Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Оптимизация
| Харчистов Б.Ф.. Методы оптимизации, 2004 | |
критерий Сильвестра |
|
|
Для проверки знакоопределенности матрицы, как правило, используется критерий Сильвестра. Согласно этому критерию, симметричная матрица А является положительно определенной в том и только том случае, если все ее угловые миноры положительны. При этом угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми (причем первыми) номерами. Чтобы проверить симметричную матрицу А на отрицательную определенность, надо проверить матрицу (-А) на положительную определенность. Итак, алгоритм определения точек локальных экстремумов функции многих переменных заключается в следующем. Находится f'(x). Решается система df ( x) = 0, j = 1,n. dxj В результате вычисляются стационарные точки x(i), i = 1,N. Находится f" (x), полагается i=1. Находится f"(x()) . Вычисляются угловые миноры матрицы f"(x()) . Если не все угловые миноры ненулевые, то для определения характера стационарной точки x(i) требуется исследование производных более высокого порядка. При этом осуществляется переход к п.8. В противном случае осуществляется переход к п.6. Анализируются знаки угловых миноров f"(x()) . Если f" (x()) является положительно определенной, то x(i) является точкой локального минимума. При этом осуществляется переход к п.8. В противном случае осуществляется переход к п.7. Вычисляются угловые миноры матрицы [-f"(x(;-))] и анализируются их знаки. Если [- f" (x(i))] является положительно определенной, то f"(x()) является отрицательно определенной и x^) является точ-кой локального максимума. В противном случае f"(x()) является неопределенной и x(i) является седловой точкой. Проверяется условие определения характера всех стационарных точек i=N. Если оно выполняется, то вычисления завершаются. Если условие не выполняется, то полагается i = i +1 и осуществляется переход к п.4. Пример. Определить точки локальных экстремумов функции f (x) = x^ - 2x1x2 + x22 - 3x1 - 2x2 . Решение. Находим первые частные производные /(х): Ч 3 х1 2 х^ 3, - 2 х1 I 2 х^ 2. -л 1 2 5 -л 1 2 дх1 дх2 Решаем систему уравнений 3х2 - 2х2 - 3 - 0, (1) -2х1 + 2х2 - 2 - 0. (2) Разрешаем уравнение (2) относительно х1: 2 х*1 - 2 х2 2 ^ х*1 - х2 1. Подставляя полученное выражение в уравнение (1), находим х2: 3(х2 -1)2 -2х2 -3 - 3х22 -8х2 - х2(3х2 -8) - 0 ^ ^ х(1)2 - 0, х(2 )2 - . 8 3 Соответственно 1 5 х(1)1 Ч-1' х(2 )1 - 3 Х Таким образом, получили две стационарные точки (N - 2): 58 х(1) - (-1, 0) х(2) - 3). Находим вторые частные производные /(х): э2/ , э2/ 0 э2/ 0 ЧJЧ - 6 х1, Ч - -2, Ч^- - 2. Эх? Эх1Эх2 Эх22 Составляем матрицу Гессе /'( х) - ^6 х1 - 2" - 2 2 Определяем характер стационарной точки х(1). Находим f ' ( х(1)) : I - 6 | = -6 < 0, (-6)2 - (-2)(-2) = -16 < 0. -6 -2 2 2 f'(x(1)) = Вычисляем угловые миноры f" (x(1)) : M1 Ч i M 2 ж6 - 2 -2 2 Поскольку все угловые миноры ненулевые, то характер (1) определяется с помощью f (x). Поскольку матрица f" (x(1)) не является положительно определенной, то рассматриваем матрицу [- f'(x^)]: Г6 2" - f (x(1)) = [2 - 2_ Вычисляем угловые миноры [- f" (x(1))]: M2 = M1 6 2 2 - 2 = 6(-2) - 2 Х 2 = -16 < 0 Поскольку матрица [-f" (x(1))] не является положительно определенной, то матрица f" (x(1)) не является отрицательно оп-ределенной. Следовательно, матрица f" (x(1)) является неопределенной и x(1) является седловой точкой. Определяем характер стационарной точки x(2). Находим f \ x(2)): Г 10 - 2" f (W = [-2 2 _ Вычисляем угловые миноры f" (x(2)) : M1 = |10| = 10 > 0, Ч 10 Х 2 - (-2)(-2) - 16 > 0. M2 - 10 -2 -2 2 Поскольку все угловые миноры ненулевые, то характер х (2) определяется с помощью /" (х) . Поскольку матрица /" (х(2)) является положительно определенной, то х(2) является точкой локального минимума. Ответ: функция /(х) - х? - 2х1х2 + х^ - 3х1 - 2х2 имеет в точке х - (5/3, 8/3) локальный минимум. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "критерий Сильвестра" |
|
|