МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АЗАРТНЫХ ИГР
“Человек играет только тогда,
когда он в полном значении
слова человек, и он бывает
вполне человеком лишь тогда,
когда играет”.
(Ф.Шиллер)
Считается, что итальянский математик, физик и астролог Д.Кардано первым провел математический анализ игр в кости в 1526 году. Он применил теоретическую аргументацию и собственную обширную игровую практику для создания своей теории вероятностей, на основе которой давал советы ученикам, как делать ставки. Г.Галилей возобновил исследование игр в кости в конце XVI века. Б.Паскаль сделал то же самое в 1654 году. И оба - по настоянию азартных игроков, раздосадованных разочарованием и большими затратами при игре в кости. Расчеты Галилея были в точности такими же, какие применили бы современные математики. Таким образом, наука о вероятностях стала, наконец, на твердый путь. Громадное развитие теория получила в середине XVII века в манускрипте Х.Гюйгенса “Размышления по поводу игр в кости”. Исторически наука о вероятностях, таким образом, обязана своим происхождением низменным проблемам азартных игр.
Что же представляют собой такие “близкие” всем игрокам понятия как случайности, вероятности, шансы?
Вероятность благоприятного исхода из всех возможностей может быть выражена следующим образом: вероятность (р) равна общему числу благоприятных исходов (f), деленному на общее число таких возможностей (t), или p = f/t. Но это верно лишь для случаев, когда ситуация основана на чистой случайности и все исходы равновероятны. Например, при играх с двумя костями общее число возможных результатов составляет 36 (каждая из шести граней одной кости с каждой из шести граней второй), а число способов выбросить, скажем, семь - всего 6 (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1). Таким образом, вероятность получения числа 7 - 6/36 или 1/6 (или около 0,167).
В большинстве азартных игр обычно выражают идею вероятности в “соотношении против выигрыша”. Это просто отношение неблагоприятных возможностей к благоприятным. Если вероятность выбросить семерку равна 1/6, тогда из каждых шести бросков “в среднем” один будет благоприятным, а пять - нет. Таким образом, соотношение против получения семерки будет пять к одному. Вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет “орел” - одна вторая; соотношение будет 1 к 1. Такое соотношение называется “равным”. нужно осторожно относиться к выражению “в среднем”. Оно, опять-таки, относится с большой точностью лишь к большому числу случаев, но не пригодно в отдельных случаях. Общее заблуждение всех азартных игроков, называемое “доктриной повышения шансов” (или “заблуждением Монте-Карло”), состоит в предположении, будто каждая партия в азартной игре не является независимой от других и что серия результатов одного рода должна быть сбалансирована в скором времени другими возможностями. Игроками был изобретен целый ряд “систем”, основанных, главным образом, на этом ошибочном заблуждении. Работники казино всячески способствуют применению таких систем, чтобы использовать в своих целях пренебрежение игроками строгих законов вероятности и отдельных игр.
В некоторых играх преимущество может принадлежать крупье или банкомету (лицу, которое собирает и перераспределяет ставки), или какому-либо другому участнику. Поэтому не все играющие имеют одинаковые шансы на выигрыш или на равные выплаты. Это неравенство может быть скорректировано путем поочередной смены позиций игроков в игре. Однако работники коммерческих игорных предприятий, как правило, получают прибыль, регулярно занимая выгодные позиции в игре. Они могут также взимать плату за право на игру либо изымать определенную долю банка в каждой игре. Заведение, в конечном счете, всегда должно оставаться в выигрыше.
Некоторые казино вводят также правила, увеличивающие их доходы, в особенности - правила, лимитирующие величину ставок при особых обстоятельствах.
Многие азартные игры включают элементы физической тренированности или стратегии при присутствии элемента случайности. Игра “покер”, как и многие другие карточные игры, является смесью случая и стратегии. Ставки на бегах и атлетических соревнованиях включают учет физических возможностей и других элементов мастерства соревнующихся. Чтобы убедить участников в том, что случай играет важную роль в определении исхода таких игр, могут вводиться такие коррективы, как вес, препятствия и т.п., дабы дать соревнующимся примерно равные шансы на победу. Могут также вводиться поправки при выплатах таким образом, чтобы вероятность успеха и величина выплаты были обратно пропорциональны друг другу. Например, тотализатор на бегах отражает, как оцениваются участниками шансы различных лошадей.
Индивидуальные выплаты велики для тех, кто ставил на выигрыш лошадей, на которых ставили немногие, и невелики в тех случаях, когда выигрывает лошадь, на которую сделано много ставок. Чем более популярен выбор, тем ниже индивидуальный выигрыш. То же правило верно и для ставок у букмекеров на атлетических соревнованиях (запрещенных в большинстве штатов США, но узаконенных в Англии). Букмекеры обычно принимают ставки на результат матча, считающегося соревнованием неравных противников, требуя, чтобы сторона, чья победа более вероятна, не просто победила, а набрала перевес в определенное количество очков. При игре в американский или канадский футбол, например, команда, которая оценивается более высоко, должна будет набрать, скажем, более десяти очков, чтобы принести равные выплаты тем, кто на нее ставил.
К сожалению, во все эти процедуры, поддерживающие влияние случая, можно вмешиваться. Мошенничество возможно и вполне вероятно во всех видах азартных игр. В большой степени позорное клеймо на азартных играх является результатом нечестности их организаторов, и большая часть законодательных запретов имеет целью предотвращение мошенничества. Однако усилия многих правительств были направлены, главным образом, не на предотвращение мошенничества, а на сбор возможно больших налогов с игорных предприятий. Налоги могут взиматься в зависимости от прибыли владельцев заведения или с игроков, а также прямо с оборота игорного банка или тотализатора.
Теория принятия правильных решений - в известном роде, проблема самой природы. Само слово “игра”имеет множество значений. Им можно обозначить как любое занятие во время досуга, так и любую социальную активность человека. Так можно обозначить партию в шахматы или шашки, можно определить действия в сфере политики, где кандидат вступает в “игру” со своими избирателями и конкурентами. Оно может быть использовано в экономике, когда речь идет, например, о выходе на рынок. Итак, слово “игра” применимо к любому виду человеческой деятельности, который вызван какими-либо интересами, в котором поведение индивида продиктовано размышлением, хитростью или даже мимолетным настроением. Можно сказать, что играть - значит жить или, вернее, жить - означает играть.
Таким образом, поиски “теории игр” могут показаться бессмысленными. Между тем, размышление ведет человека к попыткам абстрагирования данных, которое помогает сосредоточиться на сути проблемы. Часто нужно выбирать между элементами множества возможностей, чьи исходы заранее известны. Это случай игр “в открытую”, как, например, партия в шашки или шахматы, где точно известны результаты перемещения каждой фигуры. Но можно и не владеть всеми данными ситуации. Таков случай игры в карты, основанной на предположении и недостаточной информации. Таким образом, здесь необходимо выбирать среди множества ситуаций, чей исход известен не полностью. В этом случае приходится создавать гипотезы вероятных исходов. Выбор в такой ситуации вводит нас, в свою очередь, в очередной виток вероятностей. Ход такой игры: от вероятности к вероятности. Делая возможные предположения, сложные вероятности можно вычислять из более простых вероятностей по формуле условных вероятностей:
Р(АВ)
Р(В/А) = , где
Р(А)
Р(В/А) - вероятность события В при условии, что событие А произошло (условная вероятность);
Р(АВ) - безусловная вероятность того, что произойдут как событие А, так и событие В;
Р(А) - безусловная вероятность того, что событие А произошло.
Аналогично существует и правило сложения вероятностей вида:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), где
Р(А+В) - безусловная вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В;
Р(А) и Р(В) - безусловные вероятности событий А и В.
Теория вероятностей позволяет дать математическую формулу науки о поведении, когда известны вероятности различных эпизодов, которые определяют ход игры. Таким образом, теория игр пытается с помощью вероятностей или других понятий сконструировать модель, представляющую наиболее целесообразную деятельность человека и позволяющую установить схему, которая с наибольшей вероятностью приведет к желаемому исходу. Основная разница между игрой (вернее, ее моделью) и человеческой деятельностью состоит в ограниченности игры рамками времени, в то время как человеческая деятельность практически этим не лимитирована, как, например, экономическая активность. Эта разница определяет огромное препятствие применению теории игр в реальной жизни. Таким образом, когда говорят об “игре”, это означает, что имеют в виду конкретную “партию” этой “игры”, имеющую начало и конец.
Игра может быть рассмотрена как схема ограниченного характера, где осуществляют себя различные воли или же различные интересы. Эти стремления могут вступать в конфликт, помогать друг другу, перекрещиваться между собой, развиваться более или менее независимо и иметь в своем распоряжении различные средства (уловки).
Для того, чтобы добиться выигрыша, нужно обмануть противника; это становится сложней, когда игра уже началась, потому что партнеры лучше узнают особенности друг друга уже в ходе игры. Шаг за шагом уловки раскрываются, и осторожность увеличивается. К тому же в некоторых играх уловка полностью раскрывается самой природой игры: это шашки, шахматы или игры, где известны кости обоих противников. Вводится “уловка” и в карточную игру в качестве законного средства борьбы, особенно это распространено в покере, где используется “блеф”, с которым хорошо знакомы опытные игроки, сознательно использующие его для выигрыша в тех случаях, когда объективное соотношение сил предполагает проигрыш.
Необходимое условие для использования теории “уловки” - недостаточная информация игроков друг о друге. В этом случае “уловка” состоит в отгадывании намерений противника при условии сокрытия своих намерений: “уловка” позитивная и “уловка” негативная. Тактика каждого игрока должна быть очень гибкой, и одна и та же “уловка” не должна использоваться много раз, иначе она сама станет “тактикой” и возвратится, как бумеранг, “в лоб” использующему ее. Игрок должен стремиться модифицировать свою игру сообразно реакции своего противника, делая каждый раз наиболее удачный для данной ситуации выбор: отсюда происходит вероятность вероятностей.
Приведем пример удачного выбора из неудачной ситуации на основе одного из рассказов о Шерлоке Холмсе. Преследуемый профессором Мориарти, Холмс сел в поезд, следовавший из Лондона в Дувр через Кентербери. Но, садясь в поезд, он заметил, что и Мориарти находится в поезде. Холмс знал, что, если он сойдет одновременно с Мориарти, он наверняка будет убит. Ему нужно было добраться до Дувра одному, чтобы сесть на пароход, следующий через пролив. Возникают следующие возможные варианты:
а) Холмс выходит в Дувре;
b) Холмс выходит в Кентербери;
с) Мориарти выходит в Кентербери;
d) Мориарти выходит в Дувре.
Итогом, с точки зрения Холмса, могут быть:
1) полный успех: ас
2) частичный успех: bd
3) поражение: аd или bc.
Эти три исхода, с точки зрения предпочтений Холмса, последовательно убывают как достойные выбора, последний исход - наихудший. Система предпочтений Мориарти противоположна системе Холмса. Сразу очевидна трудность выбора из-за недостатка информации. Решение и для Холмса, и для Мориарти - результат случайного выбора, играющий роль оборонительной тактики. Хорошо подготовленный, каждый настороженно ждет малейшего упущения противника, чтобы тотчас перейти в наступление. Но, помимо этой возможной ошибки, случай ведет игру.
<< Предыдущая - Следующая >>