Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Оптимизация
| Харчистов Б.Ф.. Методы оптимизации, 2004 | |
Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной |
|
|
заключается в следующем. Находится f'(x). Вычисляются корни уравнения f'(x)=0 - стационарные точки x^), iе I = {1,2,...,N }, где N - число стационарных точек. Полагается к=2. Находится f(к)(x). Вычисляются значения f(к^ ()) для всех i е I. Если f(к^ )ф 0, то определяется тип стационарной точки x(i) и ее номер исключается из множества I. Проверяется условие определения типа всех стационарных точек 1=0. Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6. Если условие не выполняется, то полагается к=к+1 и осуществляется переход к п.3. Вычисляются предельные (при x - то и x - -то) значения f(x). Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются. В противном случае осуществляется переход к п.7. Вычисляются значения f(x) на множестве точек локальных экстремумов. По наименьшему из полученных значений f определяется точка глобального минимума, по наибольшему из полученных значений f - точка глобального максимума. Пример 1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции f(x) = (1 - x)3. Решение. Находим первую производную f(x): f'(x) = -3(1 - x)2. Вычисляем корни уравнения f'(x) = 0 : - 3(1 - x)2 = 0 - (1 - x)2 = 0 - x(1) = 1. Получили одну стационарную точку (I = {1 }) x^ = 1. Определяем характер стационарной точки. Находим вторую производную f(x): f'(x) = 6(1 - x). Вычисляем значение f"(x) в точке x^) : f\ xa) = 1) = 0. Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную f(x): Г (x) = -6 ф 0. Поскольку порядок к первой необращающейся в нуль в точке x=1 производной есть нечетное число (к=3), то точка x=1 является точкой перегиба (1=0). Вычисляем предельные значения fx): lim f (x) = lim (1 - x)3 = {lim (1 - x) }3 = (1 - то)3 = -то, xЧто xЧто xЧто lim f (x) = lim (1 - x)3 = { lim (1 - x) } = (1 + то)3 = то. xЧ-TO XЧ-TO XЧ-TO Поскольку V = max{ lim f (x), lim f (x)} = +то, xЧто xЧ-to то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку W = min{lim f (x), lim f (x)} =-то , xЧто xЧ-to то f(x) не имеет конечного глобального минимума. Ответ: функция f (x) = (1 - x)3 экстремумов не имеет. Пример 2. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции f (х) = (1 - х)4. Решение. Находим первую производную У(х): f'(х) = -4(1 - х)3. Вычисляем корни уравнения f'(х) = 0 : - 4(1 - х)3 = 0 ^ (1 - х)3 = 0 ^ х(1) = 1. Получили одну стационарную точку (I = { 1 }) х^ = 1. Определяем характер стационарной точки. Находим вторую производную У(х): f'(х) = 12(1 - х)2. Вычисляем значение f" (х) в точке х(1) : f \ х(1) = 1) = 0. Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим третью производную У(х): fт (х) = -24(1 - х). Вычисляем значение f"(х) в точке х^ : f "( ха) = 1) = 0. Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную У(х): f (4)(х) = 24 Ф 0. Поскольку порядок к первой необращающейся в нуль в точке х=1 производной есть четное число (к=4) и f (4)(х) > 0, то точка х=1 является точкой локального минимума (1=0). Вычисляем предельные значения fх): lim f (х) = lim (1 - х)4 = {lim (1 - х) } 4 = (1 - -)4 = ~ lim f (х) = lim (1 -х)4 = { lim (1 -х) }4 = (1 + -)4 = ~ Поскольку V = max{ lim f (х), lim f (х)} = , то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку W = min{lim f (x), lim f (x)} =+то ф-то, xЧто xЧ-TO то f(x) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значение f(x) в точке x=1: f (x = 1) = 0. Определяем точку глобального минимума f(x): min f (x) = min {f (x = 1), W }= min {0, + то }= 0 = f (x = 1). xeR1 Таким образом, точка x=1 является точкой глобального минимума fx). Ответ: функция f (x) = (1 - x)4 имеет в точке x=1 глобальный минимум. Пример 3. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функции f (x) = Ч. 1 + x 2 Решение. Находим первую производную f(x): f'(x) : 1 + x2 - x Х 2 x 1 - x2 (1 + x2)2 (1 + x2)2 Вычисляем корни уравнения f'(x) = 0 : 1 - x 2 2 0 - 1 - x2 = 0 - x(12) =1. /1 2\2 ~ (1,2) (1 + x2)2 ^ ; Получили две стационарные точки (I = {1, 2 }) : x(1) = 1, x(2) = -1. Определяем характер стационарных точек. Находим вторую производную f(x): Д = - 2x(1 + x2)2 - 2(1 + x2 )2x(1 - x2 ) = 2x(x2 - 3) f (x) = (1+77 = (1 + x2)3 " Вычисляем значение f " (x) в точке x^) : f'(х(1. = 1) = = -4 = -0,5 < 0. J У (1) 7 (1 +1)3 8 ' Следовательно, х=1 является точкой локального максимума (I = {2 }). Вычисляем значение f" (х) в точке х(2) : f "(х(2) = -1) = - 2(1 - 3) = 4 = 0,5 > 0. J У (2) 7 (1 +1)3 8 ' Следовательно, х = -1 является точкой локального минимума (1=0). Вычисляем предельные значения ДХ): lim f (х) = lim -х-г = lim \ = lim \ ^ = = 0, хЧ~ хЧ~ 1 + х хЧ~ х (1 +1/х ) хЧ~ х(1 + 1/х ) 1 х 11 lim f (х) = lim = lim jЧЧ = = 0. хЧ-~ хЧ-~ 1 + х хЧ-~ х(1 +1/х ) (-~)1 Поскольку V = max{ lim f (х), lim f (х)} = 0 ф , хЧ~ хЧ то ДХ) имеет конечный глобальный максимум. Поскольку W = min{lim f (х), lim f (х)} = 0 ф , хЧ^^ хЧ тоДХ) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значения ДХ) в точках локальных экстремумов: f (х = 1) = -i- = 0,5; 1 +12 -1 f (х = -1) = Цр = -0,5. 1 + (-1)2 Определяем точку глобального минимума ДХ): min f (х) = min {f (х = -1), W } = min {- 0,5; 0}= -0,5 = f (х = -1). хеН1 Таким образом, точка х = -1 является точкой глобального минимума ДХ). Определяем точку глобального максимума f(x): max f (x) = max{f (x = 1), V } = max{0,5; 0}= 0,5 = f (x = 1). xeR1 Таким образом, точка x = 1 является точкой глобального максимума f(x). x Ответ: функция f (x) = имеет в точке x = -1 гло- 1 + x бальный минимум, а в точке x =1 - глобальный максимум. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной" |
|
|