Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
17.6. Свойства решений параметрической задачи оптимизации |
|
|
Рассмотрим следующую параметрическую задачу оптимизации: f(x,_) ! max x x 2 X(_). (P) Здесь _ 2 _ - параметр задачи (_ _ Rm), X(_) - множество допустимых решений при данных значениях параметров, которое является подмножеством Rn (X(_) 2 2R n ). Обозначим через x(_) множество точек, являющихся решениями следующей этой задачи при данных значениях параметров _. Обозначим через '(_) значение данной задачи при тех параметрах _, при которых x(_) непу- сто. Заметим, что x(Х) можно рассматривать как отображение. Теорема Вейерштрасса гарантирует непустоту множества _, если множество допустимых решений X(_) является компактным. Определение 105: Отображение X(_) является полунепрерывным сверху в точке ?_ , если для всякого " > 0 суще- ствует _ > 0 такое, что "-окрестность множества X(?_) содержит множества X(_) для всех _ из _ -окрестности ?_ . Отображение X(_) является полунепрерывным снизу в точке ?_ , если для всякого " > 0 существует _ > 0 такое, что для всех _ из _ -окрестности ?_ "-окрестность множеств X(_) содержит X(?_). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно. Теоремы о непрерывности решений параметрической задачи оптимизации являющихся следствия- ми следующего утверждения, известного как теорема Бержа: Теорема 187: Предположим, что отображение X(Х): _ 7! 2R n , и функция f(Х): _ (x,_) _ 2 _, x 2 X(_) 7! R непрерывны в окрестности точки ?_ . Тогда отображение x(Х) является полунепрерывным сверху в точке ?_ . Поскольку постоянное отображение X(_) = X является непрерывным, то следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы Бержа. Теорема 188: Пусть отображение x(Х) ставит в соответствие параметру _ 2 _ (_ _ Rm) множество точек, являющихся решениями следующей экстремальной задачи: f(x,_) ! max x2X . Предположим, что функция f(Х): _ (x,_) _ 2 _, x 2 X(_) 7! R непрерывна в окрестности точки ?_ . Тогда x(Х) является полунепрерывным сверху в точке ?_ . Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерыв- ность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен). Следующие теоремы являются следствиями теоремы Бержа, поскольку, во-первых, полунепрерывное сверху однозначное отображение (функция) непрерывно, во-вторых, отображение, которое ставит в соответствии вектору цен бюджетное множество, непрерывно Теорема 189: Пусть x(p) - множество решений задачи u(x) ! max x px 6 _(p), x 2 X, где p 2 Rn +, X _ Rn , X - замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 2 X. Функция u(Х) непрерывна и строго квазивогнута на X. Если функция _(p) непрерывна и положительна при p = ?p, то функция x(p) непрерывна в точке ?p. Теорема 190: Пусть x(p) - множество решений задачи u(x) ! max x px 6 _(p), x 2 X, где p 2 Rn ++, X _ Rn , X - замкнутое, выпуклое множество и 0 2 X. Функция u(Х) непрерывна и строго квазивогнута на X. Если функция _(p) непрерывна и положительна при p = ?p, то функция x(p) непрерывна в точке ?p. Теорема 191: Пусть x(p) - множество решений задачи u(x) ! max x px 6 _(p), x 2 X, где p 2 Rn +, X _ Rn , X - замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0 2 X. Функция u(Х) непрерывна и квазивогнута на X. Если функция _(p) непрерывна и положительна при p = ?p, то выпуклозначное отображение x(p) полунепрерывно сверху в точке ?p. Теорема 192: Пусть x(p) - множество решений задачи u(x) ! max x px 6 _(p), x 2 X, где p 2 Rn ++, X _ Rn , X - замкнутое, выпуклое и множество и 0 2 X. Функция u(Х) непрерывна и квазивогнута на X. Если функция _(p) непрерывна и положительна при p = ?p, то выпуклозначное отображение x(p) полунепрерывно сверху в точке ?p. Теорема 193: Предположим, что выполнены условия теоремы Бержа и x(?_) непусто. Тогда x(Х) непусто в некоторой окрестности точки ?_ , а функция '(Х) является непрерывной в этой точке. Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы. Теорема 194: Рассмотрим задачу (P) с постоянным отображением _(x) = _ . Предположим, что существует пара (?x, ?y), такая что ?y 2 r(?x) и ?y 2 int _ . Предположим, кроме того, что функция f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окрестности точки (?x, ?y), и |r2 yyf(?x, ?y)| 6= 0. Тогда решение задачи (P) существует и единственно при любых x из некоторой окрестности точки ?x, причем функция r(x) непрерывно дифференцируема в этой окрестности. Доказательство: Поскольку ?y является внутренним решением задачи (P) при x = ?x. Это означает, что пара (?x, ?y) удовлетворяет условиям первого порядка: ryf(?x, ?y) = 0. Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относи- тельно соотношения ryf(x, y) = 0 и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = ?r(x), определенная в неко- торой окрестности точки ?x и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности ?r(x) следует, что существует окрестность точки ?x, в которой ?r(x) 2 _ . Поскольку ?r(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f(x, y) строго вогнута по y , то ?r(x) является единственным решением задачи (P) при данном x. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "17.6. Свойства решений параметрической задачи оптимизации" |
|
|