Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
2.1. Позиционная форма игры |
|
|
Прежде чем перейти непосредственно к теме этой главы, мы должны сделать небольшое отступление, касающееся терминологии, поскольку мы будем встречаться с терминами лпол-ная информация, лсовершенная информация, лнеполная, несовершенная информация, и т. д. Чтобы избежать возможных недоразумений, отметим следующее. Информационную структуру игры можно охарактеризовать несколькими способами. Первый подразделяет игры на игры с совершенной и игры с несовершенной информацией. (Хотя мы еще не дали строгого определения позиционной формы игры, мы кратко описали ее в начале гл. 1.) В игре с совершенной информацией каждое информа-ционное множеств одноточечно. В противном случае игра является игрой с несовершенной информацией . В игре с совершенной информацией каждый игрок всегда знает точно, в каком месте дерева игры он находится, нет одновременных ходов, и все игроки наблюдают ходы Природы (если таковые есть). В игре с неполной информацией . Природа делает ход первой и он ненаблюдаем по крайней мере одним из игроков. В противном случае игра является игрой с полной информацией . Игра с неполной информацией является игрой с несовершенной информацией, так как информационные множества некоторых игроков содержат более одной вершины. Необходимо особо подчеркнуть, что термин лнеполная информация используется в литературе часто и в другом, старом смысле, согласно которому в игре с полной информацией все игроки знают правила игры, а в противном случае игра называется игрой с неполной информацией. До 1967 г. об играх с неполной информацией (в этом смысле) говорили, когда хотели сказать, что их невозможно анализировать. Затем Дж.Харшаньи заметил, что любая игра с неполной информацией может быть переформулирована как игра с полной, но несовершенной информацией просто за счет добавления начального хода Природы, когда Природа выбирает между различными правилами. Подробнее по этому поводу см. Rasmussen, 1989. Итак, рассмотрим теперь более подробно позиционную форму игры. Рассмотрим простейший пример - игру лкрестики- нолики на поле 3x3. Перенумеруем соответствующие клетки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Будем обозначать игроков соответственно - X и 0 . Тогда дерево этой игры (в нем информационные множества одноточечны) будет иметь вид, изображенный на рис. 1 (цифры у ребер означают номера клеток, в которых ставится соответствующий X или 0, а в вершине, обозначенной N, ход делает Природа, равновероятно (например, подбрасывается монетка) выбирая очередность хода. При этом необходимо иметь в виду, что дерево отображает все возможные ходы независимо от их разумности. N X 1. Мы не изображаем это дерево полностью, поскольку очевидно, как оно строится. Разумеется, как только выстраивается ряд из трех крестиков или ноликов, то игра заканчивается и победивший игрок получает, скажем, от проигравшего 1 рубль (доллар и пр.). В случае ничьей соответствующие вы-игрыши - это (0,0), т.е. никто никому ничего не платит и ничего не получает. Формально позиционная форма игры описывается с помощью следующих элементов: списка игроков; дерева игры; указания для каждой вершины номера игрока (или Природы - игрок номер 0 ), который должен ходить в этой вершине; списка ходов, доступных игроку в каждой вершине и соответствия между ходами и непосредственно следующими вершинами; информационных множеств; указания выигрышей в каждой терминальной (окончательной) вершине; вероятностного распределения на множестве ходов в каждой вершине, в которой ход делает Природа. Таким образом, мы считаем , что заданы следующие элементы: / = {1,...,га} - конечное множество игроков. Мы имеем дерево игры с конечным множеством вершин X и конечным множеством ходов А. При этом должно быть определено отображение р : X Ч> X U {0}, которое каждой верщине х ставит в соответствие единственную непосредственно предшествующую вершину р(х) , за исключением начальной вершины XQ , для которой р(хо) = 0 . Далее, непосредственно следующие за х вершины тривиально определяются по р: s(x) = р~1(х) . Чтобы у нас действительно была древесная структура, необходимо, чтобы множество всех предшествующих и множество всех последующих вершин не пересекались для каждой вершины х (они могут быть найдены с помощью итераций р и s). Множество терминальных (окончательных) вершин Т = {х : в(ж) = 0} . Далее мы должны иметь отображение а : X \ {х0} Ч> А , ставящее в соответствие каждой вершине х , кроме начальной, ход, который из непосредственно предшествующей вершины р(х) приводит к ж и такой, что если х', х" ? в(ж) и х' ф х" , то а(х') ф а(х") . Множество возможных ходов, доступных в вершине х , есть с(х) = {а ? А : а = а(х') для некоторого х' ? в(ж)} . Набор информационных множеств % и отображение Н : X \ Т Ч> % , ставящее в соответствие каждой вершине (кроме терминальной) информационное множество Н(х) ? % . Информационные множества образуют разбиение множества X \ Т. Необходимое требование: все вершины, лежащие в одном информационном множестве имеют одни и те же допустимые ходы, т.е. формально с(х) = с(х') , если Н(х) = Н(х') . Мы можем, таким образом, определить выбор, который до-ступен игроку в информационном множестве Н : с(Н) = {а ? А : а ? с(х) для х ? Н}. Отображение ц : % Ч> I U {0} , ставящее в соответствие каждому информационному множеству Н ? Ц игрока (или Природу, т.е. игрока i = 0), который должен ходить в вершине из этого множества. Будем обозначать через Hi = {Н ? И : fJ,(H) = i} те информационные множества, в которых очередь хода принадлежит игроку i. Функция р : Hq X А Ч> [0,1], ставящая в соответствие ходам в информационных множествах Природы вероятности, удовлетворяющие условию р(Н, а) = 0 для а ? С(Н) и ? р(Н,а) = 1 V Не По- аеС(Н) Набор функций выигрышей и = {tti(-),..., ип(-)} , иг(-) : Т U. Здесь следует заметить, что, формально говоря, мы определили все для конечных множеств, но данные определения могут быть перенесены и на случай бесконечных множеств (вершин, ходов, игроков). Нарисовать дерево уже было бы, разумеется, невозможно (хотя, впрочем, как мы видим, даже Рис. 2. для простейшего варианта лкрестиков-ноликов это не очень просто), но все формальности можно было бы соблюсти, приписывая, скажем, выигрыши не терминальным вершинам, а путям, соответствующим разыгрыванию игры. Важно также отметить, что мы ограничиваемся рассмотрением игр с полной памятью, в которых игроки не забывают то, что они раньше знали, включая свои собственные ходы, сделанные ранее. Игры, изображенные на рис. 2, таковыми не являются. Определение 2.1.1. Игра в позиционной форме называется игрой с совершенной информацией, если каждое информационное множество состоит из единственной вершины. В противном случае игра называется игрой с несовершенной информацией. Здесь мы должны остановиться на центральном для бескоалиционной теории игр понятии стратегии. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.1. Позиционная форма игры" |
|
|