Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
3.1. Байесовы игры |
|
|
До сих пор мы считали, что у игроков была вся лнеобходимая информация друг о друге, включая выигрыши игроков. В реальных ситуациях, конечно, все далеко не так, и фирмы, например, могут не знать затраты других фирм, и т.д. Поэтому здесь возникает ситуация, в которой участники могут и, по-видимому, должны иметь какие-то представления относительно предпочтений других участников, должны иметь представления об их представлениях о предпочтениях других и т.д. Здесь мы приходим к понятию Байесовых игр (пока статических), введенных Дж.Харшаньи (Harsanyi, 1967). Вернемся к нашей дуополии по Курно с обратной функцией спроса P(Q) = а - Q , Q = qi + , к рассмотрим следующую ее модификацию. Предположим теперь, что функция затрат фирмы 1 есть C\(qi) = cqi, и будем считать, что функция затрат второй фирмы есть C2(q2) = C#g2 с вероятностью в и C2(q2) = Ciq2 с вероятностью 1 Чв , причем Сь < С# ж Кроме того, будем предполагать, что фирма 2 знает свою функцию затрат и функцию затрат фирмы 1, но фирма 1 знает только свою функцию затрат и вероятности в и 1 - в того, что предельные затраты второй фирмы есть С'н и C'l соответственно. При этом все это общеизвестно: фирма 1 знает, что 2 имеет лбольше информации, фирма 2 знает, что 1 знает это, и т. д. Разумееется, естественно было бы ожидать, что фирма 2 будет принимать различные решения в зависимости от своего типа, т.е. от уровня своих предельных затрат. То есть в данном случае под стратегией следует понимать отображение, которое ставит в соответствие каждому из двух возможных уровней предельных затрат С'н и C'l некоторый объем вы-пуска, который определялся бы фирмой 2 в случае, если бы ее предельные затраты были высокими - С'н или низкими - C'l ж Забегая несколько вперед, отметим, что такое понимание стратегии близко к пониманию стратегии в играх в позиционной форме. Связано это с предположением, что игра протекает как бы следующим образом: вначале Природа лвыбирает с вероятностью в и 1 - в соответствующий уровень предельных затрат и лсообщает выбранный уровень только фирме 2, а затем уже фирмы принимают свои решения о выпусках. В этом смысле соответствующую игру можно весьма условно представить следующим образом (см. рис. 1). Пусть q^iCn) и q2{Cb) соответственно выбор фирмы 2, а qЧ выбор фирмы 1. Если предельные затраты высоки, то q2(C'H) (в равновесии по Нэшу) решает задачу max((a - q{ - q2) - C'n)q2- 92 Аналогично q2{Cb) решает задачу max((a - q{ - q2) - CL)q2. 92 Для фирмы 1 qi решает задачу max0[(a - qi - q2{CH)) ~ c]gi + (1 - 0)[а - gi - q2{CL)) - c]qx. 91 Условие первого порядка дает нам Природа Рис. 1. 92 (Ся) = ЧШ) = ?;г = а-д\-Сн 2 a- ql-CL 2 0[а - д2*(Ся) - с] + (1 - 0)[а - q*(CL) - с] 2 Следовательно, мы имеем *(п \ а-2Ся + с 1-0 Ысн) = ^ + ЧЧ (Сн-Сь), 3 о 3 о * _ а-2с + 0Ся + (1-0)Сь " 3 ' Если бы у нас была полная информация с затратами с\ и С2 соответственно, то было бы * а - 2 сг + Cj Чг = о '? Заметим, что а - 2 С'н + с ЪУСн) > g , а а-2Сь + с Ъ{Сь) < g Х Это происходит потому, что при высоких затратах фирмы 2 конкурент (фирма 1) лнедопроизводит, а при низких затратах - лперепроизводит. Связано это с тем, что фирма 1 не знает точно структуру затрат фирмы 2, а знает, что они могут быть (с соответствующими вероятностями) либо высокими, либо низкими. Поэтому, принимая решение об объеме выпуска своей продукции, фирма должна учитывать потенциально обе возможности, при этом, если ее выпуск при высоких затратах конкурента (фирмы 2) был бы qf , то, учитывая возможность низких затрат у конкурента, фирма 1 должна уменьшить этот объем выпуска. Именно в этом смысле фирма 1 недопроизводит продукцию при высоких затратах конкурента. Аналогично при низких затратах конкурента фирма производит ллишнюю продукцию. Напомним, что для игр с полной информацией нормальная форма игры - это G = {5*1,..., Sn, щ,..., ип} , где Si - пространство стратегий игрока i, a Ui(si,..., sn) - выигрыш игрока i в ситуации (si,..., sn) . (Мы опускаем здесь фиксированное множество игроков I.) Если мы рассматриваем игру с одновременными ходами, то Si = Аг- - множество ходов. Игра с полной информацией проходила так: Ч игроки одновременно выбирали ходы; Ч игроки получали свои выигрыши щ{а\,..., ап) , i ? /. Теперь мы хотим описать ситуацию с неполной информацией. Мы должны для начала учесть как-то тот факт, что игрок знает свою функцию выигрыша, но может не знать функций выигрыша остальных игроков. Пусть возможная функция выигрыша игрока i имеет вид где ti - тип игрока, ti G Гг- - множество (пространство) возможных типов игрока i. В приведенном выше примере с дуополией по Курно: Т\ = {с} , Т2 = {C'L, С'н} ж Сказать, что игрок г знает свою функцию выигрыша, означает, что он знает свой тип. Аналогично, если игрок не знает функций выигрышей других игроков, то соответственно он не знает их тип, т.е. он не знает t - i - (^1 ? Х Х Х ? ti - 1 ? + 1 Х Х Х ? ^п) ^ TЧi i где T_i - множество возможных значений . Введем теперь понятие представлений. Представления (или система представлений) игрока г о типах остальных игроков - это вероятность pi(t_i\ti) того, что типы остальных игроков описываются вектором t_i = (t\,..., tj-i, ti+i,..., tn) , при условии, что г-й игрок имеет (и знает свой) тип ti . В большинстве случаев, обычно предполагается, что эта вероятность не зависит от типа самого игрока, т.е. мы можем писать не условную вероятность, а просто pi(t_i) . Определение 3.1.1. Байесова игра п -лиц в нормальной ме определяется: набором множеств (пространств) ходов А\,..., Ап ; набором множеств (пространств) типов Т\,..., Тп игроков; представлениями pi,... ,рп игроков; функциями выигрышей щ,..., ип . Тип ti G Ti игрока i известен игроку i и определяет функцию выигрышей Ui(ai,..., ап] ti) . Представления Pi(t_i\ti) игрока i описывают неопределенность относительно типов t_i оставшихся га - 1 игроков, при данном типе ti игрока i. Эту игру будем обозначать G = {А, Т,р, и}, где А = Аг X Х Х Х X Ап , Т = Тг X Х Х Х X Тп , р = (pi,. ..,рп) , и = (щ, ...,ип). Следуя Харшаньи, мы предполагаем, что игра протекает следующим образом: Природа выбирает вектор типов t = (t\,... ,tn) ? Т = Тг х Х Х Х х Тп ж Природа сообщает каждому игроку i его тип ti (и никому другому); Игроки одновременно выбирают свои ходы (соответственно, г-й игрок из - Ai)m, Игроки получают выигрыши щ(а\,..., ап; ti) , i ? I. Введение этапов (1) и (2) сводит нашу игру к игре с несовершенной информацией. Вообще говоря, можно рассматривать и случай, когда функция щ зависит от типов и других игроков, т.е. функции выигрышей имеют вид щ(а\,..., ап; t\,..., tn) . Однако мы не будем останавливаться на этом. Обычно предполагается, что типы t выбираются в соответствии с априорным вероятностным распределением p(t) , и это общеизвестно. Когда Природа лобъявляет игроку i его тип ti, то он может вычислить представление p(t_i\ti) , используя формулу Байеса /. I . s _ P(t-i,ti) _ p{t-i,U) Pi у* - i |4j - Р&) Tn-ieT-iPit-i'ti)' Далее, другие игроки могут также вычислить различные представления, которые игрок i может иметь, в зависимости от типа ti. Мы обычно будем считать, что типы игроков независимы, т.е. pi(t_i) не зависит от ti . Определение 3.1.2. В статической Байесовой игре G = {Ab...,An; Ti,... ,Тп, pi,...,pn, ui,...,un} стратегия игрока i - это функция Si : Ti Ч> Ai, которая для каждого типа ti ? Ti определяет ход из Аг-, который был бы выбран игроком i, если бы Природой был выбран его тип ti . Символически Si = Aj'. Принято выделять стратегии разделяющие, когда различ-ные типы ti выбирают различные ходы, и объединяющие , когда все типы выбирают одно и то же действие. (Это различие будет существенным для нас в динамических играх.) Здесь следует заметить следующее: на первый взгляд кажется, что после того как Природа выбрала тип и сообщила его игроку, ему уже не нужно думать о тех ходах, которые он выбрал бы, если бы был выбран другой его тип. Но игрок i должен рассматривать действия других игроков, которые зависят от того, что будет делать игрок i, имея любой из возможных типов ti ? Ti: поскольку остальные игроки не знают выбранный Природой тип игрока i, они обязаны ориентироваться на все возможные типы игрока i (вспомним лперепроизводство и лнедопроизводство в дуополии по Курно, рассмотренной в начале этой главы). Поэтому игрок i должен будет подумать и о том, что бы он делал, если бы были выбраны другие его возможные типы. В нашей модели дуополии по Курно, как уже отмечалось, стратегия игрока 2 - это пара (^(Cff), Я^^ь)) ж Теперь мы можем дать определение Байесова равновесия, или точнее - равновесия по Байесу-Нэшу, или БН-равновесия . Центральная идея все та же: стратегия каждого игрока должна быть лучшим ответом на стратегии других игроков, т.е. БН-равновесие - это просто равновесие по Нэшу в Байесовой игре. Определение 3.1.3. В статической Байесовой игре G = {А,Т,р,и} ситуация (т.е. набор (чистых) стратегий) s* является БН-равновесием, если для любого i и любого типа ti ? Ti s*(ti) решает задачу ft-! ) atls*+1(tt+1),..., <(?Д); фг(?_г|?г) Часто бывает удобным БН-равновесне определять следующим эквивалентным образом: Определение 3.3* Равновесие по Байесу-Нэшу (или БН-равновесие) в игре с неполной информацией с конечным множеством типов Ti у каждого игрока i ? I, апириорным распределением р и пространством чистых стратегий i -го игрока Si(= Ai) есть равновесие по Нэшу в лрасширенной игре, в которой пространство стратегий игрока - это Sj' (т.е. множество всех отображений из Ti в Si). Таким образом, если даны ситуация s(-) и произвольная стратегия s'(-) ? Sf' , то обозначим, как всегда, через (л'(Х), ?_;(Х)) ситуацию, в которой игрок i играет s'(-) , а другие следуют s(-) . Пусть (si(ti),..., s8_i(^_i), s'-(ii), si+i(ii+i),.. .,sn(tn)) обозначает лреализацию этой ситуации при t = (ti,ti_i) . Тогда ситуация (профиль) s(-) есть равновесие по Байесу-Нэшу, если для любого игрока i Si(-) ? Arg max где Arg max обозначает множество стратегий, доставляющих максимум указанной двойной сумме. Существование БН-равновесия немедленно следует из теоремы существования равновесия по Нэшу. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.1. Байесовы игры" |
|
|