Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
Модель Курно и количество фирм в отрасли |
|
|
Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистиче- ского рынка в целом, так и отдельных олиго пол истов, мы не касались вопроса положительности прибыли, и по этой причине наш анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным. Возможно, он приемлем для краткосрочной перспективы, но в долгосрочной перспективе анализ должен быть пересмотрен. Любой олигополист сталкивающийся с отрицательной прибылью на некотором рынке при оптимальном поведении вероятнее всего будет рассматривать вопрос об уходе с этого рынка. Аналогично, любой потенциальный производитель решающий вопрос о входе в олигополистическую отрасль, оценивает возможность получения им положительной (неотрицательной) прибыли в случае его входа в отрасль. Как нетрудно догадаться, эти вопросы имеют одну и ту же природу и в простейшей модели, рассматриваемой нами далее, тесно связаны с величиной постоянных (фиксированных) издержек и количеством фирм уже вошедших и действующих в отрасли. Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олиго- полистов одинаковые функции издержек. Мы будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 27. Удобно предста- вить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, /> 0, и переменных издержек, с (у), где с(0)=0: c(y)=f+c(y). Пусть у" максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль П(Л>0. Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек: где П(г/) = П(г/) - /. (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.) Через ПД будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрасли, состоящей из п фирм, а через ПД - прибыль без учета постоянных издержек. При этом П^ - прибыль монополии без учета постоянных издержек. Как мы доказали ранее, ПД (а, следовательно, и ПД) представляет собой убывающую последовательность. При сделанных нами ранее предположениях прибыль ПД положительна (в том числе, П j > 0) и при увеличении п стремится к 0 (ПД Ч> 0). Читателю пред-лагается установить этот факт самостоятельно. Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при 0 < f < flj существует единственное целое количество фирм в отрасли л(/) такое, что пД(Л>/>пД(Л+1 или ПД(/)>0>ПД(/)+1. Отметим, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа олигополистов. Таким образом, для каждого / из промежутка (0, flj] определена функция л(/). Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль. Докажем, что эта функция не возрастает по / и не ограничена сверху. Пусть /'>/". Тогда по определению функции л(/) мы имеем, что ПД(Г) >/'>/"> ПД(/)+1, т.е. ПД(Г) > ПД(/ -)+1 из убывания прибыли по п мы имеем, что n(f ) +1 > n(f ) или n(f ) > n(f ). Не- ограниченность сверху следует из того факта, что п(Цу) = N. Сопоставляя эти два свойства функции л(Х), получим, что Шп^оЧЛ =- Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 27). Мы представили количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистов. Это число должно максимизировать совокупный излишек r" Y*Д W(n) = | p(x)dx - nc(-^-). 0 Пусть n - оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистической отрасли. Следующие рассуждения показывают, что л(/) > ii- 1. По определению п мы имеем, что W(n) ' И'(п 1), или гл Y* rn-i Y* | p(x)dx - пс(-тг) > j p(x)dx - (ii - 1 )c(-^Y") о или Y- р Y- Y- * Y ж Прибавив к обеим частям p{Yn_x) ^" ^ , получим ПД_! } p(x)dx-n\c(-^)-c(qr)). Yl-1 Так как обратная функция спроса убывает, то У- У- п п J p(x)dx < J p{Yl_l)dx=p(Yl_l){Yl-Yl_l)? (1) 106 Таким образом, имеем Пп-1 >P(YU) Yl + YU) - n - c(^f)} = В силу выпуклости функции издержек с( ) имеем, что V- V- V- V- V- / 1 n-1 \ / п \ ^ 1/1 л-1 \ /1 л-1 п \ с\~"Т ^ с г^т) чп-1 п чп-1 чп-1 п Воспользовавшись этим неравенством, получим > - т) - - IT) (ЙГ-Т> = Из условий первого порядка Пй-х > - np'(Fli) ^f (Й1-^) > О- ^ v ' n-1 vn-l п ' Таким образом мы получили, что ПД_!>0. Пусть, как и выше, л(/) - количество фирм в отрасли при постоянных издержках /. По определению 0 >ПД(/)+1. Таким образом, ПД_! > ПД(/)+1. В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем п - 1 < л (/) + 1 или п(/) > п - 1. Это означает, что число фирм в отрасли, л(/), не может быть меньше оптимального числа фирм, п, более чем на 1 фирму. Приведенный ниже пример иллюстрирует случай, когда оптимальное с точки зрения общественного благосостояния количество фирм в отрасли больше, чем при свободном входе для модели Курно. Пример 15 (продолжение Примера 14). Для рассмотренного случая, как не трудно получить, прибыль каждого олигополиста равна тт , , (а-с)2 1 Индикатор благосостояния в зависимости от п равен w\n)~ 2b 2{n + \)* ь nt- Легко проверить, что для данного примера n(F) = - 1, где [Х] - оператор взятия целой части. В случае если а = 28, Ъ = 10, с = 10, F= 10 легко проверить что n(F) = 0. Для этих значений параметров значение индикатора благосостояния при п принимающих значения от 0 до 2 равны соответственно W(0) = 0, W( 1) = 172 56 -g^-, W(2) = - уд . Откуда следует, что п = 1 - точка локального максимума. Непосредственным рассмотрением графика функции W(n) убеждаемся, что п = 1 - будет глобальным максимумом этой функции (после п = 2 эта функция начинает убывать). Задачи Покажите, что в случае внутреннего равновесия а) индекс Лернера для отдельного олигополиста, p-c'i Р ' прямо пропорционален его доле (5() в суммарном выпуске и обратно пропорционален эластичности спроса; б) средневзвешенный (с весами з_,) индекс Лернера прямо пропорционален индексу Герфиндаля и обратно пропорционален эластичности спроса. Индекс концентрации Герфиндаля определяется как Я = Е 5/. в) Докажите, что при данном количестве фирм в отрасли индекс Герфиндаля минимален в симметричном равновесии. г) Рассмотрите симметричные равновесия в лсимметричной отрасли с постоянной эластичностью спроса. Объясните, почему средний индекс Лернера обратно пропорционален количеству олигопол истов. Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте указания. Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла, обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие Ха- p'(Y) + p"(Y) yj<0 и p'(Y) -r"(y ! < О V j, Y, yr Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение отклика каждого производителя не возрастает, т.е. если Y-j < Y-j, то для любых у) eRjY-j) и у) eRjY-j) выполнено у3 > ул. Указание. Воспользуйтесь тем, что ПДУ-;, у)) > ПДУ-;, и II (V . yj) > II (V . //'). Предположите противное (yj < у]) и используйте определение вогнутости функции. Предположим, что обратная функция спроса р(у) и функция издержек с-(г/) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию: p'(Y) + p"(Y) yj<0 и p'(Y) - г" (у ) < О V j, Y, У]. (*) Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, это равновесие симметрично, т.е. у* =г/1 Vj, г Указание: Рассмотрите функции двух переменных TJ(Y,yJ)=p(Y)+p'(Y)yJ Заметим, что если (г/i,..., уп) - равновесие Курно, то T3(Y\ у]) < О, причем Tj(Y', у*) = 0, если у] > О, где Y*= Y. Vi- j Покажите, что в условиях (*) функции Tj(Y , yj) монотонно убывают по обеим переменным. Обозначим это предположение (**). Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производства выполнено Y1 > Y2. Докажите от противного, используя (**), что yj < yj У j. Таким образом, сум- марный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать. Рассмотрите случай Y = Y" и докажите, что у3 = у] Vj. (3) Докажите симметричность равновесия. Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (**). Рассмотрите внутренние равновесия Курно при п и п+1 участниках. Покажите, что YД, YД и (/,Д, < (/, Д. Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполнено предположение (**). Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии Курно сокращается, а совокупный выпуск возрастает. Предположим, что выполнено условие (*), функции издержек олигополистов одинаковы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли. Покажите, что если в дуополии Курно предельные из-держки производителей удовлетворяют соотношению с[(у) >с'2(у), то в равновесии первый производит меньше, чем второй. Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны с ж(?/ ж) = С ж, а обратная функция спроса равна р(у) = ехр(-у). Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов? Докажите, что если постоянные издержки олигополистов равны 0, а переменные издержки одинаковы, то прибыль олигополистов положительна и при росте числа олигополистов стре-мится к 0. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Модель Курно и количество фирм в отрасли" |
|
|