы на основе действия с отношением «целое — части» испытуемые правильно выбирали знаки «+» и «—».
При действии с отношением «целое — части» объекты
Конец страницы 367
Начало страницы 368
или объективная ситуация оказываются связанными по способу их введения с определенными операциями: ситуация «часть и часть» есть в то же время ситуация их соединения, ситуация «целое и часть» есть в то же время ситуация отделения части от целого.
Здесь поэтому не происходило такого отрыва объекта от операций, который имел место при действии с отношением равенства и при уравнивании. Это и создавало возможность правильно выбирать знак «-f-» или «—» и включать его в формулу.
Однако при введении формулы на основе действия с отношением «целое — части» нарушался другой фрагмент формулы. Испытуемые теперь не использовали знак «=». Трудности при использовании знака « = » и сравнение особенностей составления формулы на основе отношения равенства и отношения «целое = части» позволяют предположить, что в этом случае не выделяется операция сопоставления, что как раз имело место при действии с отношением равенства. Следовательно, и в этом случае мы не добились еще полноты того содержания и тех средств, которые необходимы для того, чтобы дети могли правильно составлять формулы типа А + Б = В, В — Б = А.