Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
1. Бинарный спрос. Значение Шепли. |
|
|
Бинарная задача распределения затрат - это тройка (/, С, х), где I - ко-нечное множество агентов, С : {0,1}п Ч> IR+ - неубывающая функция затрат такая, что С(0) = 0 , х = (жг)ге/ - набор, описывающий спрос жг- каждого агента i, причем жг- = 0 или 1. Поскольку каждый из жг- может принимать только два значения - 0 или 1, то очень удобно вектор спроса х обозначать через S С I (S может оказаться пустым), а именно жг- = 1 в том и только том случае, если i ? S (вспомним здесь нечеткие кооперативные игры и отождествление (простой) коалиции с ее характеристической функцией (см. п. 6.3)). В этом случае функция затрат С ставит в соответствие каждой коалиции S число C(S) , которое интерпретируется как затраты на обслуживание всех агентов из S и только их. Естественно предполагать, что С(0) = 0 и С монотонна: если S С Т, то C(S) < С(Т) для любых S, Т С Iж Решение бинарной задачи распределения затрат (/, С, S) - это набор лдолей затрат у = (уг)ге/ таких, что yi > 0 для любого г и Уг = C(S). Бинарный метод распределения затрат - это отображение ip , ставящее в соответствие каждой задаче (/, С, S) решение y = Идея распределения затрат пропорционально спросу в модели с бинарным спросом сводится к распределению C(S) поровну между всеми агентами из S (оставляя нулевые затраты агентам вне S). Однако этот метод не учитывает лответственности агентов за возникновение затрат. Здесь очевидное требование состоит в том, что агент, спрос которого не порождает затрат, не должен платить ничего, т.е. мы имеем дело с аксиомой лболвана. Обозначим через diC(S) = C(S) - C(S \ i) предельные затраты (сбережения) удаления агента i из коалиции S . Ясно, что diC(S) = 0 для г ^ S . Аксиома лболвана (DUM - Dummy): если д{С{Т) = 0 для любых Т С I, то tpi(I,C,S) = 0 для любых /, S,i и С . Аналогично случаю кооперативных игр агент называется лболваном для функции затрат С, если затраты на его обслуживание нулевые, т.е. C(i) = 0 и беззатратно его добавление к любой коалиции S . Очевидно, что эгалитарный метод (у- = для г G S , yi - 0 для г ? S) этой аксиоме не удовлетворяет. Аксиома аддитивности (ADD - Additivity): ?>(/, СЛ+С2, S) = ?>(/, С1, S)+(p{I, С2, S) для всех /, С1, С2, S. Заметим, что DUM и ADD вместе обеспечивают свойство постоянной отдачи (см. п. 7.2). Если С линейна, т.е. С(х) = cixi 1 то тогда tpi(I, С, S) = CiXi, где ж; = 1, если i ? S, и Xi = 0 для i ? S . Обозначим семейство методов распределения затрат, удовлетворяющих аксиомам аддитивности и лболвана, через В (DUM, ADD). Приведенные аксиомы не вводят ограничений на метод в зависимости от различных сообществ / и V, поэтому здесь мы имеем дело с фиксированным I; меняется S , причем весьма часто даже предполагается, что S = / . Для каждого I метод приращений (Incremental Method) определяет для каждого непустого подмножества S С I (включая S = I) перестановку (упорядочение) a(S) = (<7j,..., (Js) , где s = 15*1 . Далее, доли затрат у = <~ра{1, С, S) вычисляются следующим образом: уг- = 0 для каждого i ? S , y^{s) = C{i{S)), y (3.1) Значение случайного упорядочения (random order value) - это выпуклая комбинация методов приращения, в которой веса не зависят от С . Если мы обозначим через T,(S) множество всех перестановок множества S , значение случайного упорядочения можно переписать следующим образом: у = Отметим, что мы можем выбирать произвольное множество лвыпуклых коэффициентов (т. е. неотрицательных, да ющих в сумме единицу) для любой коалиции S . Например, для S = {1,2,3} мы можем выбрать перестановку (2,1,3), а для S' = {1,2,4} - выбрать перестановку (1,2,4). Наконец, для характеризации значения Шепли нам понадобится еще одна аксиома - аксиома симметричности, которую мы назовем так же, как в п. 7.1, лравным агентам - поровну и которая утверждает, что если два агента симметрично влияют на функцию затрат, то их доли должны быть равными, точнее Равным агентам - поровну (ЕТЕ): Если С(Т Ui) = С(Т U j) для любых i, j ф Т , то (pi(I,C, S) = (pj(I,C, S) для любых S С I, для любых С, i, j- Предложение 7.3.1. (Weber, 1988). Множество значений случайного упорядочения совпадает с множеством В (DUM, ADD) методов распределения затрат, удовлетворяющих аксиомам лболвана (DUM) и аддитивности (ADD). Следующее следствие этого предложения, по сути дела, нам уже хорошо знакомо (см. п. 6.1, где приведена аксиоматика значения Шепли, хотя аксиома симметрии там сформулирована в несколько иной форме). Следствие 7.3.1. Аксиомы DUM, ADD и ЕТЕ однозначно определяют метод распределения затрат - это значение Шепли, т. е. множество В (DUM, ADD, ЕТЕ) содержит единственный метод: ^,-(7, C,S) = J2 1)! J2 diC(T\Ji) для любого i ? S, t = О S' T:TCS\t \T\ = t cpj (/, С', S) = 0, если j ^ S. Это следствие выводится из приведенной выше теоремы Вебера с помощью следующего наблюдения (см. Moulin, 1995): метод из В (DUM, ADD) должен удовлетворять аксиоме, известной как независимость от несущественных затрат (Independence of Irrelevant Costs): если С1 (Г) = С2 (Г) для любых Т С S, то Lp{I,Cl,S) = Lp{I,C2,S) для любых I,Cl,C2,S. Метод приращений и значения случайного упорядочения, определяемые в контексте фиксированной популяции, могут распределять приоритеты (или лвзвешивать различные упорядочения) несогласованно с изменениями S. Поэтому мы должны переключиться на переменную популяцию. Обозначим через АГ максимальное множество (конечное и бесконечное), из которого могут выбираться агенты, через а - порядок приоритетов на А/. На любом конечном множестве S этот порядок индуцирует упорядочение cr(S), а формула (3.1) определяет метод а -приращений. Аналогично, согласованное значение случайного упорядочения является выпуклой комбинацией методов <7-приращений, в которой а варьируется по всем упорядочениям множества N, а коэффициенты не зависят от /, С и S: <р(1, С, S) = Е Kva{S)(I,C,S) для любых I,C,S. (jGS(JV) Следующая аксиома (согласованность относительно лболвана - DCY - Dummy-Consistency) утверждает, что удаление лболвана не влияет на распределение затрат между остальными агентами: если д{С{Т) = 0 для любого Т С I, то для всех S, для любых /, i и С. Следующее предложение, касающееся уже переменной популяции, является следствием теоремы 7.3.1. Предложение 7.3.2. Множество согласованных значений случайного упорядочения совпадает с множеством В (DUM, DCY, ADD). Известно несколько альтернативных характеризаций значения Шепли и значений случайного упорядочения, при которых аксиома аддитивности заменяется другими требованиями. Мы остановимся здесь лишь на двух (причем в контексте фиксированной популяции). В случае значения случайного упорядочения доля агента зависит только от предельных затрат д{С{Т) . Это свойство называется маржинализмом (Marginalism): если д{С1{Т) = diC2(T) для любых Т С S , то (fii(I, С1, S) = (fii(I, С2, S) для любых I, С1, С2, S и i. Значение Шепли однозначно характеризуется аксиомами маржинализма и ЕТЕ (Young, 1985). Другая характеризация значения Шепли основана на так называемом потенциале: P(/,C) = y;(s"1)-(tra"s)!C(5), где n= |/|, s=\S\. SCI П' Значение Шепли можно представить в виде ?>,ж(/, С, S) = diP(S, С') = P(S, С) - P(S* \ г, С). (3.2) С.Харт и А.Мас-Колелл (Hart, Mas-Colell, 1989) показали, что значение Шепли полностью характеризуется существованием некоторого потенциала Р, удовлетворяющего (3.2) и такого, что Р(0,С) = 0. Это сразу видно для случая двух агентов. Действительно, из (3.2) следует, что лза нулевой спрос не нужно платить: из i G S следует уг- = 0. Поэтому С(г)) = C(i) = P(i,C) . Далее положим /={1,2} и вычислим уг- = У1 = Р(1,С)-С( 1), У2 = Р{1, С) - С (2), У1 + У2=С(( 1,2)). Эта система дает нам значение Шепли в случае двух агентов: Ш = (С(1, 2) + C(i) - C(j))/2. (Для произвольного п результат может быть получен по индукции.) |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1. Бинарный спрос. Значение Шепли." |
|
|