Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида |
|
|
Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результатов при отказе от этого предположения. Существование равновесия Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равновесие Курно существует. ! Теорема 24. j Предположим, что в модели Курно выполнены следую- I щие условия: j 1) функции издержек с^у) дифференцируемы при всех j возможных объемах выпуска (неотрицательных у), ! 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает j при всех неотрицательных у, j 3) функция р(у + у') ж у вогнута по у при любом у > 0, ! 4) функции издержек с3(у) выпуклы (функции предель- j ных издержек не убывают) , j 5) существуют у^> 0 j = 1, ..., п такие, что р(у^) < Cj{yi) при | и > У г ! Тогда равновесие Курно (г/i, ..., уД) существует, причем I У V/. Доказательство. Доказательство оставляется в качестве упражнения. Ниже приводится возможная схема такого доказательства. 1) Докажите, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем г/-. Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. Можно использовать тот же способ доказательства, что и для монополии. При этом аналогом сово- v купного излишка будут функции ^p(t)clt - Cj(y) -сДО). При доказа- 0 тельстве удобно учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм У" есть константа, поэтому задача макси- мизации прибыли по у} сводится к максимизации прибыли по Упри ограничении V" Докажите непрерывность и вогнутость функции прибыли каждого участника при любых ожиданиях относительно выбора других. Воспользуйтесь теоремой Нэша. ж Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало полезен для анализа олигополисти- ческого рынка. Без информации, характеризующей равновесие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Следующие далее утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равновесием и равновесием в ситуации совершенной конкуренции. Сравнение равновесия Курно с равновесием при совершенной конкуренции Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации. ! Теорема 25. j (1) Предположим, что равновесие Курно, (г/i, ..., уД), и ! равновесие при совершенной конкуренции, (уи ..., уп), j существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает. ! п ! Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно, Y* = ^г/;, ! i=i j не превышает суммарный выпуск в условиях совершен- i п \ ной конкуренции, Y = Yjji- ! <=1 j (2) Если, кроме того, выполнены следующие условия: ! - F>o, j - обратная функция спроса, р(у), и функции издержек, j сж(?/), j= 1, ..., п дифференцируемы при всех неотрица- j тельных у, причем p'(Y*) < О j - функции издержек, с ж(?/), выпуклы, ж то Y* меньше Y.? Доказательство. Поскольку выпуск yj максимизирует прибыль j-ovo производителя в предположении, что суммарный объем производства остальных равен Y-3, то должно выполнятся неравенство P(Y*) у* - с3(у]) ж p(Y*-j + у ) у - г (// ). С другой стороны, у3 дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна p(Y), поэтому P(Y) у3 - с3(у3) > p(Y) у* - с3(у3). Если сложить эти два неравенства, то получается р(У) у] + p(Y) у3 > P(Y:3 + у3) у3 + p(Y) у]. (*) Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии: Vi > У г При убывающей функции спроса из этого неравенства следует, что p(Y:3 + y3)>p(Y*). Поскольку у ж > 0, то из этого следует, что p(Y*j + у3) у3 > p(Y*) у3. Сложив это неравенство с неравенством (*), получим P(Y*) у* + p(Y) у3 > p(Y*) у3 + р{?) у* или [p(Y')-p(Y)](y*-y3)^ 0.^ Поскольку мы предположили, что у3 > у3, то p(Y*)^p(Y). В силу убывания функции спроса это означает, что Y* < Y. С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено у3 < у -. Суммируя по j, получаем, что Y* < Y Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. Y* = Y. Может быть только два случая: либо у3 = у3 для всех j= 1, ..., п, либо у3 < у, для некоторого j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого у3> 0 и у3< у3. Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид Из выпуклости функции издержек следует, что ' '(.'/ > < ' '(.'/ )- Таким образом p(Y*J+p'(Y*)y*^c'3%)=p(Y). С учетом того, что Y* = Y, имеем p{Y*) = p{Y), откуда что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом Y* < Y. ж Симметричность равновесия, положительность выпусков И единственность В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. Cj(y) = с(у), можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность равновесия. I Теорема 26. j Предположим, что равновесие Курно (г/i, ..., уД) сущест- j вует и выполнены следующие условия: ! 1) издержки у всех производителей одинаковы, Cj(y) = \ с (у), j = 1, ..., п, причем с (у) - выпуклая функция; I 2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, j с(у), дифференцируемы; | 3)р(0)>с'(0); j 4) р(у) убывает, j Тогда верно следующее: j (i) Равновесие симметрично: I .'/ ЧV/ I п. j и каждая фирма выпускает в равновесии положитель- I ное количество продукции, т.е. ! .'/ "-V./ I п. \ (ii) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равно- ! весие единственно.? 100 Доказательство. Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j и к, такие что > гд. Тогда из условий первого порядка следует, что р'(У) (Ук - у]) < с'(у к) - С [у]). Но левая часть данного соотношения положительна, а правая - неположительна. Таким образом, выпуски всех производителей совпадают: У3= - Vj. Суммарный выпуск отрасли, Y*, не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что р(0)-с'(0)<0, а это противоречит условию теоремы. Таким образом, у3 >0,V j. Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде р(Г)+р'(Г)^Г-с'^Г)= О, или ^р(Г) +р(Г)Г] -с'й=0. Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная Р(У) + Р'(У)У не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убы-вает. Отсюда следует единственность объема Y*, удовлетворяющего данному уравнению. ж Нижеприведенный пример показывает, что в случае, если функции издержек олигополистов не совпадают, то нельзя гарантировать симметричность равновесия и положительность выпусков; объемы выпуска в модели Курно у некоторых участников могут быть и нулевыми. Пример 12. Пусть в дуопольной отрасли р(у) = 4 - 4у, с^у^ = 2г/Д с2(у2) = 2у2+3у1. Легко проверить, что равновесием Курно в этом случае будет точка ух = 1/3, у2 = 0. ^ Еще один пример показывает, что условие дифференцируе- мости функции спроса важно для симметричности и единственности равновесия Курно. Пример 13. Пусть в дуопольной отрасли и с3(у) = у2/4, j = 1, 2. В такой отрасли помимо симметричного равновесия, (1/2, 1/2), существует бесконечно много асимметричных равновесий, в которых суммарное производство равно 1, например, (1/3, 2/3). Ф Поведение равновесия в модели Курно при росте количества фирм Тот, кто изучал начальный курс микроэкономики, мог встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные ), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной. Докажем вари- ант этого утверждения в частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. Cj(y) =с(у). \ Теорема 27. ! Предположим, что равновесие Курно, (г/i, ..., уД), и рав- j новесие при совершенной конкуренции, (г/ъ ..., уп), суще- j ствуют при любом п > 2, и выполнены следующие усло- ! вия: ! 1) cj(y) = с(у); 3 = 1; > причем с(у) - выпуклая функ- | ция; j 2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а j функция р(у) у вогнута ; ! 3) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, j с (у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрица- ; тельных у, ! 4) с'(0) > 0, р(0) > с'(0) и существует величина Y такая, j что p(Y) =с'(0). I Тогда j (i) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участни- j ками, YД, растет с ростом п и меньше величины Y ; ! (ii) выпуск отдельного участника, YД/n, падает с ростом j п, причем lim Д^xYД/n = 0; j Д Y'*Д Y*Д j (iii) прибыль отдельного участника, p(YД)~ - na- j дает с ростом n; j (iv) lim Д , , Y"Д lim Д , , YД Y , j где YД - суммарный выпуск тех же предприятий в ус- j ловиях совершенной конкуренции. Доказательство. Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции: и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде? Решение этого уравнение будет единственным (по Теореме 26) равновесием Курно. (i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+ 1 и п олиго- полистами: p(Y'ln) + p'(Y*Д+i) = Х и Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с ростом числа ол иго пол истов. Предположим, обратное: существует такое п, что YД, < YД. При этом из убывания обратной функции спроса следует, что np(Yln) > np(Yl) и 0 > p'(Yl) ^f. Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. p(Yln) +р (Yin) Yin > p(Yl) + p'(Yl)Yl. Сложив три последние неравенства, получим np(Y Д+i) + p(Y Д+i )+p'(Y П+1 ) Y n+l > np(Yl) + p'(Yl) ^f + p(Yl) + p'(Yl) Yl. или (n+l)[p(Y-;+i) +p'(Yln) Ifrl > + +P'(Yl) Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для Y"Д+i и YД соответственно, по-этому /A ^ /А Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если Y n+l ^ Y Д /г+1 п ' но это противоречит исходному предположению о том, что YД+1 < YД. Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства YД возрастает по п. Чтобы доказать, что YД < Y достаточно доказать, что YД < Y , поскольку, согласно Теореме 25, YД < YД. Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем р(УД)=с'&)2сЩ=р(у). Поскольку, по предположению, обратная функция спроса убывает, это означает, что YД < Y . (ii) Мы хотим доказать, что YД/n является убывающей после-довательностью. Поскольку р(у) у - вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому < P(YI)yi+[р(К)+- Y*Д) или [p(lCi) - p(Yl)]Yln < p'(Yl)Yl(Yln - Yl). Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде -i л+1 Пусть доказываемое неверно и для какого-то п выполнено Y п+1 > ^ п П+1 ^ П ' т.е. 1. 1 п+1 Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что p'(Yl)< О, ЧТО поскольку p'(YД) < 0. Так как Y п+1 >Y л, то из убывания обратной функции спроса при п ' 2 следует, что? Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при Y'Дn > YД выполнено p(Yln) + р (Yin) Yin < p(Yl) + p'(Yl)Yl. Складывая три последние неравенства, получим, что np(Y Д+i) + p(Y Д+i )+p'(Y n+i) Y Д+i < np(Yl) + p'(Yl) ^f + p(Yl) + p'(Yl) Yl. Приводя подобные и разделив на n+l, получим p(Yln) + p'(Yln)}^ с'(^т)< c'(lf) Из выпуклости функции издержек получаем требуемое Y n+i Y л п+1 п ' Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е. следует из того, что суммарный выпуск YД ограничен сверху величиной Y'. (iii) Так как спрос убывает, то при YД, > YД p(Y'ln)Y'ln < p(Y'l)Y'ln- Это неравенство можно переписать в виде p(Yln )^T Комбинируя два неравенства, получим, что ПД+1 < ПД - (c'(-^f) - p(Yl) J^y - ^ где мы обозначили через ПД прибыль отдельного участника в отрасли с п фирмами в точке равновесия Курно: ПД= P(Yl)^-c(^). Из условий первого порядка? c'(^)-P(y:)=P'(Y:)^< о. Y*n+1 Y'n Поскольку то ПД+1 < ПД. (iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно: Здесь YД лежит в интервале [0, У]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом - величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при п Ч> Поэтому Так как YД/ п стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек c'(lf)^c'( 0). Таким образом, p(Yl) ->с'(0) Вспоминая, что с'(0) = p(Y ), получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что Yl Y. Поскольку конкурентный объем производства, YД, лежит между YД и Y , то он стремится к тому же пределу: Yn Y. ж Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов - это довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и по- этому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной. Следующий пример иллюстрирует приведенные выше утверждения в случае линейной функции спроса и постоянных предельных издержек. Пример 14. Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = а - by, а функции издержек имеют вид с ж(?/ж) = cy3(j = 1,..,л), так что каж-дая фирма максимизирует П, = (а - bY) у3 - су j. Условия первого порядка максимума прибыли имеет вид а - bY* -Ъу3 = с. Просуммировав по j, получим па - nbY* - bY* = пс. Таким образом, равновесный объем выпуска равен у- п(а-с) В частности, при дуополии 2{а_с}_ } _ 36 ж Равновесная цена равна * п(а-с) а + пс 6 а-с Р ~ а (/г +1) 6 ~ с + п +1 6 Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен } _ 6 Х То есть, как и следует из теории, Y* < Y. При увеличении количества фирм в олигополии суммарный объем производства все больше сближается с объемом при совершенной конкуренции: п (а-с) а-с llm" - (п + 1)Ь ~ 6 ' а цена стремится к предельным издержкам: а + п с . 1ппД п+1 =с.. <Р |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида" |
|
|