Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
Дискриминация второго типа: пакетная дискриминация |
|
|
В общем случае монополист может предложить потребителям на выбор к пакетов: (ж-, tj), j= 1, ..., к. Задача монополиста состоит в том, чтобы выбрать пакеты так, чтобы получить наибольшую прибыль (от тех пакетов, которые ему удастся продать). Прежде всего, приведем модель к эквивалентному, но более простому ВИ-ДУ- Во-первых, отметим, что нам достаточно рассмотреть случай, когда монополист предлагает только два пакета (к = 2). (Читатель может сам провести рассуждения, доказывающие это.) Во-вторых, вспомним факт, упоминавшийся выше в контексте дискриминации первого типа, что если ограничение участия не выполнено, то потребитель уйдет с рынка, и монополист получит такую же прибыль, как и в случае, когда потребитель выбрал пакет вида (xit tt) = (0,0). Поэтому можно ограничится рассмотрением только таких схем, при которых ни один потребитель не уйдет с рынка. Добавим это ограничение - условие участия - к задаче монополиста. Тем самым мы получим эквивалентную задачу (с точки зрения прибыли монополиста), но анализ упростится, так как целевая функция перестанет быть разрывной. В-третьих, мы можем считать, что пакеты помечены индексом участников: (Xl,tt) и (xh,th). Первый из пакетов предназначен для господина Low, а второй - для господина High. При этом в задачу монополиста добавляется ограничение, которое гарантирует, что ни одному потребителю не выгодно выбирать пакет, который ему не предназначен - так называемое условие самовыявления. Для лгосподина Low условие самовыявления имеет вид а для лгосподина High Ч При добавлении этих ограничений задача остается эквивалентной исходной. Действительно, если потребители лпоменяются пакетами, то можно просто поменять индексы пакетов. Если же все потребители выберут один и тот же пакет, то можно сделать другой пакет совпадающим с выбранным потребителями. В обоих случаях прибыль не изменится. Таким образом, мы будем анализировать модель, в которой монополист выбирает сделки из семейства сделок (xh tt), (xk, tk), задаваемого условиями участия и самовыявления. Если xl < xh, то соответствующая схема оплаты имеет вид {th х ^ ХЬ h, xl Рисунок 50. Персонифицированная дискриминация возможна Сначала покажем графически (см. Рис. 50), что те пакеты, которые монополист выбрал бы при идеальной дискриминации, в данном случае не являются оптимальными. При этом будем использовать дополнительное упрощающее предположение, что предельные издержки постоянны, с > 0. Каждому из типов потребителей при идеальной дискриминации будет предложена сделка ixii ' ) - ixii ' !> причем объем х* будет выбран так, чтобы выполнялось а плата t* будет выбрана равной потребительскому излишку. На Рис. 50 плате господина Low, t*, соответствует площадь А + В + С, а плате господина High, t*k, - площадь А + В + С + D + E + F. Если лперсонифицированная дискриминация неосуществима и потребители обоих типов могут выбирать любую из двух предложенных им сделок, то все они предпочтут сделку первого типа, (ж*, t*). Господин High предпочтет сделку первого типа, поскольку если он покупает ж* блага по цене, равной площади А + В, то его излишек составит величину С, в то время как в случае, когда он соглашается на сделку второго типа, его излишек равен нулю. Таким образом, производитель должен так сконструировать второй тип сделки, чтобы он кому-то был нужен. Для того, чтобы сделка второго типа для господина High оказалась не менее привлекательной, чем сделка первого типа, монополист должен уменьшить взимаемую с него плату на величина не меньшую, чем площадь фигуры С (т.е. vh(x*) - г>,(ж*)). При этом господин High оказывается безразличным к выбору между сделкой первого и второго типа, но мы будем считать, как и ранее, что из ка- ких-то внемодельных соображений он всегда будет предпочитать то, что ему предназначено, т.е. сделку второго типа. Таким образом, оптимальные сделки будут иметь вид [xi, 1'г(жг)) и (xh, г>л(ж!)-[г>л(ж*)-г>г(ж*)]). Рисунок 5L Данная система сделок не оптимальна с точки зрения монополиста Эта система сделок удовлетворяет условию самовыявления: потребитель каждого типа предпочитает предназначенную для него сделку. На Рисунке 50 плата по сделкам второго типа равна площади А + В + D + Е + F. Хотя данная система сделок удовлетворяет условиям участия и самовыявления, она не оптимальна с точки зрения производителя, что проиллюстрировано на Рис. 51. Действительно, монополист может увеличить совокупную прибыль от этих сделок, понижая ж* на Дж,. Если уменьшим ж* на Дж, > 0, тогда прибыль монополиста упадет от того, что он сокращает количество, предлагаемое для сделки первому потребителю на величину площади треугольника й (раньше монополист получал всю площадь В, а сейчас - площадь В за вычетом площади малого треугольника й, т.е. площадь В'). При этом в первом приближении прибыль от каждой сделки первого типа уменьшится на величину, пропорциональную квадрату Дж, (при достаточно малом Дж, площадь треугольника й величина того же порядка, что и (Дж,)2). Напомним, что монополист вынужден обеспечить господину High некоторый излишек, для того, чтобы он не претендовал на сделку, предназначенную для господина Low. Прежнему количеству ж* соответствовал излишек С. Сократив количество ж*, предлагаемое господину Low, на величину Дж,, монополист должен обеспечить господину High излишек С", который меньше С на площадь трапеции й. Площадь этой трапеции в первом приближении пропорциональна Дж,. Таким образом при малых Дж, потери прибыли от сделки с господином Low будут компенсированы увеличением прибыли от сделки с господином High. Тем самым, прибыль монополиста вырастет. Можно продолжать сокращать ж,. При некоторой величине ж, прирост прибыли от сделки с господином High не будет покрывать падение прибыли от сделки с господином Low. По- видимому, должна существовать некоторая величина ж,, которая соответствует оптимальной системе сделок, дающей монополисту максимальную прибыль. Проанализируем теперь задачу отыскания оптимальной системы сделок формально. Мы будем далее предполагать, что монополист имеет дело с /?г, > 0 одинаковыми участниками типа лгосподин Low и mh> 0 одинаковыми участниками типа лгосподин High. Таким образом, оптимальная система сделок {(жг, ?), (xk, 11:) [ определяется решением следующей задачи: П = тг*г + mhth - с(тгжг + mhxh) max Iljulljlt0. при ограничениях: (10 th Vh(xh)-th>Vh(xi)~ti- (2h) (условия самовыявления) Поскольку монополист максимизирует прибыль, то по крайней мере одно из каждой пары ((1Z), (2Z)) или ((1/г), (2h)) ограничений является существенным в точке максимума. В противном случае возможно увеличить прибыль, повысив, не нарушая ограничений, плату для того участника, для которого это не выполняется. Покажем, что для господина Low активным окажется только первое из его ограничений (добровольность), а для господина High, наоборот, только второе (самовыявление). Предположим противное. Пусть выполнено соотношение & = i'h(xh). Подставляя данное соотношение в ограничение самовыявления этого же участника и произведя соответствующие упрощения, получим tFi > г>л(жг). И используя предположение, что г>г(ж) < vk(x) Ух > 0, придем к соотношению й>г>г(жг), которое противоречит ограничению добровольности (1Z). Таким образом, vh(xh) - tl = vh(xFi) - ?. (2/г=) Предположим теперь, что (21) выполнено как равенство, т.е. имеет место соотношение г>,(жг) - ? = г>г(жл) - й. Сложив его с (2h=), получим - Vh(xpi) =v,(xph) - V,(xpi). Представим это соотношение в виде F' F' Xh Xh J v'h(x)dx = J v'l(x)dx. P P XI XI Это равенство противоречит условию, что v\(x) < v'k(x) Ух > 0, (подынтегральное выражение справа всегда меньше, чем подынтегральное выражение слева). Здесь предполагается, что жл^жг, что читателю предлагается установить самостоятельно. Таким образом, для решения задачи выполняется соотношение ? = i'i(xi), Используя существенность ограничений (21) и (1Z), т.е. соотношения (21=), (1 h=), мы можем упростить задачу монополиста, сведя ее к следующей задаче безусловной максимизации: miV^Xt) + m.h[vh(xh) - vh(x,) + г>г(ж,)] - c(m,x,+ mhxh) > mar . В предположении, что монополист предлагает сделки покупателям обоих типов, т.е. хл, хн положительны, необходимым (и достаточным при данных предположениях о функциях полезности) условием оптимальности сделок является, равенство нулю первых производных максимизируемой функции, т.е. оптимум должен удовлетворять двум следующим соотношениям: (mi + >Щ) v'i{xi) - mh v'h{xi) = mlc'{mlxi+ mhXh), v'h(xh) = c'^mpci + m.hxh). Итак, в сделке, предназначенной господину High, предлагаемое количество xh совпадает с оптимальным количеством xh*, (которое он получил бы и при совершенной конкуренции, и при идеальной дискриминации). Но присутствие господина High ока-зывает отрицательное внешнее влияние на господина Low - в предлагаемой ему сделке количество блага ниже, чем при идеальной дискриминации (и в условиях совершенной конкуренции). Действительно, первое условие оптимальности, можно представить в виде т1 г>;(жг) = т1 с '(жm.fci + mhxh) + mh [i>'h(xi) - v\(xTi)]. Откуда следует, что ? v\(xi) > с '(жm.fci + mhxh). Поясним оптимальную систему сделок на графике в случае постоянных предельных издержек, с'(у)=с (см. Рис. 52). Отметим, что оптимальный контракт для господина Low характеризуется тем, что в точке ж, = хл отношение расстояния между кривыми предельной полезности двух участников к расстоянию между кривой предельной полезности господина Low и кривой предельных издержек равно отношению количества участников типа господина Low к количеству участников типа господина High: v'hjxi) - v'i(xi) _ v'h{xi) - v',{xi) _ m, v'i (xi) - с' (жmtxi + mhXK) v't (xi) - с тъ Когда количество потребителей каждого типа одинаково, соответствующие отрезки равны, что и изображено на графике. Согласно оптимальной системе сделок господин High заплатит за свой пакет сумму, равную площади А + В + D +Е + F + G, а господин Low заплатит за свой пакет сумму, равную площади А + В. Приведем сравнение оптимальной пакетной дискриминации с идеальной в частном случае, когда предельные издержки постоянны. Напомним, что при идеальной дискриминации монополист предлагает два пакета {(ж*, t*), (x*k, t*h)}, такие, что v'l(x*l)=c и v'h(x*h) = с, t*l=Vi(Xl) и t*h = Vi( x*h). Поскольку v'h{xh) = c'(mtxi + чщхн) = с, то хи = x*h, т.е. господин High приобретает то же количество благ. Однако он заплатит меньше, чем при идеальной дискриминации. Действительно плата господина High, t*h = v^x*h), равна площади А + В + С +D +Е + F + G, что больше, чем & = t*h + ?- vh(xl) = t*h - [г>Л(жг) - г>г(жг)] (см. равенство (2h=)), что равно площади А + В + D +Е + F + G. Разница, г'Л(жг) - г'г(жг), есть площадь фигуры С. Таким образом присутствие господина Low (и то обстоятельство, что монополист их не может различать) оказывает благоприятное влияние на уровень благосостояния господина High (тем большее, чем больше число участников первого типа). При идеальной дискриминации если г^(0) > с (и, следовательно, г^(0) > 0), то ж* > 0 и x*h > 0. При оптимальной пакетной дискриминации эти условия гарантируют лишь, что ж 1 > 0 (вне зависимости от количества участников обоих типов, ??г, и mh), т.е. любой участник типа лгосподин High будет обслуживаться. Однако участники типа лгосподин Low будут обслуживаться только если доля таких участников достаточно велика. (Докажите это самостоятельно.) 3. Если присутствует хотя бы один участник типа лгосподин High, объем потребления блага потребителями типа лгосподин Low будет меньше, чем при идеальной дискриминации. Это означает, что будут иметь место потери благосостояния: DL = т1 ж ([г'г(ж,*) + vh(xh*) - (х'+х^)с\ - [г>г(жг) + vh(xl) - (жг + м)с]) = = mi ж (vi(x') - г'г(ж') - (х' - Xl )с) > Итак, от невозможности различения участников монополистом при пакетной дискриминации Low ничего не выиграл и не проиграл (он выплачивает весь свой потребительский излишек), хотя его уровень потребления изменился, выиграл High (получил выигрыш, равный площади С), а монополист проиграл (его прибыль уменьшилась на величину m.h-(площадь С) + т, (площадь G)). В результате возникли чистые потери благосостояния, измеряемые величиной ш, (площадь G). На Рис. 53 представлена оптимальная схема в другой системе координат. Поскольку у господина Low не остается потребительского излишка, то его кривая безразличия, проходящая через точку (хл, ?), должна также проходить через начало координат (напомним, что мы приняли г>;(0) =0). Господин High безразличен к выбору между пакетами, поэтому его кривая безразличия, проходящая через точку (хл, ?), должна проходить также и через точку (xi, &). Пример 9. Пусть функции полезности господина Low и господина High имеют вид щ(хь zt) + zt и uh(xh, zh) = + zh, соответствен- но, а функция издержек линейна: с(х) = сх. Тогда оптимальные объемы xi, где г = I, h, для этих типов потребителей находятся из системы уравнений: , 1 1 \mi + >Щ) 1Чр - mh~j= = т1 с, 2л\хл у] xi 1 "S/Xh Если ш, > тъ , то решение этой системы уравнений существует (в противном случае будут предлагаться сделки только одного типа): р _ 1Щ-1Щ 2 р _ 1 2 шг с ) Xh~~c~- При этом плата за приобретаемое благо будет равна: р / Р\ / Р\ , / Р\ 3 771ТПг, и = vh{xh) - vh(xi) + vt(xi) = 2 ,щс . В частном случае, когда шг относится к mh как 2 к 1, получим р_ 1 Р_ 1 Xl ~ Тбс2"' Xh ~ ~сГ' Р р 7_ tl ~ 4с ' th ~ 4с Х Получается, что господин Low платит за единицу блага 4с, а господин High - "тр Найдем также чистые потери общественного благосостояния. Они равны: DL = ml ж (i'i(x') - i'i(xi) + с(хл + xl) - c(x* + xl)) = = mi ж (Vl(X') - Vl(^) + - x*)c). Напомним, что x * = поэтому nr - f-L- mi ~ Г/ mi ~ ' 2 1 ~| Л mh DL-mr^2c~ 2 ml с + |_( 2 m,c ) 4m,c ' Когда доля участников типа лгосподин High пренебрежимо мала по сравнению с долей участников типа лгосподин Low, то схема оплаты приближается к схеме оплаты при идеальной дискриминации, и потери благосостояния близки к нулю. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Дискриминация второго типа: пакетная дискриминация" |
|
|