Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
4.4.2 Функция издержек |
|
|
По аналогии с Задачей 3 рассмотрим следующую задачу Задача 4. wr ^ min r r е V(у). Обозначим множество цен факторов, на котором существует решение Задачи 4 при объеме выпуска у, через W (у). Определение 41: Функция издержек c(w, у) - это значение целевой функции Задачи 4; для каждого вектора выпуска у и вектора цен факторов w е W(у) она указывает минимальную величину издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести у. Рис. 4.12. Построение функции издержек Если технологическое множество задано производственной функцией y ^ f (r), то Задача 4 примет вид: wr ^ min r y < f(r). Функция издержек обладает следующими свойствами. Теорема 57 ((Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)): Функция издержек c(w, y) положительно однородна первой степени по ценам факторов: c(Aw, y) = Ac(w, y) Vy, Vw G W(y); монотонна по ценам факторов и выпуску при ????; вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W(у); непрерывна по ценам на внутренности множества W(y), int W(y). J Доказательство: Доказательство свойств (1), (3) и (4) аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения. Докажем только монотонность функции издержек. w' Z= w ^ c(w',y) > c(w,y) Vw, w' G W(y). Пусть r > 0 - оптимальные затраты при ценах факторов w и выпуске y, т. е. wr = c(w, y). Из w' Z= w, следует, что c(w, y) = wr < w'r ^ c(w', y). ж В дальнейшем нам понадобится также понятие функции условного спроса. Определение 42: Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) есть оптимальное решение Задачи 4 при выпуске y и ценах факторов w. Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y. Теорема 58 ((Свойства функции условного спроса на факторы)): Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) однородна нулевой степени как функция цен факторов производства w. Если множество V(у) строго выпукло, то r(w, y) - однозначная непрерывная функция w. J Доказательство: Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения. ж Если, кроме того, функция издержек дифференцируема, то верна следующая лемма Шепарда, связывающая издержки и функцию условного спроса на факторы. Теорема 59: Пусть функция издержек дифференцируема по ценам факторов при объеме производства у . Тогда для всех w е int W (у) выполнено dc(w, у) о = ri(w, у) dwi или Vw c(w, у) = r(w, у). J Доказательство: Зафиксируем цены факторов на уровне w е int W(у). Введем функцию на W (у): Y (w) = c(w, у) - wr(w, у). По определению функции издержек и функции условного спроса Y(W) достигает максимума, равного нулю, в точке w: Y(w) ^ 0 и Y(w) = 0. Если функция издержек дифференцируема по ценам факторов, то функция Y(') тоже дифференцируема. Поскольку точка w внутренняя в W (у), то по условию первого порядка максимума градиент ее должен быть равен нулю: VY (w) = Vw c(w, у) - r(w, у) = 0. ж Как было указано выше, использование функции издержек позволяет рассматривать максимизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии и соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором этапе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая в этом случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками: ру - c(w, у) ^ min . yeYo Здесь через р мы обозначили цены продукции, а через Yo - те объемы производства, которые допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые вместе с у составляют допустимую технологию): Yo = { у | 3r : (Чr, у) е Y } . Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция издержек дифференцируема, и решение рассматриваемой задачи, у, является внутренним (т. е. у е int Yo), то оно характеризуется следующим условием первого порядка: dc(w, у) о = Pk yk, dyk или, в векторной записи, Vyc(w, У) = P. Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки равны цене. На основе решения рассматриваемой задачи можно построить функцию (отображение) предложения. Она указывает оптимальный объем выпуска y как функцию цен продукции p и цен факторов w . Обычно функции издержек используют в моделях частного равновесия (моделях квазилинейных экономик). |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "4.4.2 Функция издержек" |
|
|