Аксиоматика
| Вид материала | Реферат |
- «Аксиоматика и аксиоматический метод», 58.71kb.
- Университета 1982, 6563.26kb.
- ссылка скрыта, 384.01kb.
- Лекция Аксиоматика теории вероятностей, 132.54kb.
- Программа дисциплины Математическая логика Семестр, 13.41kb.
Муниципальное Общеобразовательное Учреждение Аргаяшская Средняя Общеобразовательная Школа № 1.
Реферат
на тему: Аксиоматика
Выполнила: Мухаметова Эля.
Проверила: Ческидова М.Г.
Аргаяш 2008год.
1
Содержание
1 Введение
2 Геометрия Евклида
3 Другие геометрии
4 Геометрия Лобачевского
5 Аксиоматика учебника «Геометрия 7-11» Атанасян Левон Сергеевич
6 Задачи
7 Заключение
8 Используемая литература
2
Введение
«Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавший ей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека»- писал древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры.
Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность.
В своей работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. В геометрии не обойтись без начальных понятий, поэтому в своей работе я хочу рассмотреть аксиоматический метод.
Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.
3
Геометрия Евклида
Математическая вселенная Евклида
Как же выглядит в трактате Евклида математическая вселенная, составленная из фигур и чисел" С фигурами работать проще: каждый видел их на чертежах и может вообразить мысленно. Поэтому Евклид не дает строгих определений основных объектов геометрии: точки, линии, прямой, поверхности, плоскости. Вместо этого даны словесные описания важнейших свойств этих фигур. Например:
"Точка есть то, что не имеет частей";
"Линия - это длина без ширины";
"Окружность - это кривая, которая около каждой точки устроена одинаково".
Самые общие свойства фигур, которые многократно используются в рассуждениях и не выводятся из более глубоких фактов - эти свойства Евклид назвал аксиомами. Например: "Все прямые углы равны между собой", или "Целое больше части".
Кроме аксиом, Евклид ввел ПОСТУЛАТЫ: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций. Например: "Через две точки проходит лишь одна прямая", или "Через точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую". Это последнее утверждение называют пятым постулатом Евклида.
Конечно, представить всю геометрию в виде идеального здания из определений, аксиом, постулатов и теорем Евклид не сумел. Ведь каждое необходимое утверждение кому-то покажется скучной мелочью, а каждое интересное утверждение у кого-нибудь вызовет возражение. И это хорошо: в науке важнее всего те утверждения, которые сами интересны и не очевидны, и их отрицания обладают тем же свойством. Таков оказался пятый постулат Евклида о параллельных прямых на плоскости.
Он имеет два возможных отрицания:
Во-первых, можно предположить, что через точку вне прямой не проходит НИ ОДНА прямая, не пересекающая данную прямую; то есть, что параллельных прямых на плоскости вовсе нет!
Во-вторых, можно предположить, что таких прямых через одну точку проходит НЕСКОЛЬКО; может быть, их бесконечно много.
Евклид не рассматривал такие возможности. Он старался, сжато и полно описать единственно возможный ("плоский") геометрический мир. Только в 19 веке другие математики - Гаусс и Лобачевский, Больяи и Риман - задумались о возможном существовании многих разных геометрических миров. Тогда выяснилось, что новые миры отличаются от старого евклидова
4
мира всего одной - двумя аксиомами. Достаточно заменить пятый постулат Евклида одним из его возможных отрицаний - и мы попадаем в иной мир, носящий имя Лобачевского или Римана.
Но Евклида больше беспокоило другое. Какие факты геометрии нужно включить в создаваемую энциклопедию, а какими придется пренебречь, поскольку они не совсем ясны. Например, в "Началах" используются всего две разные линии - прямая и окружность. Но в эпоху Евклида уже были известны эллипс, парабола и гипербола. Сам Евклид изучал эти кривые, даже написал о них особую книгу (которая не сохранилась - но послужила основой для сходной книги Аполлония). Почему он ни словом не упомянул о новых кривых в "Началах""
Видимо, потому, что Евклид и его современники не знали об этих линиях всего, что им хотелось знать. Например, как вычислить площадь, ограниченную эллипсом или параболой" Как провести касательную к эллипсу или гиперболе в данной точке" Это сумел сделать только Архимед - через полвека после Евклида. Автор "Начал" этого не умел - и предпочел умолчать о сложных кривых, чтобы не смущать умы новичков-геометров необоснованными рассуждениями. Видимо, Евклид был прав; так же поступают авторы современных учебников или той энциклопедии, которую вы читаете.
Иначе получилось с арифметикой: здесь Евклид сам был первопроходцем. Но беда в том, что у эллинов не было удачной системы обозначений даже для натуральных чисел. Вместо цифр греки пользовались буквами; позиционной системы для записи больших чисел они не знали. Поэтому даже обычная (для нас) таблица умножения имела в Элладе вид довольно толстого свитка. А работать с числами, когда они изображены буквами, очень не просто! Этим занимается особая наука - алгебра; современники Евклида о ней не подозревали.
В арифметике Евклид сделал три значительных открытия.
Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком.
Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы).
Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно. Но правда ли, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел единственным способом" Доказать это Евклид не сумел - хотя располагал всеми необходимыми для этого средствами.
Только через 5 веков после Евклида александриец Диофант заполнил
5
этот пробел строгим рассуждением. Он уже владел понятием отрицательного числа и "играл в арифметику" так же уверенно, как семью веками раньше Пифагор "играл в геометрию", работая с плоскими фигурами. Но создать богатую теорию чисел и уравнений эллины не успели вплоть до гибели Римской империи и гибели античной цивилизации в бурях 4-5 веков.
Постулаты Евклида
Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.
«Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2. Линия есть длины без ширины
Определение 3. Границы линии суть точки.
Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
Постулаты
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
6
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно
меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
«Начала» Евклид
В III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.
"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.
"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил : "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".
Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".
7
Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему : "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".
Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.
8
Другие геометрии
Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии
Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными осами» Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.
Исследования Яноша Бояй по неевклидовой геометрии
Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи.
Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс». Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", понял его, но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи.
Геометрия Эйнштейна — Минковского
Геометрическая сторона построенной Эйнштейном теории относительности, особенно оттененная Минковским, заключается в том, что мироздание, не в его статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами.
Руководясь тем, что гравитационные силы в мире действуют всегда, тогда как другие силы (электрические, магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью построить риманову геометрию этого четырехмерного многообразия так, чтобы охватить одной общей схемой как пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась, следовательно, в
9
таком выборе основной дифференциальной формы, при которой система правильно отображает эти соотношения в бесконечно малом элементе мира и в порядке интегрирования дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве.
Роль геометрии в естествознании достигла в этом замысле своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая, возможность такой постановки вопроса достаточно показательна. Более того, возможность и тех достижений, которые Эйнштейну удалось получить, основана, если можно так выразиться, на геометризации самой римановой геометрии.
Классическая геометрия XIX века
Могло казаться, что развитие, которое новая геометрия получила в трудах французских геометров конца XVIII в., привело к некоторому завершению ее и что для нового толчка остается ждать эпохи нового Возрождения. Этого, однако, не случилось: XIX век принес с собой новый глубокий переворот и в содержании геометрии, и в ее методах, и в самых взглядах на ее сущность. Наиболее характерной чертой новой геометрии была ее алгебраизация. Но из самых корней алгебраического метода росли противоречия, имевшие двоякий источник.
Во-первых, сама алгебра не так уж сильна. Границы классической геометрии определялись теми вопросами, которые алгебраически сводятся к уравнениям 1-й и 2-й степени. Эти уравнения в чрезвычайно простой форме разрешаются в радикалах. В этом содержится ключ к исследованию кривых линий и поверхностей 2-го порядка, источник простоты и изящества, с которыми геометрия древних переводится на алгебраический язык. Но при изучении более сложных кривых, хотя бы даже алгебраических, средства алгебры в общем исследовании утрачивают свою простоту. Формулы Кардано и Феррари, служащие для выражения корней уравнений 3-й и 4-й степени, с их мнимыми радикалами, от которых нельзя избавиться, почти не находят себе применения. За пределами 4-й степени таких формул для общего решения уравнений не существует. Приходится оперировать такими свойствами алгебраических уравнений, широкой общности которых расплываются отдельные частные задачи. Именно эти общие вопросы алгебраической геометрии всё же получили разрешение, а для решения многих отдельных задач методы Декарта дали меньше, чем от них можно было ожидать.
Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряются наглядность и пространственная интуиция; этот мощный рычаг синтетической геометрии здесь совершенно отказывается служить. К этому присоединялось то обстоятельство, что
10
некоторые части алгебры и анализа не были еще достаточно обоснованы и содержали противоречия в самих себе. Эти противоречия вызывали не только сомнения, но и прямое раздражение у тех, кому неотчетливость мысли невыносима; а математику, привыкшему к строгости логической мысли, такое умонастроение было особенно тягостно. Выдающийся ученик Монжа Карно считал, что даже учение об отрицательных числах, играющее в методе координат такую важную роль, полно противоречий; он требовал освобождения геометрии от «иероглифов анализа». Стремление к преодолению возникших таким образом противоречий привело и к возрождению чисто геометрических методов.
11
Геометрия Лобачевского
Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.
Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки
Появление неевклидовой геометрии
Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.
И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: «оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии», являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить». Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом.
12
Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1820гг. дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию».
Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.
Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от
на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных» в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем ,какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.
Наиболее полно изложена система Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных» (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах
13
прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.
В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (Учен. зап. Казан. ун-та, 1836), многие из которых были включены в дальнейшие справочники.
Фактически Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Лобачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворечивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригонометрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачевского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферической тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических формул и «абсолютной геометрии» - предложений, не зависящих от пятого постулата. Лобачевский попытался провести такое доказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.
14
Аксиоматика учебника «Геометрия 9-11классы»
Атанасян Левон Сергеевич
Аксиомы Евклида:
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Х. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
ХI. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
XII. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
XIII. И чтобы все прямые углы были равны.
XIV. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими
Аксиомы по которым построен наш учебник геометрии:
- Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
- Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна.
- На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
- Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
- Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна.
- Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
- Каждая точка О прямой разделяет её на две части – два луча – так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. и т. д.
15
Рассматривая аксиомы Евклида и нашего учебника, мы можем сделать вывод, что наш учебник «Геометрия 9-11классы» Атанасян построен на основе Евклидовой геометрии. В нашем учебнике мы доказываем, что две параллельные прямые на плоскости не пересекаются. При этом есть учебники основанные на геометрии Лобачевского, в которых две параллельные прямые на плоскости пересекаются.
16
Задачи
Задача 1
По рисунку 1 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ; в) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDC и АВС.
Задача 2
Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
Задача 3
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?
17
Заключение
Геометрия изучает формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Геометрия не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.
Геометрия претендует в качестве наиболее мощного орудия точного естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ли ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.
Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
18
Приложение
Лобачевский Н.И.
Николай Иванович Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря(20 ноября) 1792 года в Нижнем Новгороде, в России. Когда Николаю было 7 лет, его мать, Прасковья Ивановна, осталась одна с тремя маленькими сыновьями. И до этого жалование отца с трудом хватало на содержание семьи; теперь она встретилась с крайней нищетой. Она переехала в Казань, где как могла, подготавливала детей к школе, и они были приняты в гимназию на казенное содержание. Николай приступил к занятиям в 1802 году, в десятилетнем возрасте. Его успехи в математике и в древних языках были феноменальными. В 14 лет он был подготовлен для университета. В 1807 году он поступил в Казанский университет, в котором ему предстояло провести последующие 40 лет жизни – как студенту, экстраординарному профессору, профессору и, наконец, ректору.
В 1811 году, в возрасте 18 лет, Лобачевский получил степень магистра, к тому же с отличием. В это же время его старший брат Алексей вел курсы элементарной математики по подготовке младших правительственных чиновников, и, когда он получил отпуск по болезни, Николай заменил его. В апреле1814 года он был утвержден адъюнктом чистой математики, а 2 года спустя ему было присвоено звание профессора.
Назначение Лобачевского экстраординарным профессором состоялось в 1816 году в необычно молодом возрасте 23 лет. Его обязанности были многотрудными. Дополнительно к работе по математике ему поручались лекционные курсы по астрономии и физике. Он блестяще справился с порученным заданием. Это послужило поводом для еще большей нагрузки.
Вскоре Лобачевский взялся за переустройство университетской библиотеки и университетского музея, находившихся в хаотическом состоянии.
Со смертью Александра I дела обернулись к лучшему. Специальный уполномоченный правительства для преднамеренного преследования Казанского был уволен. Нуждаясь в политической и моральной поддержке своей деятельности в университете, новый попечитель обеспечил назначение в 1827 году Лобачевского ректором. Математик был теперь главой университета, но эта должность отнюдь не была синекурой. Под его умелым руководством весь штат был реорганизован, были привлечены лучшие люди, преподавание было либерализовано, несмотря на официальные препятствия, была построена библиотека, соответствующая высшему уровню научных требований, были организованы механические мастерские для изготовления научных инструментов, которые требовались для исследований и преподавания, была основана и оборудована обсерватория – любимое детище энергичного ректора.
19
Даже ректорское достоинство не удерживало Лобачевского от работы руками в библиотеке и музее, когда он чувствовал, что его помощь необходима. Университет был его жизнью, и он любил его.
Кажется невероятным, что Лобачевский, так сильно перегруженный преподавательскими и административными обязанностями, мог находить время для научной работы. Он создал один из величайших шедевров всей математики – неевклидову геометрию и поставил веху в человеческом мышлении. Он трудился над этим с перерывами не менее 20 лет. Его первое публичное сообщение по этой теме было сделано на физико – математическом факультете Казанского университета в 1826 году.
В 1846 году его грубо лишили должностей профессора и ректора университета, хотя тогда он был полон физических и умственных сил, более чем когда- либо он был способен продолжать свои математические исследования. Отвратительная неблагодарность властей сломила Лобачевского. Он оставил все надежды снова стать кем-то в университете, который своей научной славой почти целиком был обязан его усилиям, и после этого появлялся в нем только случайно, чтобы помочь на экзаменах. Хотя его зрение быстро ухудшалось, он был еще способен к интенсивному математическому мышлению.
Он все еще любил университет. Его здоровье пошатнулось, когда умер его сын; но он все еще надеялся, что сможет принести некоторую пользу. В 1855 году университет праздновал свое пятидесятилетие. Лобачевский лично присутствовал на торжествах и принес в дар юбиляру экземпляр «Пангеометрии» – завершающей научной работы его жизни. Эта работа не была написана его собственной рукой: он диктовал ее, так как в то время был уже слепым. Через несколько месяцев, 24 февраля 1856 года, 62-х лет от роду, он умер.
20
Янош Бояй
Жизнь и творчество Яноша Бояй тесно связаны с деятельностью его отца, математика Фаркаша Бояй (1775-1856). Большую часть своей жизни отец и сын провели в родной Трансильвании. Еще будучи студентом Геттингенского университета, Бояй-отец дружил с юным Гауссом, в беседах с которым он часто обсуждал проблему V постулата. Впоследствии Ф. Бояй много лет занимается исследованиями в области теории параллельных линий, которые, однако, не привели его к желаемому результату. С 1804г. и почти до конца своей жизни он работал в должности преподавателя математики, физики и химии в евангелистско-реформистской коллегии небольшого трансильванского
Одаренность Яноша и его страстный интерес к математике и музыке складывались еще в детстве. В
.возрасте 10 лет он уже имел свои собственные музыкальные композиции, в 13 лет владел дифференциальным и интегральным исчисленьями, а в 15 лет – выдержал экзамен на аттестат зрелости. В 1818г. Янош отправился в Вену , где на протяжении 4 лет состоял студентом военно-инженерной академии. В 1823г., окончив академию и получив звание офицера, Янош был отправлен на службу в трансильванский город Темешвар Здесь, располагая достаточным временем, он всецело отдался математике и со страстным увлечением занялся исследованием проблемы V постулата, начатым еще в годы студенчества. В одном из своих писем, направленных в 1823г. отцу, Янош сообщил, что хотя и не достиг еще цели, но получил значительные результаты: "Из ничего я создал новый мир"
Отец, на собственном опыте узнавший, сколько горя и разочарований может принести проблема V постулата, в своих письмах умолял сына отказаться от этих занятий. Однако, Янош продолжал свои исследования, добился цели и, тщательно отработав свои исследования, убедил почти ничего не понявшего в них отца, поместить их в качестве «Приложения» в конце «Тентамена». Работа была послана отцом на отзыв Гауссу. Последний, однако, вместо одобрения молодого венгерского математика , в ответном письме писал, что содержание этой работы и ее результаты почти сплошь совпадения с его, которые он получил уже30-35 лет тому назад.
Ответ Гаусса произвел на Яноша Бояй удручающее впечатление. Не зная о том, что приоритет открытия неевклидовой геометрии принадлежал уже с 1829г. Н.И. Лобачевскому, он не поверил, что Гаусс пришел к тем же идеям независимо от него, Яноша Бояй. Он заподозрил Гаусса в намерении похитить у него приоритет великого открытия, ставшего для Яноша делом и смыслом всей его жизни.
Его переживания и отчаяние резко возросли, когда в его руки попало сочинение Н.И. Лобачевского на немецком языке «Геометрические
21
исследования по теории параллельных линий». Янош высказал предположение , что Лобачевский – это всего лишь псевдоним, под которым
скрывается Гаусс, похитивший у него приоритет открытия неевклидовой геометрии.
Когда в 60-х годах прошлого столетия была опубликована переписка Гаусса с его друзьями, ученые узнали, что Гаусс полностью разделял взгляды Лобачевского и Бояй, и сам, независимо от них, пришел к тем же идеям.
22
Карл Фридрих Гаусс
Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в доме №1550, что стоял на канале Венденгребене в Брауншвейе. По мнению биографов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущему ученому дядя Фридерихс – искусный ткач, в котором, по словам племянника, «погиб прирожденный гений».Гаусс говорил о себе, что он «умел считать, раньше, чем говорить». Самая ранняя математическая легенда о нем утверждает, что в 3 года он следил за расчетами отца с каменщиками -–поденщиками и неожиданно поправил отца, причем оказался прав.
В 7 лет Карл Фридрих поступил в Екатериненскую народную школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В 3-й класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте и учились там до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру приходилось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные задания на вычисление, с тем, чтобы иметь возможность беседовать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные числа от 1 до100. По мере выполнения задания ученики должны были класть на стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался при выставлении оценок. 10-и летний Гаусс положил свою доску, едва Бюттнер кончил диктовать задание. К всеобщему удивлению, лишь у него ответ был правилен. Секрет был прост: Пока диктовалось задание Гаусс успел переоткрыть формулу для суммы арифметической прогрессии! Слава о чудо-ребенке распространилась по маленькому Брауншвейгу.
В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основной обязанностью которого было чинить перья младшим ученикам работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имевший несколько математических книг. Гаусс и Бартельс начинают заниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, бесконечными рядами…..
Через некоторое время Бартельс получит кафедру чистой математики в Казанском университете и будет учить математику Лобачевского.
О Гауссе узнают при дворе. В1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду – герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекции по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.
23
Феликс Клейн, замечательный математик, глубокий исследователь научного творчества Гаусса, говорил о великом ученом следующее:
«Естественный интерес, детское любопытство приводит впервые мальчика независимо от каких-либо внешних влияний к математическим вопросам. Первое, что его привлекает, это чистое искусство счета. Он беспрестанно считает с прямо-таки непреоборимым упорством и неутомимым прилежанием. Благодаря этим постоянным упражнениям в действиях над числами, например, над десятичными дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает изумительной виртуозности в технике счета, которой он отличался всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальным числовым материалом, он приобретает такой богатый опыт и такую широту кругозора в области чисел, какими навряд ли обладал кто-либо до или после него. Осенью 1795 года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его руки литературу: Эйлера и Лагранжа».
«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей могилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он нашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара 3:2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воздвигнутый ему в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю». (Г. Вебер)
24
Используемая литература
ino.net/forum?action=post&fid=15&tid=106389#pd 900362
ссылка скрыта
ссылка скрыта
ссылка скрыта
Геометрия «7-11» Атанасян Л Е
Основания геометрии А. Д. Александров.