Обработка сигналов в радиотехнических системах

Вид материала

Задача

Содержание 2. Метод векторной аппроксимации K комплексных значений, то необходимо потребовать для каждой частоты f 3. Выбор начального набора полюсов 4. Пример идентификация частотной характеристики Многоскоростная обработка сигналов в задачах радиовидения Математическая модель траекторного сигнала. Постановка задачи Структура цифрового приемника траекторного сигнала

Подобный материал:

• Обработка сигналов в радиотехнических системах, 152.49kb.
• Обработка сигналов в радиотехнических системах, 126.5kb.
• Задачи: Формирование навыков моделирования сигналов, процессов и результатов их преобразования, 349.55kb.
• Обработка сигналов в радиотехнических системах, 172.65kb.
• Обработка сигналов в радиотехнических системах, 123.24kb.
• Рабочая программа по дисциплине Моделирование и эксперимент (гпо 2 ) Для специальностей, 155.7kb.
• Цифровая обработка сигналов, 25.15kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине б в дв. 01- цифровая обработка сигналов, 603.86kb.
• Программы магистерской подготовки 210400. 68. 04 Микроволновая техника и антенны Аннотация, 484.71kb.
• Обработка сигналов в системах телекоммуникаций, 250.22kb.

Применение метода векторной аппроксимации для идентификации системы по частотной характеристике


Шевгунов Т.Я., Баев А.Б., Кузнецов Ю.В.


Московский авиационный институт (государственный технический университет)


1. Введение

Задача параметрической идентификации системы заключается в составлении модели, как адекватного математического описания системы, и последующего определения параметров этой модели. Широкое распространение в задачах цифровой обработки сигналов получила модель представления исследуемых операций в виде некоторой эквивалентной линейной цепи. Рассмотрим модель линейной цепи, содержащую пропорциональное и дифференцирующее звенья. Системная функция такой линейной цепи задается следующим образом. , (1), где полюса s_n и и их вычеты C_n, представляют собой действительные числа или комплексно-сопряженные пары чисел, а D и E – действительные числа. Ставится задача оценить указанные выше параметры по значениям частотной характеристики, измеренным в некотором диапазоне частоте. При этом оценка параметров должна быть наилучшей по критерию минимума среднего квадрата ошибки.

Очевидно, что полюса s_n, входящие в знаменатель, определяют данную задачу в целом как нелинейную. Методы параметрической оценки полюсов, такие как метод Прони [1] и его более эффективные модификации, такие метод матричных пучков (Matrix Pencil Method) [2], позволяют оценить полюса по известному сигналу во временной области. Однако необходимые для метода матричных пучков вычисления включают в себя проведение процедуры сингулярного разложения матриц и решения уравнений высокого порядка. Эти процедуры требуют значительных вычислительных ресурсов, что может быть критичным в некоторых задачах, например, таких, как обработка в реальном времени или с использованием специализированных встроенных вычислителей.

2. Метод векторной аппроксимации

Метод векторной аппроксимации, предложенный в [3], позволяет выполнить оценку параметров модели частотной характеристики путём решения системы линейных уравнений.

Зададим вспомогательную рациональную функцию X(p), представимую в форме

, (2), где _n обозначает полюса некоторого опорного набора и A_n – соответственно вычеты. Также как и в (1) полюса и вычеты представляют собой действительные числа или комплексно-сопряженные пары. Определим произведение вспомогательной функции X(p) и искомой функции H(p) как рациональную функцию Y(p), содержащую тот же опорный набор полюсов, что был выбраны для X(p). Представив вычеты полюсов через B_n,, Y(p) можно представить , (3)

Если частотная характеристика задана совокупностью K комплексных значений, то необходимо потребовать для каждой частоты f_k выполнения условия: , (4)

где H_k – значение частотной характеристики, измеренное на частоте f_k. Полученная система из K линейных уравнений относительно неизвестных A_n, B_n и E в общем случае окажется переопределённой, так как число измеренных значений частотной характеристики существенно превышает порядок полюсной модели для ее аппроксимации. Однако следует отметить, что практически значения частотной характеристики измеряются с некоторой погрешностью, что превращает систему уравнений (4) в несовместную. Решение такой системы может быть найдено только в среднеквадратическом смысле. Для отыскания такого решения может быть применены алгоритмы, основанные на методе наименьших квадратов [4] или методах псевдоинверсии матриц [5].

Оцененные в результате среднеквадратического решения значения параметры позволяют представить функции X(p), Y(p) и H(p) (с учетом взаимной связи) через отношение произведений нулей и полюсов

, и . (5)

Из выражения для H(p) следует, что полюса системной функции совпадают с нулями вспомогательной функции X(p), а полюса, введенные во вспомогательных функциях, исключаются в результате деления. Для определения вычетов системной функции С_n можно использовать числитель H(p), совпадающий с числителем Y(p). Однако более точный результат для вычетов может дать решение системы уравнений, составленных для каждого измеренного значения частотной характеристики

, (6)

Данная система будет переопределенной системой линейных уравнений относительно неизвестных C_n и может быть решена в среднеквадратическом смысле одним из известных методов, подобно системе уравнений (4).

Следует отметить, что порядок полиномов числителя и знаменателя функции X(p) одинаков. Это является следствием свойства метода, заключающегося в том, что если опорные полюса _n были выбраны в точности соответствующими истинным полюсам s_n, вспомогательная функция X(p) окажется константой (X(p) = 1), а функция Y(p) совпадет с системной функцией.

Практическая реализация алгоритма векторной аппроксимации является итеративной. Полюса системной функции, определенные на текущем шаге, становятся опорными полюсами для следующего шага. Тогда при правильном выборе порядка полюсной модели через некоторое количество шагов будут определены полюса, являющиеся наилучшими для аппроксимации частотной характеристики в среднеквадратическом смысле. Признаком сходимости алгоритма является совпадение опорных и вновь получаемых полюсов, и, как следствие, постоянство функции X(p). Если при этом среднеквадратическая ошибка аппроксимации оказывается больше допустимой, то необходимо повысить порядок полюсной модели или перейти к другой модели представления системной функции.


3. Выбор начального набора полюсов

Важной практической проблемой рассматриваемого метода является выбор начального опорного набора полюсов. Так если для описания частотной характеристики с выраженными резонансными свойствами в качестве опорных полюсов выбрать чисто действительные, то матрица системы линейных уравнений будет плохо обусловленной. Другой причиной плохой обусловленности матрицы может оказаться различие на несколько порядков абсолютных величин истинных и опорных полюсов. Это приведет к тому, что динамический диапазон функции X(p) окажется большим, и для областей частот с малыми значениями X(p) может возникнуть неопределенность.

Эффективным с точки зрения сходимости алгоритма является использование априорных знаний об областях локализации полюсов. Так для частотных характеристик с ярко выраженными резонансными свойствами имеет смысл выбирать опорные полюса, соответствующие областям резонанса. Тогда метод сойдется за меньшее число итераций и позволит точно оценить положение полюсов и значения соответствующих им вычетов.

Если выделить области возможной локализации полюсов затруднительно, что возможно, например, при аппроксимации частотной характеристики без ярко выраженных пиков либо, напротив, характеристики с большим числом видимых резонансов, то можно воспользоваться методикой выбора полюсов опорного набора, предложенной в [3].

4. Пример идентификация частотной характеристики

Для демонстрации работы алгоритма была использована модель (1) системной функции с заранее известными параметрами, представленными в таблице 1

Таблица 1

Полюса	Вычеты
–3000	–4000
–37000	–78000
–80±4500j	–6±6500j
–180±17000j	–20±20000j
–3500±32500j	5500±40000j
–270±47000j	45±64000j
–1600±50000j	100±10000j
–600±69000j	60000±70000j
–1150±74000j	–1500±50000j
–1900±92000j	–7500±90000j
D = 0.3; E = 5·10-5

График АЧХ системы с заданными выше параметрами представлен на рис. 1 сплошной линией. На графике можно различить 6 резонансных пиков.



Рис.1. Амплитудно-частотная характеристика модели линейной цепи.

В качестве начального набора полюсов было выбрано 9 комплексно-сопряженных пар полюсов, резонансные частоты которых равномерно распределены в интервале от нуля до 17 кГц. Было проведено 25 итераций, на каждой из которых в качестве опорного набора полюсов использовался набор, получаемый на предыдущем шаге.

5. Заключение

Метод позволил оценить координаты для низкодобротных и высокодобротных полюсов из набора таблицы 1 с точностью не хуже 10^-7 и 10^-10 соответственно. Такая высокая точность объясняется использованием для оценки частотной характеристики, полностью описываемой выбранной моделью (1), а также исключением из рассмотрения погрешностей измерений.

Литература

1. С.Л. Марпл-мл., Цифровой спектральный анализ и его приложения, М.: Мир, 1990.
   
2. T.K. Sarkar, O. Pereira,Using the Matrix Pencil Method to Estimate the Parameters of a Sum of Complex Exponentials, IEEE Antennas and Prop. Magazine, Vol. 37, No. 1, Feb. 1995/
   
3. B. Gustavsen and A. Semlyen, “Rational approximation of frequency domain responses by vector fitting,” IEEE Trans. Power Del., vol. 14, no. 3, pp. 1052–1061, Jul. 1999.
   
4. Sarkar, T. K. and Rahman, J., Deconvolution and Total Least Squares in Finding the Impulse Response of an Electromagnetic System from Measured Data, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 43, No. 4, pp. 416-421, Apr. 1995.
   




Using vector fitting technique for system identification by frequency response

Shevgunov T., Baev A., Kuznetsov Yu.


Moscow Aviation Institute (State Technical University)


Parametrical identification approach consists in the system description by accurately mathematical model than the parameter estimation of the chosen model follows. The well-known model for digital signal processing problems is the representation of provided operation as some linear system operator. Let us consider the linear model which includes the proportional and derivative parts. The transfer function for such kind of the system can be expressed by , (1), where the poles p_n and their residues C_n, are real values or complex conjugative pars while D and E are real values. The MSE (Mean Square Error) approach is used as the criterion for solution of the fitting problem.

The estimation problem for above-mentioned parameters is generally the non-linear problem since the poles parameters determine the sum components denominators. The Prony’s method [1] and its further modification such as MPM (Matrix Pencil Method) [2] allow to estimate the desired items in the time domain. However matrix pencil method demands especial mathematical tools such as the singular value decomposition (SVD) for large size matrices and the solution search for high order equations. The computation efforts which these operation demands are high and theirs application may be weak place in real-time processing or embedded processor unit realization.

The vector fitting technique allows to provide model parameter estimation by the solving of linear problem. The one of the important practical problems for the offered techniques is the choice of the initial pole set. Since the realization of fitting procedure is supposed as iterative algorithm the pole set found during current iteration will be used as initial for the next step. The performance of fitting can be improved if the poles localization areas are a priory known. The case of hardly determined pole localization areas may occur while amplitude frequency response appears like smooth curve or it opposite has many resonance peaks overlapped each other. Hence the starting poles can be chosen complex conjugate parts with imaginary parts linearly distributed over the frequency range where frequency response has been measured or simulated. The real parts of the initial poles are evaluated to provide the Q-factor value of the each pole about 50.

The transfer function model which concludes a priori known 9 conjugate pairs and 2 real poles was used for the demonstration of fitting performance. The offered technique estimates coordinates for low-Q and high-Q poles with relative accuracy value of 10^-7 and 10^-10 correspondingly. Such high accuracy can be explained by using the frequency response received for the transfer function totally described by the chosen model. The measurement errors were also excluded from provided experiments.

Reference

1. С.Л. Марпл-мл., Цифровой спектральный анализ и его приложения, М.: Мир, 1990.
   
2. T.K. Sarkar, O. Pereira,Using the Matrix Pencil Method to Estimate the Parameters of a Sum of Complex Exponentials, IEEE Antennas and Prop. Magazine, Vol. 37, No. 1, Feb. 1995.
   



МНОГОСКОРОСТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В ЗАДАЧАХ РАДИОВИДЕНИЯ

Витязев В.В., Колодько Г.Н.


Рязанский государственный радиотехнический университет,

ФГУП «Государственный рязанский приборный завод»


Введение

Проблема формирования радиолокационного изображения (РЛИ) земной поверхности в реальном времени остается одной из актуальных при решении задач радиовидения, несмотря на появление большого количества публикаций в этой области, отражающих целый спектр новых методов и алгоритмов обработки траекторного сигнала с целью повышения качества изображения

Основная цель при формировании РЛИ – достижение максимальной разрешающей способности и качества изображения в условиях реальных ограничений, связанных с уходом параметров принимаемого траекторного сигнала (время синтезирования), неточностью измерения и колебательностью летных характеристик (скорость, ускорение, траектория полета), воздействием широкого спектра шумов и помех, как внешних, так и внутренних, на фоне маломощного принимаемого сигнала от удаленных радиоотражателей (энергетические ресурсы), отклонениями в формировании заданной диаграммы направленности антенны (ДНА) и характеристик приемо-передающего тракта (технические возможности) и т.п.

Решение проблемы формирования качественного РЛИ в условиях перечисленных выше ограничений возможно одним из двух подходов. Либо путем максимального снятия ограничивающих факторов при более качественном техническом исполнении всех элементов проектируемой системы радиовидения и более строгом выдерживании летных характеристик (к чему надо всегда стремиться, по мере возможности), либо путем использования более совершенных адаптивных алгоритмов цифровой обработки траекторного сигнала и самого изображения, что предъявляет особые требования к бортовому вычислительному комплексу (БВК), обеспечивающему высокую вычислительную производительность (до 10 и более миллиардов операций в секунду). Созданные за последние годы многопроцессорные модули цифровой обработки сигналов (ЦОС) на базе мощных сигнальных процессоров и ПЛИС позволяют достигнуть подобной вычислительной производительности. Таким образом, разработка новых алгоритмов адаптивной пространственной обработки траекторного сигнала не только сохраняет свою актуальность в теоретическом плане, но и становится реально исполнимой современными БРК. Вместе с тем, ограничения на фактически выделяемые вычислительные ресурсы всегда остаются: растут ресурсы, - открываются новые возможности для решения все более сложных задач в постоянно расширяющемся диапазоне частот и сокращении времени на обработку. Поэтому актуальной остается и проблема минимизации требуемых вычислительных ресурсов, что в первую очередь относится к формированию и обработке РЛИ в реальном времени.

Известно [1,2], что одним из наиболее эффективных способов минимизации вычислительных затрат при решении широкого круга задач ЦОС является многоскоростная обработка сигналов, использующая понижение и повышение частоты дискретизации. Идея последовательного понижения частоты дискретизации траекторного сигнала при переходе от внутрипериодной к межпериодной обработке и самого РЛИ при его последующем формировании и отображении на индикаторе естественно не обошла вниманием и специалистов в области радиовидения [3, 4]. Разработке и исследованию эффективных способов и алгоритмов формирования РЛИ земной поверхности в различных режимах работы бортового радиолокационного комплекса (БРЛК) на основе методов многоскоростной обработки траекторного сигнала посвящен настоящий доклад.

Математическая модель траекторного сигнала. Постановка задачи

Простой и в достаточной степени адекватный способ математического описания радиоизображения основывается на предположении, что РЛИ формируется как совокупность точечных объектов определенной яркости. Каждому -му точечному объекту ставится в соответствие принимаемый сигнал вида [3,4]:

, (1), где: , - случайные амплитуда и начальная фаза сигнала; - длина волны; - нормированная функция, характеризующая модуляцию сигнала ДНА; - текущее расстояние от носителя БРЛК до объекта.

При этом решающую роль в азимутальном разделении объектов методом доплеровской фильтрации начинает играть квадратичная составляющая изменения текущего расстояния до каждого -го точечного объекта: , (2), где - наклонная дальность до - го объекта в начальный момент времени, - азимут - го объекта в плоскости ДНА, содержащей наклонную дальность, - скорость полета БРЛК. Предполагается, что траектория полета носителя прямолинейна.

Подставив (2) в аргумент функции (1) и отбрасывая все составляющие выше кубической, получим, что фаза траекторного сигнала изменяется по закону: , (3), где - начальная фаза.

При этом доплеровская частота принимает вид: .(4)

Первый член выражения (4) определяет среднюю доплеровскую частоту, второй – постоянный линейный уход ( ЛЧМ-модуляцию ), третий - квадратичную составляющую частотной модуляции принимаемого сигнала.

В режиме ФСА, при полной компенсации линейной и квадратичной составляющих изменения фазы траекторного сигнала, теоретический предел интервала синтезирования РЛИ ограничивается временем , в течение которого фазовый набег (3), обусловленный только кубической составляющей, на краях апертуры не превысит π /4 [3]. Можно показать, что эта величина достигает значение .

В режиме ДОЛ, выполняющем быстрый передний или передне-боковой обзор на относительно коротких интервалах синтезирования РЛИ, компенсируется только линейная составляющая (3). При этом допустимое время синтезирования в значительной степени ограничивает разрешающую способность по частоте и, как следствие, по азимутальной координате.

Полный траекторный сигнал – это суперпозиция сигналов всех элементов отражателей, расположенных в зоне обзора ДНА, и шума , включающего все внутренние и внешние источники: .

Если принять, что - комплексный гауссовский шум, действительная и мнимая составляющие которого распределены по нормальному закону, имеют нулевое математическое ожидание и равномерную спектральную плотность мощности, то оптимальный приемник сигнала от -го точечного объекта ( задержанного относительно начала приема на ) на интервале синтезирования принимает форму:

, (5), где - опорная функция, осуществляющая компенсацию доплеровской частоты и фокусирование изображения в направлении ( компенсацию ЛЧМ-составляющей ); - задержка принимаемого сигнала относительно момента излучения зондирующих импульсов, определяемая расстоянием до -го объекта.

В режиме ФСА, с учетом принятых ограничений, опорная функция для -го точечного объекта может быть представлена в виде: , (6), где - весовая функция.

При реализации корреляционного приемника (5) в цифровой форме частоту дискретизации сигнала , фактически определяющую минимальную частоту повторения зондирующих импульсов, следует выбирать исходя из ширины его спектра, которая зависит от ширины раскрыва ДНА и, соответственно, диапазона изменения доплеровских частот (4). Без учета внутриимпульсной модуляции зондирующего сигнала, это относительно неширокий диапазон. Однако, высокое разрешение по дальности достигается значительным «обужением» по времени зондирующего сигнала, представляющего собой последовательность коротких импульсов с внутриимпульсной модуляцией. Прием и первичная цифровая обработка таких последовательностей импульсов обычно ведется на частоте дискретизации до 30 МГц и более, с использованием высокоскоростных алгоритмов, реализуемых на ПЛИС. Поэтому вычислительные затраты и требуемая память данных и коэффициентов, приходящиеся на сигнальный процессор в составе БРЛК, определяются только межпериодной обработкой по алгоритму (5) для каждого -го азимутального направления по всем стробам дальности.

Полное двумерное РЛИ в координатах «дальность-азимут» рассматривается как матрица точечных объектов размерности , где - число элементов дальности, а - число азимутальных элементов. При этом каждый -й, = , = , точечный объект несет в себе усредненную информацию о яркости соответствующего -го элемента разрешения в координатах «дальность-азимут». Формирование РЛИ размерности в цифровой форме непосредственно по алгоритму (5), как корреляционных приемников ( что с точки зрения эффективности реализации на сигнальных процессорах является не лучшим решением ), предполагает использование опорных функций и умножителей-накопителей за период повторения зондирующих импульсов. Как показывают расчеты [5], это потребует вычислительной производительности БВК в режиме ДОЛ до нескольких миллиардов операций в секунду, а в режиме ФСА – память весовых коэффициентов (опорных функций) может достигать 512 миллиардов слов.

Проблема уменьшения вычислительных затрат и требуемых ресурсов процессора может быть решена одним из двух способов: уменьшением частоты повторения зондирующих импульсов или разработкой более эффективных в вычислительном отношении алгоритмов обработки траекторного сигнала. В докладе рассматриваются возможные способы и алгоритмы формирования РЛИ на основе многоскоростной обработки сигналов, отличающиеся пониженными требованиями к вычислительной производительности БВК.


Структура цифрового приемника траекторного сигнала

Как в режиме ДОЛ, так и в режиме ФСА прием траекторного сигнала предлагается вести с использованием многоскоростной адаптивной обработки по структуре, представленной на рис. 1.

Здесь: ЦФД – цифровой фильтр-дециматор, понижающий частоту дискретизации в ν раз, в соответствии с априорными или апостериорными данными о ширине полосы частот траекторного сигнала; ЛЧДМ_i – набор из m демодуляторов ЛЧМ-сигнала; ДПФ – дискретное преобразование Фурье.

В зависимости от азимутального положения центра выбранного фрагмента РЛИ и его размеров, вектор параметров определяет настройку полосы пропускания ЦФД на выделяемую полосу частот траекторного сигнала. Поскольку полоса частот последнего сужается от 400 Гц до 80 Гц для сектора шириной 2°, при изменении направления ДНА от 60° до 10° [5], а полоса фактически выделяемых частот уменьшается пропорционально уменьшению азимутального размера фрагмента РЛИ, то коэффициент децимации ЦФД может меняться в широких пределах.


Рис. 1. Структура цифрового приемника


Например, для фрагмента 256х256 пикселов с линейным разрешением 5 м ширина полосы частот приблизительно в 3 раза меньше ширины полосы частот всего траекторного сигнала, а значит -коэффициент децимации лежит в пределах от 3 до 12, уменьшая в соответствующее число раз размерность обрабатываемых далее отсчетов предварительно преобразованного траекторного сигнала, а, следовательно, и память коэффициентов. Отметим также, что уменьшение размерности массивов обрабатываемых данных и скорости их ввода – это эффективный способ уменьшения общих вычислительных затрат и собственного шума.

Последующая корреляционная обработка выделенного фрагмента траекторного сигнала предполагает для каждого элемента дальности использование в общем случае = 256 демодуляторов ЛЧМ-сигналов и 256 опорных функций. Вместе с тем, как показал проведенный анализ влияния рассогласования параметров опорных функций и траекторного сигнала, число различных опорных функций в данном конкретном примере может быть уменьшено до = 4. В этом случае достаточно выполнить линейную частотную демодуляцию (ЛЧДМ) с использованием только 4-х опорных функций, а последующее разделение каждой составляющей по 64 частотным каналам произвести с помощью ДПФ размерностью , которая определяется длительностью интервала синтезирования и частотой дискретизации сигнала на выходе фильтра-дециматора.

В режиме ДОЛ предварительно отфильтрованный сигнал с выхода ЦФД подается непосредственно на набор из m процессоров ДПФ. Заметим, что в этом режиме при переднем обзоре ширина полосы частот траекторного сигнала сужается до нескольких десятков герц, и коэффициент децимации ν лежит в диапазоне от 1 до 16, а в случае широкополосного панорамного обзора – в диапазоне от 8 до 133 [5]. Кроме того, в последнем режиме структура цифрового приемника траекторного сигнала модифицируется таким образом, чтобы обеспечить возможность последовательно-параллельной реализации набора полосовых фильтров-демодуляторов, каждый из которых выделяет соответствующую полосу частот траекторного сигнала и понижает частоту дискретизации пропорционально обужению полосы частот сигнала на его выходе.

Заключение

Введение предварительной фильтрации с последующим понижением частоты дискретизации позволяет:

1. Уменьшить общий объем вычислительных затрат, так как основная обработка траекторного сигнала, связанная с формированием РЛИ, проводится на пониженной частоте дискретизации.
   
2. Многократно уменьшить требуемую память весовых коэффициентов, что особенно важно для режима ФСА.
   
3. Повысить соотношение сигнал/шум на входе синтезатора РЛИ и понизить уровень собственных шумов, обусловленных усечением и округлением данных и коэффициентов в процессе последующей обработки.
   
4. Адаптироваться по центральной частоте и ширине полосы частот траекторного сигнала при их уходе вследствие перестройки параметров ДНА, ее пространственной ориентации и изменения параметров движения носителя БРЛК.
   

Вместе с тем, введение каждого нового элемента в общую структуру приемника – это свои проблемы, связанные как с анализом их влияния на конечный результат обработки – формирование РЛИ заданного качества, так и с дополнительными затратами на реализацию, поиском оптимальных соотношений с позиции минимизации общих вычислительных и аппаратных затрат.

Литература

1. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993, 240 с.

2. Витязев В.В., Зайцев А.А. Основы многоскоростной обработки сигналов: Учебное пособие, ч.1. РГРТА, Рязань, 2005, 124 с.
   
3. Радиолокационные станции с цифровым синтезированием апертуры антенны\ В.Н. Антипов, В.Т. Горяинов, А.Н. Кулин и др.; Под ред. В.Т. Горяинова. – М.: Радио и связь, 1988 – 304 с.
   
4. Кондратенков Г.С., Фролов А.Ю. Радиовидение. Радиолокационные системы дистанционного зондирования Земли. Учебное пособие \ Под ре. Г.С. Кондратенкова. – М.: Радиотехника, 2005. – 368 с.
   
5. Витязев В.В., Колодько Г.Н., Витязев С.В. Способы и алгоритмы формирования радиолокационного изображения в режиме доплеровского обужения луча \\ Цифровая обработка сигналов, 2006, № 3, с. 31-41.
   

