Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
2. Переменный спрос на неделимые товары. |
|
|
Спрос каждого агента i есть жг- G {0,1, 2,..., Хг} (мы считаем Xi конечным). Функция затрат С есть отображение прямого произведения [0,%]] = Пг'е/[0> ХЦ в IR+ такое, что из С(0) = 0 и х < х следует С(х) < С(х') . (Подчеркнем, что здесь [0, жг] - интервал целых чисел.) Решением задачи распределения затрат (/, С, х), где х ? [О, АГт], является вектор у ? R1 такой, что у> О И ^Уг = С(х). iei Эта модель обобщает предыдущую модель бинарного спроса, в которой Xi = 1 для любого i. Наша задача - обобщить приведенные выше результаты (для бинарного спроса) на случай переменного спроса. Как и выше, мы начнем со случая фиксированной популяции. Сформулируем две аксиомы - лболвана и аддитивности. Аксиома лболвана (DUM): если diX(x) = 0 для любого х ? [0,X[/j] , то tpi(I,C,x)0 для любого х ? [0,%]], для любого /, С и любого i ? I, где д{С(х) = С(х) - С(х ||г жг- - 1) (д{С(х) = 0, если Xi = 0) обозначает предельные затраты при увеличении спроса агента i с г, - 1 до жг-. Аддитивность (ADD): Рассмотрим обобщение методов приращения в бинарной модели. Зафиксируем перестановку а множества (фиксированного) I и определим метод <7-приращения (или метод упорядоченного приоритета а ) у = ipa (/, С, х) следующим образом: yai = C{x[ai]l 0), Уа2 = С(ж[(7ь(72],0) - С(ж[(71],0), Усгг = - C{x[(Ju_)(Jt_l]l0)1 y Методы приращений (а также их выпуклые комбинации) удовлетворяют ADD и DUM. Однако в В (DUM, ADD) есть много других методов, и мы построим семейство таких методов, называемое методами, порожденными траекториями. Рассмотрим ресурсно монотонный метод рационирования г (для неделимых товаров). Поскольку мы считаем I фиксированным, то будем писать r(t,x) вместо r(I,t,x), где х ? [0,%]] и 0 < t < ж/. (3.3) Уг = YTtLl дгС'(г(1, X))drj{t, X) для любых I, С, х и i, где dri(t,x) = 1, если i = ц является t-м элементом последовательности в(ж) , и dri(t,x) = 0 в противном случае. Метод распределения затрат (3.3) называется методом, порожденным траекторией, поскольку для каждого х доли затрат вычисляются вдоль траектории t Ч> r(t,x), т.е. лвдоль последовательности s(I,x), следующим образом: С (г, (1,ж)) платит агент i\ , C(r(2, х)) - C(r(l, х)) платит агент i2 и т. д. Для фиксированной популяции I имеет место следующая теорема. Теорема 7.3.1. (Wang, 1998). Каждый метод распределения затрат, удовлетворяющий аксиомам DUM и ADD, является выпуклой комбинацией методов, порожденных траекториями (с коэффициентами, зависящими от I, но не зависящими от Сих). Никакие другие методы распределения затрат не удовлетворяют этим аксиомам. Пусть t Чт- r(t,x) описывается последовательностью в(ж) = {ii, i2,..., iXl} , в которой агент i появляется ровно жг- раз. Каждому методу рационирования г , или, эквивалентно, каждому семейству последовательностей в(ж) (одной для каждого х ) из [0,X[jj] поставим в соответствие следующий метод распределения затрат у = популяции нам понадобится, как всегда, аксиома согласованности относительно лболвана (DCY - Dummy Consistering): если diC(x) = 0 для любого х ? [O.XJJJ] , то ср(1, С, ж)[дг-] = tp(I \ г, С, ждг-) для любых х ? [0, , для любых I, С и i. Нетрудно показать, что метод, порожденный траекторией, является согласованным относительно лболвана тогда и только тогда, когда соответствующий метод рационирования согласован (согласованность г означает следующее свойство порождающей последовательности s(I, х): последовательность s(I \ i, ждг-]) получается из s(I, х) удалением всех появлений агента г). Поэтому мы называем метод порожденным согласованной траекторией, если он выводится из согласованного метода рационирования с помощью (3.3). Следствие 7.3.2. Каждый метод из В (DUM, DCY, ADD) является выпуклой комбинацией методов, порожденных согласованными траекториями. В (DUM, DCY, ADD) не содержит других методов. Мы завершим эту главу двумя примерами - методом Шепли-Шубика и методом Аумана-Шепли. Пример 1. Метод ШеплиЧШубика. Среднее арифметическое методов приращения называется также методом Шепли-Шубика: ПЧ1 | / ^ - | V?S(I,C,x) = J2S'[n~^~ '' Е №.иг],0)-С(Ж[5]],0)). j=0 ' SCI\i \S\=s Этот метод не порожден траекторией; он является выпуклой комбинацией методов, порожденных траекториями, а точнее, методов приращений. Интересно, что метод Шепли-Шубика может быть охарактеризован с помощью одной дополнительной (относительно DUM и ADD) аксиомы, а именно аксиомы нижней границы (LC - Lower Bound): где 0(C) Ччисло товаров, не являющихся лболванами для С. Следствие 7.3.3. Метод Шепли-Шубика является единственным методом в В (DUM, ADD), удовлетворяющим LC. Пример 2. Метод АуманаЧШепли. Зафиксируем (/, С) и рассмотрим бинарную задачу (кооперативную игру) с ж/ агентами, в которой каждая единица каждого товара i соответствует одному агенту, так что мы имеем жг- агентов типа i. Обозначим через Iх это новое множество агентов, а через С - функцию затрат на подмножествах Iх : для любой S С Iх C(S) = C(z) , где Z{ - число агентов типа i в S . Применим метод Шепли-Шубика к задаче (Iх, С, Iх) и суммируем (идентичные) доли затрат всех агентов типа i. Получающиеся доли затрат и определяют метод Аумана-Шепли. Для любого вектора t из N1 (т.е. |/|-мерного вектора с натуральными координатами) будем обозначать через лт - {tl)l ( > ~ ТтЧР число монотонных траекторий из 0 в t (в [0, t]). Тогда метод Аумана-Шепли определяется следующим образом: "ж(И) of(I,C,x) = -L V А(*)А(0 Х I f - I C(i), А(Х) ' > V, ОТ где t'i = хг - U (А(0) = 0) . Метод Аумана-Шепли представляется наиболее естественным продолжением пропорционального распределения затрат на случай неоднородных продуктов. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2. Переменный спрос на неделимые товары." |
|
|