Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
2.3. Совершенное под-игровое равновесие по Нэшу |
|
|
Рассмотрим ситуацию, которая у нас уже была с входом в рынок. Но теперь модифицируем ее слегка, считая (см. Mas- Colell, Whinston, Green), что теперь после входа обе фирмы могут выбирать, воевать или нет (принять) (рис.9). Рис. 9. Нормальная форма игры с одновременными ходами (после входа Е) есть (рис.10): I Война Нет (-3,-1) (1,-2) воина нет (-2,-1) (3,1) Рис. 10. Е В ней равновесие по Нэшу - это (НЕТ, НЕТ). Нетрудно проверить, что в исходной игре есть 3 равновесия по Нэшу в чистых стратегиях ( ае, )'ж ((нет; принять если вход), (война, если Е входит)); ((нет; война, если вход), (война, если Е входит)); ((вход; принять если вход), (принять, если Е входит)). Первые две стратегии для Е не кажутся очень разумными, но стратегии - это, по определению, полный план. Заметим, что (принять, принять) - единственное р.Н. в игре с одновременными ходами. Поэтому естественно ожидать, что обе фирмы сыграют лпринять, следуя за входом Е . Но если это так, то фирма Е должна входить. Поэтому логика последовательной рациональности говорит, что только последнее равновесие должно быть разумным предсказанием. Итак, перейдем к формальным определениям. Определение 2.3.1. Под-игрой игры Г^; в позиционной форме называется такое поддерево дерева исходной игры, что: его начальная вершина - одноточечное информационное множество и оно содержит все последующие (непосредственно и далее) за ней вершины и только их; если вершина х лежит в под-игре, то все вершины х' ? Н(х) тоже лежат в этой под-игре, где Н(х) - информационное множество, содержащее х . На рис. 11 две под-игры - сама игра и игра с одновременными ходами. Обведенная пунктиром часть дерева не является под- игрой. Заметим, что в игре с совершенной информацией каждая вершина (кроме терминальной) инициирует иод-игру. Легко видеть, что в соответствии с определением стратегий в позиционной игре любая стратегия игрока в позиционной игре индуцирует его стратегию в под-игре. Эта стратегия является сужением исходной стратегии на информационные множества игрока, оказывающиеся в под-игре. Определение 2.3.2. Ситуация (набор стратегий) а = (<7i,.. ., ап) в игре в позиционной форме Г^; называется совершенным (под-игровым) равновесием по Нэшу, если она индуцирует равновесие по Нэшу в каждой под-игре. Нетрудно заметить, что в приведенном примере первые два набора стратегий не являются СПРН, так как не индуцируют р.Н. в пост-входной игре. Далее мы для краткости будем писать СПРН вместо лсовершенное под-игровое равновесие по Нэшу . Ясно, что СПРН является р.Н., но не каждое р.Н. является СПРН . В конечных играх с совершенной информацией множество СПРН совпадает с множеством р.Н., которые могут быть получены с помощью обратной индукции. Предложение 2.3.1. В любой конечной игре с совершенной информацией Г^; существует СПРН в чистых стратегиях. Если все выигрыши всех игроков различны в любых двух терминальных вершинах, то оно единственно. Для определения множества СПРН в общей (конечной) динамической игре Г^ процедура обратной индукции может быть обобщена следующим образом: Начинаем с конца дерева игры и определяем равновесия по Нэшу для каждой из лконцевых под-игр, т. е. под-игр, не имеющих собственных под-игр. Выбираем одно из равновесий по Нэшу в каждой из этих лконцевых под-игр и рассматриваем редуцированную игру, в которой эти лконцевые под-игры заменяются выигрышами, получающимися в этих под-играх, когда игроки используют эти равновесные стратегии. Повторяем шаги 1 и 2 для редуцированных игр. Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока не будут определены все ходы в игре Г^;. Набор ходов в каждом из информационных множеств игры Г^; образует СПРН. Если ни на одном из шагов процесса не возникала мно-жественность равновесий по Нэшу, то полученное СПРН единственно. Если же множественность равновесий имела место, то множество всех СПРН получается с помощью повторения этой процедуры для каждого возможного равновесия, возникающего в рассматриваемых иод- играх. Предложение 2.3.2. Рассмотрим игру в позиционной форме Г^ и некоторую ее под-игру S . Предположим, что набор as стратегий является СПРН в под-игре S и пусть Г^; - редуцированная игра, образованная заменой S терминальной вершиной с выигрышами, равными выигрышам, возникающим при игре as. Тогда в любом СПРН а игры Г^;, в которой as - это набор стратегий, которые играются в под-игре S, ходы игроков в информационных множествах вне S должны образовывать СПРН игры Г^; ; если а - СПРН в Ye , то набор а, приписывающий ходы в соответствии с as в информационных множествах из S и ходы в соответствии с а в информационных множествах вне S, является СПРН в Г^; . Доказательства этих предложений можно найти, например, в учебнике Mas-Colell, Whinston, Green. Рассмотрим модификацию нашего примера. Предположим, что есть две части рынка, две ниши - малая ниша (м.н.) и большая ниша (б.н.) (см. рис. 12). Рис. 12. Чтобы найти СПРН, рассмотрим вначале лпост-входную под-игру. Здесь два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях (б.н., м.н.) и (м.н., б.н.). В любом СПРН в этой иод-игре должно индуцироваться одно из этих равновесий по Нэшу. Предположим сначала, что фирмы играют (б.н., м.н.), а следовательно, редуцированная игра будет иметь вид, изображенный на рис. 13. В этом случае Е выбирает входить, следовательно, СПРН - это ( ое , и/) = ((вход, б.н.), (м.н., если Е вошла)). Во втором случае редуцированная игра представлена на рис. 14: Е не вх вх. 1 -1 Рис. 13. Е -1 1 Рис. 14. Следовательно, СПРН (ад , ст/ )= ((не вх., м.н.), (б.и., если Е вошла). Разумеется, как всегда, не все так просто и с СПРН. Рассмотрим следующую игру (Rabin, 1988) (рис.15). Рис. 15. В лкоординационной игре с одновременными ходами между 1 и 3 игроками три равновесия по Нэшу: два в чистых стратегиях, приводящих к выигрышам (7,10,7), и равновесие в сме- шанных стратегиях, дающее выигрыши (3.5, 5, 3.5). Если мы выбираем равновесие, в котором игроки 1 и 3 успешно координируются, то игрок 2 играет L , а игрок 1 - R, ожидая выигрыш 7. Если же мы выбираем неэффективное равновесие в смешанных стратегиях, то игрок 2 сыграет R , а 1 - снова L , ожидая выигрыш 8. Поэтому во всех СПРН игрок 1 играет R. Но, ... тем не менее игроку 1 будет осмысленно сыграть L , если он не увидел возможности координации на 3-м шаге, а поэтому ожидает выигрыш 3^ , но опасается того, что игрок 2 может верить, что при игре на 3-м шаге будет достигнуто эффективное равновесие. Суть здесь в том, что лиод-игровое совершенство предполагает не только, что игроки ожидают р.Н. во всех под-играх, но также и что все игроки ожидают одно и то же равновесие. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.3. Совершенное под-игровое равновесие по Нэшу" |
|
|