Ременной радиотехнике под фильтрацией сигналов на фоне помех понимают любое выделение параметров случайных процессов, отражающих полезную информацию (сообщение)

В частности, дл§ фильтров Баттерворта и Чебышева нижних частот числитель равен ао, для ФВ.Ч ~{f&\адля Ш>*$(р,

Каскадная реализация фильтра четного порядка « содержит п/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (33). Для фильтра нечетного г«8Э*д|<а«(в*1а ев второго порядка и одно звено первого гюрядка с передаточной функцией типа (32).

Таким образом, основная задача проектирования состоит в реализации передаточной функции второго порядка (33). При этом дополнительно необходимо обеспечить большое входное и малое выходное сопротивление каскада/ чтобы избежать применения до­полнительных развязывающих каскадов.

Удобным описанием передаточной функции второго порядка является система обобщенных параметров: добротность погорса (нуля)

Выражение для передаточной функции в форме (37) является основным при расчете фильтров второго порядка.

Рассмотрим общие принципы реализации передаточной функ­ции вида (37) с помощью ОУ, охваченного обратной связью. Пас­сивная часть схемы представляет собой многополюсник состоящий из резистивных и емкостных элементов (рис. 4).



Рис. 4. Фильтр на базе ОУ с обратной связью

Чтобы получать выражение для передаточной функция, соста­вим уравнения, описывающие пассивную часть схемы, используя метод узловых напряжений и матрицу узловых проводимостей:



Полагая, что в идеальном ОУ входная Цепь не потребляем тока (т. е. 1₂ = 0), и учитывая, что U= - tyKo, из второго уравнения (38) получаем



Из этого выражения следует, «ms при большом коэффициенте усиления ОУ передаточная функция активного фильтра определя­ется только параметрами/ГС-цепи:



Одной из наиболее простых схем, реализующих изложенный выше принцип построения активных фильтров, является схема с многопетлевой обратной связью (рис. 5).

Рис. 5. Активный фильтр о многопетлевой обратной связью

Составив уравнения по методу узловых напряжений и предпо­ложив, что входной ток ОУ равен нулю, а выходное напряжение

U₃ = -K₀U₂,

после несложных преобразований приходим к следующему выра­жению для передаточной функции этой схемы:

Реализация нужной передаточной функции звена второго по­рядка сводится, таким образом, к подбору проводимостей элемен­тов, которые могут быть либо резисторами с проводимостью 1/R, либо конденсаторами с проводимостью, равной рС. В частности, из (42) следует, что для реализации ФНЧ необходимо, чтобы проводи­мости Yj, Y₃ и Y₄ были резистивными, a Y₂, Y₅ - емкостными.

Другие способы реализации звена второго порядка отличаются структурой ЛС-цепи и включением ОУ. Так широко применяются схемы с однопетлевой обратной связью и неинеертирующим вклю­чением ОУ (фильтры на источнике напряжения, управляемом на­пряжением ИНУН), схемы, использующие несколько ОУ (биквадрат­ные фильтры, фильтры на трех конденсаторах и др). Со способами реализации этих: фильтров можно ознакомиться в монографиях и справочниках [5, 6, 9]. Отметим, что, как правило, передаточные функции второго порядка при мальм в средних значениях добротно­сти (менее 20) реализуются с помощью относительно простых схем. При высоких значениях добротности (свыше 20) требуются более сложные схемы [11].

7. Порядок расчета активных КС-фильтров

Активные ЛС-фильтры нижних частот рассчитываются в сле­
дующем порядке. '
^г 1. Определяют нормированное значение частоты гарантирован­
ного затухания (или переходной полосы). По заданным величинам
гарантированного затухания и неравномерности АЧХ в полосепро­
пускания с использованием свойств АЧХ фильтра соответствующе­
го типа находят минимальный порядок фильтра.

2. Передаточную функцию фильтра и-го порядка представляют в
виде произведения функций звеньев второю порядка, общий вид ко­
торых определяется выражениями (33) й (37). При этом для фильт­
ров Баттерворта и Чебышёва передаточную функцию звена второго
порядка приводят к виду: <■ ■


а для инверсных Чвбышева и эллиптических фильтров эта функция принимает вид:







Для фильтров нечетных порядков к передгНгочйоЙ функции до-бйвляют" сомножитель, соответствующийфункции звена первого порядка, Который для всех типов фильтров задают в виде



Заметим, что выражения (43) и (44) являются частным случаем выражения (37), а (45) мастным случаем (32). Во ведх случаях; К представляет собой коэффициент усиления звена на нулевой час­тоте, а коэффициенты А, Д С м D* коэффициенты полиномов пе­редаточной функции соответствующих нормированных фильтров (с частотой среза, равной 1), определяемые из (32) и (37) на основе соотношений: > >i



Рассчитанные для различных типов и различных порядков
фивьтров эти коэффициенты наиболее полно представлены в спра­
вочник [8]. г''пг .«« ■,;... ■-.-';.

А. Выбирают схемы, реализующие передаточные функции ти­повых звеньев второго и первого порядков, и рассчитывают пара­метры этих схем. В частности, для схемы* изображенной на рис. 5, параметры проводимостей определяют на основании сопоставле­ния выражений (42) и (43) или (44), ■

Методика расчета параметровраэличных схем типовых звеньев
второго и первого порядка

Р

'сеч





Поскольку передаточную функцию ФВЧ с частотой среза co_t можно получить из передаточной функции нормированного ФНЧ (с частотой среза, равной 1 рад/с) путем замены переменной р на а>свч/р, то из (42), (43) и (44) следует, что функция ФВЧ Баттерворта и Чебышева второго порядка описывается выражением

В уравнениях (45), (47) и (48) К является коэффициентом уси­ленияПена, а параметры А, В, С и D - коэффициенты соответст­вующих передаточных функций нормированных ФНЧ, рассчитывае­мые по выражениям (46).

8. Алгоритм расчета комплексной частотной характеристики лестничной цепи

Под лестничной цепью понимают пассивный линейный,четы­рехполюсник, образованный путем каскадного соединения обратных Г-образных звеньев (рис. 6). Пассивные фильтры чаще всего стро­ятся на основе именно таких структур.

При расчете КЧХ продольные ветви такой цепи удобно обозна­чать как сопротивления с нечетными индексами, а поперечные - как проводимости с четными индексами. Внутреннее сопротивление ис­точника включается в состав сопротивления Z_h а приводимость на­грузки - в состав проводимости У_2л ■





Уравнение (50) всегда разрешимо:










Рис. 6. Лестничная цепь

Составляя уравнения Кирхгофа последовательно для первого контура и первого узла_г затем для второго контура и второго узла и т. д., получаем систему из 2п уравнений и с 2п неизвестными (токи и напряжения).

где [ГО} - [I,, U₂, h, U₄, ., /*./, l/f -*ектор-столбец

электрических переменных схемы (токов и напряжений);

IE] - вектсг-столбец источников;

[ZY] - матрица параметров схемы, имеющая следующий вид:

Можно избежать трудоемкого вычисления обратной матрицы [ZY] ^A, если воспользоваться некоторыми свойствами трехдиатональных матриц, к которым относится матрица параметров [ZY].

Решение системы линейных уравнений методом Крамера дает:



где J - определитель матрицы параметров; ■

А&,- + определитель матрицы,-полученной из-IZY] путем замены
последнего столбца навектор-столбец [Е]. ^{>e {}




Раскладывая определитель J_2n по эле«ента1я последнего
столбца и учитывая, что остающийся при этом определитель тре­
угольный, получаем: ?




Откуда с учетом (52) и (53) получаем, что КЧХ по напряжению и ее модуль определяются выражениями:

Таким образом, задача построения АЧХ сводится к расчету оп­ределителя матрицы, выполняемому по рекуррентной схеме:








Далее, пользуясь методом математической индукции, приходим к следующему рекуррентному соотношению: