Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
2.6. Задачи |
|
|
1. Предположим, что родитель и ребенок играют в следующую игру. Сначала ребенок выбирает действие А , которое приносит ему доход 1С(А) и доход для родителя 1р(А) . Далее, родитель наблюдает доходы /с и 1р и затем выбирает награду В для ребенка. Функция выигрыша ребенка U(IC+B) , родителяЧ V(Ip - B)+kU(Ic+B) , где к > 0 отражает лродительское участие в благополучии ребенка. Допустим, что действие ребенка - это выбор неотрицательного числа А > 0 ; функции доходов строго вогнуты 1С(А) и 1р(А) и достигают максимумов при Ас > 0 и Ар > 0 соответственно. Награда В может быть положительной или отрицательной; функции 1 - 52 " 1-5"с полезности U и V возрастающие и строго вогнуты. Докажите, что обратная индукция дает следующий исход: ребенок выбирает действие, которое максимизирует семейный совокупный доход, 1С(А) + 1р(А) . Допустим теперь, что родитель и ребенок играют в другую игру. Пусть доходы /с и 1р фиксированы экзогенно. Во-первых, ребенок решает, сколько из дохода /с сохранить для будущего (S), потребляя остаток (Ic - S) сегодня. Во-вторых, родитель наблюдает выбор ребенка S и выбирает награду В . Выигрыш ребенка - это сумма текущей и будущей полезности: Ui(Ic - S) + U2(S + В) . Выигрыш родителя: V(1р - В) + k[U1(Ic - S) + U2 (S + В)] . Допустим, что функции полезности U\ , U2 , V возрастающие и строго вогнутые. Показать, что исход обратной индукции следующий: ребенок сохраняет слишком мало, чтобы побудить родителя оставить большую награду (т.е. обе функции выигрыша родителя и ребенка могут быть увеличены, если S будет выбрано больше, а В выбрано меньше). Допустим, что игроки в бесконечной игре торга по Рубинштейну имеют различные дисконтирующие множители и 82 для первого и второго игрока соответственно. Показать, что обратная индукция дает следующий результат: игрок 1 предлагает соглашение 1-й S2(l- 1*2 ) игроку 2 , и тот принимает его. 4. Рассмотрим олигополию по Курно с 3 участниками и обратной функцией спроса P(Q) = а - Q , где Q = Ч\ + 42 + <7з и 4i - объем продукции, произведенной фирмой i. Каждая фирма имеет постоянные предельные затраты с и не имеет фиксированных затрат. Фирмы выбирают объем производства следующим образом: (1) фирма 1 выбирает q\ > 0 ; (2) фирмы 2 и 3 наблюдают qi и затем одновременно выбирают q2 и q3 соответственно. Что является совершенным под-игровым исходом в этой игре? 5. Допустим, что профсоюз является единственным поставщиком труда во все фирмы в олигополии (например, Объединенные рабочие автомобильной промышленности имеются в General Motors, Ford, Chrysler и т.п.). Пусть последовательность ходов будет следующей: профсоюз устанавливает единую ставку заработной платы w, которую предлагает всем фирмам; фирмы наблюдают (и принимают) w и затем одновременно выбирают уровень занятости Li для фирмы i; выигрыши (w - wa)L для профсоюза, где wa - зарплата, которую члены профсоюза могут заработать на альтернативной работе, и L = L\ + L2 + Х Х -+Ln - общая занятость в объединенной фирме, и ir(w,Li) - прибыль для фирмы i, которая устанавливается исходя из следующего предположения: все фирмы имеют производственную функцию дг- = Li . Рыночная цена P(Q) = a - Q , где Q = q\ + Х Х Х + qn . Для простоты будем предполагать, что фирмы не имеют никаких других затрат, кроме заработной платы рабочим. Что является совершенным под-игровым исходом в этой игре? Как (и почему) количество фирм влияет на функцию полезности профсоюза в совершенном под-игровом исходе? 6. Рассмотрим две страны и будем считать, что возможны две ситуации. В ситуации 1 обе страны устанавливают такие высокие тарифные ставки, что никакой торговли между ними не происходит. В каждой стране зарплата и занятость определяются, как в задаче 5. В ситуации 2 тарифных ставок нет. Каждый профсоюз устанавливает зарплату в своей стране, но каждая фирма производит продукцию для обоих рынков. Допустим, что в каждой стране обратная функция спроса P(Q) = А - Q . Пусть производственная функция для каждой фирмы будет q = L , поэтому выплаты зарплаты - единственные затраты фирмы, и пусть функция полезности профсоюза будет U(w,L) = (w - wq)L , где wo - альтернативная заработная плата рабочих. Найти исход с помощью обратной индукции в ситуации 1. Теперь рассмотрим следующую игру в ситуации 2. Сначала два профсоюза одновременно выбирают зарплаты, w 1 и W2 . Затем фирмы наблюдают зарплаты и выбирают продукции для домашнего и иностранного рынков, обозначенных hi и ег- для фирмы в стране г. Вся продукция г-й фирмы производится дома, поэтому общие затраты есть гиД/г;+ег-) . Найти совершенное под-игровое равновесие этой игры. Показать, что зарплаты, занятость и прибыль (и поэтому также полезность профсоюза и потребительский излишек) увеличиваются, по мере исчезновения тарифных ставок. 7. Статическая игра с одновременными ходами (см. рис. 22) разыгрывается дважды, причем исход первого шага наблюдается перед началом второго шага. Предположим, что нет дисконтирования. Переменная х > 4, поэтому (4,4) не является равновесным выигрышем в лбазовой игре. Для каких значений х следующая стратегия (сыгранная обоими игроками) будет СПРН? Сыграть Qi на первом шаге. Если исход первого шага (Q1) Q2) j играть Pi на втором шаге. Если на первом шаге исход (у, Q2) , где у ф Qi , играть Ri на втором шаге. Если на первом шаге исход (Qi, z) , где z ф Q2 , играть Si на втором шаге. Если на первом шаге исход (у, z) , где у ф Q\ , z ф Q2 , играть Pi на втором шаге. Р2 Q2 R2 Pi ( (2,2) (ж,0) (-1,0) (0,0) \ Q1 (0,ж) (4,4) (-1,0) (0,0) Ri (0,0) (0,0) (0,2) (0,0) Si V (0,-1) (0,-1) (-1,-1) (2,0) J 8. Рис. 22. Напомним статическую модель дуополии по Бертрану (с однородными продуктами): фирмы называют цены одновременно; спрос на продукцию г-й фирмы есть aЧpi , если pi < pj ; 0 , если pi > pj и (aЧpi)/2 , если pi = pj ; предельные затраты с < а . Рассмотрим бесконечную игру, основанную на этой первоначальной статической игре. Покажите, что фирмы могут использовать триггерные стратегии, чтобы поддержать монопольный уровень цен в совершенном под-игровом равновесии по Нэшу тогда и только тогда, когда 5 > ^ . Игра Верю-не верю Имеется две карты, скажем, лтуз и лшестерка. Играют два игрока. Сначала игрок 1 наугад выбирает одну карту и не показывает ее игроку 2. Если игрок 1 вынул лтуза, то он говорит об этом игроку 2 и требует выигрыш 1$. Если игрок 1 вынул лшестерку, то у него имеется две возможности: обмануть игрока 2, сказав, что у него лтуз, и потребовать 1$ или признаться, что у него шестерка, и тогда уплатить 1 $ игроку 2. Если игроку 2 предлагают 1$, то он принимает его. Если же у игрока 2 требуют 1$ , то он либо верит, что у противника лтуз и отдает 1$ , либо не верит и просит показать карту. В этом случае, если у игрока 1 действительно был лтуз, игрок 2 выплачивает 2$ игроку 1 (за то, что зря сомневался). Если же у игрока 1 оказалась лшестерка, то наказанием за обман является выплата им 2$ игроку 2. Представьте позиционную и нормальную формы этой игры и найдите равновесие по Нэшу. Игра Четное-нечетное Первый ход: игрок 1 выбирает одно из чисел {1,2}. Второй ход (случайный): бросают монету, если выпал Орел, то второму игроку сообщают, что выбрал игрок 1. Третий ход: игрок 2 выбирает одно из чисел {3,4}. Четвертый ход (случайный): выбирается случайным образом одно из чисел {1,2,3} с заданными вероятностями 0,4; 0,2; 0,4 соответственно. В результате игры числа, выбранные на первом, третьем и четвертом ходах, складываются и игрок 2 выплачивает полученную сумму игроку 1, если она четная; если же сумма оказалась нечетной, тогда игрок 1 выплачивает ее игроку 2. Представьте позиционную и нормальную формы игры. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях. Найдите совершенное под-игровое равновесие в следующей игре, известной под названием Сороконожка. Следующая игра с одновременными ходами разыгрывается дважды, причем исход первого розыгрыша известен до начала второго розыгрыша: L С R Т / (3.5,2.5) (1,1) (3,2) М (3,2) (5,5) (2,6) В V (2,3) (6,2) (4,4) Могут ли выигрыши (5,5) достигаться на первом шаге в совершенном равновесии по Нэшу в чистых стратегиях? Ответ поясните. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.6. Задачи" |
|
|