Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
3.2. Альтернативный взгляд на смешанные стратегии |
|
|
Мы сейчас поговорим немного об идее Харшаньи оправдания смешанных стратегий: равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях в игре с полной информацией (почти всегда) может интерпретироваться как БН-равновесие в чистых стратегиях в некоторой лблизкой игре с лчуть-чуть неполной информацией. (лПочти всегда в том смысле, что можно игнорировать те редкие случаи, когда такая интерпретация неуместна.) Основная черта равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях - это даже не то, что игрок j выбирает стратегию случайно, а то, что игрок i сталкивается с некоторой неопределенностью относительно выбора игрока j , причем эта неопределенность может возникнуть или в силу наличия рандомизации, или в силу лнекоторой неполноты информации, как в следующем примере. Вернемся к хорошо знакомой нам игре Семейный спор (см. рис. 2). ОНА Ф Б Ф ОН /(2,1) (0,0) \ Б 1(0,0) (1,2)/ Рис. 2. Здесь есть два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях - (Ф,Ф) и (Б,Б), и одно в смешанных стратегиях, при котором: Он играет Ф с вероятностью 2/3 и Б с вероятностью 1/3; Она играет Ф с вероятностью 1/3 и Б с вероятностью 2/3. Теперь представим себе, что, хотя они знают друг друга достаточное время, они не вполне уверены относительно точного значения выигрышей друг друга. В частности, пред-положим, что Его (ему будет далее соответствовать индекс с) выигрыш, когда оба идут на футбол, есть 2 + tc, причем tc приватно известно ему; Ее выигрыш (ей соответствует индекс р), если оба идут на балет, есть 2 + tp , что известно приватно ей. Будем считать, что tc и tp равномерно распределены на [0, х]. (В действительности равномерность не по существу, но главное то, что tc и tp слегка лвозмущают выигрыши.) Все остальные выигрыши - те же. В терминах абстрактной Байесовой статической игры в нормальной форме имеем: G - { Ас, Ар, Тс, Тр, рс, рр, ис, ир }, где АС = АР = {Ф,Б}; Тс = Тр = [0, ж]; представления есть Pc{tp) = pp{tc) = l/x для любых tc и tp , а выигрыши определены так, как это представлено на рис. 3. ОНА Ф Б С Ф / (2 + tc, 1) (0,0) Б V (0,0) (1,2 +tp) Рис. 3. Наша цель - построить БН-равновесие в чистых стратегиях этой игры с неполной информацией, в которой Он играет Ф, если tc превосходит некоторое критическое значение с и играет Б в противном случае, а Она играет Б, если tp превосходит критическое значение р, и Ф в противном случае. В таком равновесии Он играет Ф с вероятностью , а Она играет Б с вероятностью . Заметим, что Ч вероятность того, что tc > с. (Это те самые вероятности, ко-торые стоят в p(t_i\ti) в соответствующем определении БН- равновесия). Оказывается, что по мере того, как неполнота информации исчезает, т.е. х Ч> 0 , поведение игроков в этом БН-равновесии в чистых стратегиях лприближается к их поведению в первоначальной игре с полной информацией, т.е. X х - с х - р 2 х 3 2 )> - И с^О 3 Представим себе, что оба игрока играют описанные стратегии. Для данного х мы определим значения сир такие, что описанные стратегии будут образовывать равновесие по Байесу-Нэшу. Если Она играет такую стратегию, то Его ожидаемый выигрыш от игры Ф есть Р Р (2 +У + 1 - О = - (2 + У, X X х а Его ожидаемый выигрыш от игры Б есть Р Р Р 0 + 1 - Х1 = 1- X X X Поэтому играть Ф оптимально тогда и только тогда, когда tc > ^ - 3 . Следовательно, с = ^ - 3 . Аналогично, если Он играет указанную стратегию, то Ее ожидаемый выигрыш от игры Б и игры Ф - это соответственно с 1 - X 0+ ^[2 +У = ^(2 +У с 1 - - X с с 1+ - Х о = 1 - -. Таким образом, играть Б оптимально в том и только том случае, если х tД > - Ч 3, с т.е. р = ^ - 3 . Следовательно, мы имеем систему из 2 уравнений с двумя неизвестными с=?- 3, р ' Р = f-з, , это дает р = с и р2 + Зр - ж = 0 . Решая относительно р, получаем, р = ~3+Л^9+4Ч - вероятность того, что Он играет Ф, а Она играет Б, т. е. соответ- хЧр 1 Ч3+л/9+4ж о /о Чравны 1 Ч1Ч , что стремится к 2/3 _ix 2х при х Чу 0 . Действительно, рассмотрим . Домножив числитель и знаменатель на 3 + у/9 + 4х , получаем 9 + 4ж - 9 _ 2 1 2s(V9 + 4s + 3) ~ V9 + 4x + 3 3' Следовательно, V9 + 4х - 3 2 2х хч-о 3 Таким образом, по мере лсокращения неполноты информации, поведение игроков в этом равновесии по Байесу-Нэшу в чистых стратегиях лстремится к поведению в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях в исходной игре с полной информацией. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.2. Альтернативный взгляд на смешанные стратегии" |
|
|