Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999

Модель Курно и количество фирм в отрасли


Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистиче- ского рынка в целом, так и отдельных олиго пол истов, мы не касались вопроса положительности прибыли, и по этой причине наш анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным. Возможно, он приемлем для краткосрочной перспективы, но в долгосрочной перспективе анализ должен быть пересмотрен. Любой олигополист сталкивающийся с отрицательной прибылью на некотором рынке при оптимальном поведении вероятнее всего будет рассматривать вопрос об уходе с этого рынка. Аналогично, любой потенциальный производитель решающий вопрос о входе в олигополистическую отрасль, оценивает возможность получения им положительной (неотрицательной) прибыли в случае его входа в отрасль. Как нетрудно догадаться, эти вопросы имеют одну и ту же природу и в простейшей модели, рассматриваемой нами далее, тесно связаны с величиной постоянных (фиксированных) издержек и количеством фирм уже вошедших и действующих в отрасли. Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олиго- полистов одинаковые функции издержек. Мы будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 27. Удобно предста- вить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, /> 0, и переменных издержек, с (у), где с(0)=0:
c(y)=f+c(y).
Пусть у" максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль
П(Л>0.
Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек:
где П(г/) = П(г/) - /. (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.)
Через ПД будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрасли, состоящей из п фирм, а через ПД - прибыль без учета постоянных издержек. При этом П^ - прибыль монополии без учета постоянных издержек.
Как мы доказали ранее, ПД (а, следовательно, и ПД) представляет собой убывающую последовательность. При сделанных нами ранее предположениях прибыль ПД положительна (в том числе, П j > 0) и при увеличении п стремится к 0 (ПД Ч> 0). Читателю пред-лагается установить этот факт самостоятельно.
Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при 0 < f < flj существует единственное целое количество фирм в отрасли л(/) такое, что
пД(Л>/>пД(Л+1
или
ПД(/)>0>ПД(/)+1.
Отметим, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа олигополистов. Таким образом, для каждого / из промежутка (0, flj] определена функция л(/). Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль.
Докажем, что эта функция не возрастает по / и не ограничена сверху. Пусть /'>/". Тогда по определению функции л(/) мы имеем, что ПД(Г) >/'>/"> ПД(/)+1, т.е. ПД(Г) > ПД(/ -)+1 из убывания прибыли по п мы имеем, что n(f ) +1 > n(f ) или n(f ) > n(f ). Не- ограниченность сверху следует из того факта, что п(Цу) = N. Сопоставляя эти два свойства функции л(Х), получим, что
Шп^оЧЛ =-
Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 27).
Мы представили количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистов. Это число должно максимизировать совокупный излишек
r" Y*Д
W(n) = | p(x)dx - nc(-^-).
0
Пусть n - оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистической отрасли.
Следующие рассуждения показывают, что л(/) > ii- 1. По определению п мы имеем, что W(n) ' И'(п 1), или
гл Y* rn-i Y*
| p(x)dx - пс(-тг) > j p(x)dx - (ii - 1 )c(-^Y")
о
или
Y- р Y- Y-
* Y ж
Прибавив к обеим частям p{Yn_x) ^" ^ , получим
ПД_! } p(x)dx-n\c(-^)-c(qr)).
Yl-1
Так как обратная функция спроса убывает, то
У- У-
п п
J p(x)dx < J p{Yl_l)dx=p(Yl_l){Yl-Yl_l)? (1) 106
Таким образом, имеем
Пп-1 >P(YU) Yl + YU) - n - c(^f)} =
В силу выпуклости функции издержек с( ) имеем, что
V- V- V- V- V-
/ 1 n-1 \ / п \ ^ 1/1 л-1 \ /1 л-1 п \
с\~"Т ^ с г^т)
чп-1 п чп-1 чп-1 п Воспользовавшись этим неравенством, получим
> - т) - - IT) (ЙГ-Т> =
Из условий первого порядка
Пй-х > - np'(Fli) ^f (Й1-^) > О-
^ v ' n-1 vn-l п ' Таким образом мы получили, что
ПД_!>0.
Пусть, как и выше, л(/) - количество фирм в отрасли при постоянных издержках /. По определению 0 >ПД(/)+1.
Таким образом, ПД_! > ПД(/)+1. В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем
п - 1 < л (/) + 1
или
п(/) > п - 1.
Это означает, что число фирм в отрасли, л(/), не может быть меньше оптимального числа фирм, п, более чем на 1 фирму. Приведенный ниже пример иллюстрирует случай, когда оптимальное с точки зрения общественного благосостояния количество фирм в отрасли больше, чем при свободном входе для модели Курно.
Пример 15 (продолжение Примера 14).
Для рассмотренного случая, как не трудно получить, прибыль каждого олигополиста равна
тт , , (а-с)2 1
Индикатор благосостояния в зависимости от п равен
w\n)~ 2b 2{n + \)* ь nt- Легко проверить, что для данного примера n(F) = - 1,
где [Х] - оператор взятия целой части. В случае если а = 28, Ъ = 10, с = 10, F= 10 легко проверить что n(F) = 0. Для этих значений параметров значение индикатора благосостояния при п принимающих значения от 0 до 2 равны соответственно W(0) = 0, W( 1) =
172 56
-g^-, W(2) = - уд . Откуда следует, что п = 1 - точка локального
максимума. Непосредственным рассмотрением графика функции W(n) убеждаемся, что п = 1 - будет глобальным максимумом этой функции (после п = 2 эта функция начинает убывать).
Задачи
Покажите, что в случае внутреннего равновесия
а) индекс Лернера для отдельного олигополиста,
p-c'i Р '
прямо пропорционален его доле (5() в суммарном выпуске и обратно пропорционален эластичности спроса;
б) средневзвешенный (с весами з_,) индекс Лернера прямо пропорционален индексу Герфиндаля и обратно пропорционален эластичности спроса.
Индекс концентрации Герфиндаля определяется как
Я = Е 5/.
в) Докажите, что при данном количестве фирм в отрасли индекс Герфиндаля минимален в симметричном равновесии.
г) Рассмотрите симметричные равновесия в лсимметричной отрасли с постоянной эластичностью спроса. Объясните, почему средний индекс Лернера обратно пропорционален количеству олигопол истов.
Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте указания.
Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла, обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие Ха-
p'(Y) + p"(Y) yj<0 и p'(Y) -r"(y ! < О V j, Y, yr
Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение отклика каждого производителя не возрастает, т.е. если Y-j < Y-j, то для любых у) eRjY-j) и у) eRjY-j) выполнено у3 > ул.
Указание. Воспользуйтесь тем, что
ПДУ-;, у)) > ПДУ-;, и II (V . yj) > II (V . //'). Предположите противное (yj < у]) и используйте определение вогнутости функции.
Предположим, что обратная функция спроса р(у) и функция издержек с-(г/) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:
p'(Y) + p"(Y) yj<0 и p'(Y) - г" (у ) < О V j, Y, У]. (*)
Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, это равновесие симметрично, т.е. у* =г/1 Vj, г
Указание: Рассмотрите функции двух переменных TJ(Y,yJ)=p(Y)+p'(Y)yJ
Заметим, что если (г/i,..., уп) - равновесие Курно, то T3(Y\ у]) < О,
причем
Tj(Y', у*) = 0, если у] > О,
где Y*= Y. Vi-
j
Покажите, что в условиях (*) функции Tj(Y , yj) монотонно убывают по обеим переменным. Обозначим это предположение (**). Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производства выполнено Y1 > Y2. Докажите от противного, используя (**), что yj < yj У j. Таким образом, сум- марный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать. Рассмотрите случай Y = Y" и докажите, что у3 = у] Vj.
(3) Докажите симметричность равновесия.
Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (**). Рассмотрите внутренние равновесия Курно при п и п+1 участниках. Покажите, что YД, YД и (/,Д, < (/, Д.
Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполнено предположение (**).
Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии Курно сокращается, а совокупный выпуск возрастает.
Предположим, что выполнено условие (*), функции издержек олигополистов одинаковы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.
Покажите, что если в дуополии Курно предельные из-держки производителей удовлетворяют соотношению
с[(у) >с'2(у),
то в равновесии первый производит меньше, чем второй.
Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны с ж(?/ ж) = С ж, а обратная функция спроса равна
р(у) = ехр(-у).
Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов?
Докажите, что если постоянные издержки олигополистов равны 0, а переменные издержки одинаковы, то прибыль олигополистов положительна и при росте числа олигополистов стре-мится к 0.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "Модель Курно и количество фирм в отрасли"
  1. 14.1.4 Модель Курно и количество фирм в отрасли
    модели, рассматриваемой нами далее, тесно связаны с величиной постоянных (фиксированных) издержек и количеством фирм уже вошедших и действующих в отрасли. Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олигополистов одинаковые функции издержек. Мы будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 138. Удобно представить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, f > 0, и
  2. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    модели Курно 318 модели Штакельберга 320 неустойчивое 65, 379 Нэша 310 общее 375-376 общее конкурентное 382 общее экономическое 24, 379 отрасли 325 по А. Маршаллу 64-66 по Л. Вальрасу 64-65 рыночное 43, 56, 242, 256 сбережений и инвестиций 369 устойчивое 64-65, 379 частичное 23, 376-377 Равновесие системы 410 Развитие низкоэластичной продукции по доходу 423 экономическое 26 Раздел рынка 325
  3. 5.2.1. Олигополия на рынке гомогенного блага
    модели Курно. На основе предпосылок модели дуопо лии Курно можно построить модель ценообразования на рынке с лю бым числом конкурентов. Для упрощения примем, что у всех конкурентов одинаковые эконо мические затраты: ГСг = Igi, где i = I, ..., п. Тогда прибыль i-й фирмы Щ = PQi - hv так как Р = ё ~ h Х^г ' т0 i=I щ =[ё Kvi + Qu + - + Qn)]qi - hi = mi - hqm + hg^n + ... +hqi2 + + ...+ hqiqn - lq{.
  4. 11.4. ЛОМАНАЯ КРИВАЯ СПРОСА ОЛИГОПОЛИСТОВ
    модели Курно), а в терминах цен (как в модели Бертрана). Это соответствует допущению о том, что именно цены, а не количества являются основной управляемой переменной. В случае дуополии предположения предприятия 1 об изменении цены предприятием 2 в ответ на изменение его собственной цены (dP2 /dPy) будет нулевым, если dPY положительно, т.е. предприятие 1 повышает цену, и равным единице, если dPj
  5. Вопросы для повторения
    модели. Да Нет Рост постоянных издержек монополиста не изменяет уровень производства, соответствующий максимуму прибыли. Да Нет Выберите правильный ответ (цена ответа 4 балла) 2.1. Если производство в отрасли распределено между несколькими фирмами, контролирующими рынок, то такая структура рынка называется: а) совершенной конкуренцией;. в) олигополией; б) монополистической конкуренцией; г)
  6. Олигополия
    моделей монополии, где рассматривается принятие решений единственной фирмой - монополией, в моделях олигополии рассматривается принятие решений сразу несколькими экономическими агентами - олигополистами, причем результат функционирования каждого из них зависит не только от предпринимаемых им самим действий, но и от действий его конкурентов. Таким образом мы сталкиваемся здесь с феноменом так
  7. Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
    модели Курно выполнены следую- I щие условия: j 1) функции издержек с^у) дифференцируемы при всех j возможных объемах выпуска (неотрицательных у), ! 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает j при всех неотрицательных у, j 3) функция р(у + у') ж у вогнута по у при любом у > 0, ! 4) функции издержек с3(у) выпуклы (функции предель- j ных издержек не убывают) , j 5) существуют у^> 0 j =
  8. 3. Картель и сговор
    моделью Курно с ре-зультатами кооперативного поведения. Как известно, если количество фирм в отрасли мало, то они могут заключить между собой соглашение с целью ослабления конкуренции и увеличения прибыли. Мы начнем с анализа, который показывает, что у фирм, конкурирующих по Курно, есть потенциал для взаимовыгодного соглашения, а затем перейдем рассмотрению двух вариантов таких
  9. Картель
    модель картеля. Поскольку фирмы могут перераспределять прибыль и целевые функции олигополистов квазилинейны по деньгам, то максимум суммарной прибыли есть Парето-оптимум олигополии. Фактически, картель действует как монополия, однако, следует несколько изменить модель, по сравнению со случаем обычной монополии, поскольку у каждой из входящих в картель фирм своя функция издержек. Суммарная прибыль
  10. Олигополия
    моделей монополии, где рассматривается принятие решений единственной фирмой - монополией, в моделях олигополии рассматривается принятие решений сразу несколькими экономическими субъектами - олигополистами, причем результат функционирования каждого из них зависит не только от предпринимаемых им самим действий, но и от действий его конкурентов . Таким образом мы сталкиваемся здесь с феноменом так