Оптимізація балансу АКБ "Правекс-Банк" з метою покрашення його фінансових показників
Дипломная работа - Банковское дело
Другие дипломы по предмету Банковское дело
Якщо йдеться про оптимізацію траси платежів, то починати потрібно з транспортної задачі лінійного програмування, за допомогою якої загалом і здійснюється вибір найкращого шляху, в нашому випадку фінансових платежів, при заданих умовах і обмеженнях.
- Постановка транспортної задачі
Транспортна задача лінійного програмування формулюється так. Маємо m пунктів відправлення або банківських рахунків А1, А2,..,Аm, у яких знаходяться фінансові запаси відповідно а1, а2,..,аm припустімо, євро. Крім того, є n пунктів призначення банків кореспондентів В1, В2,...,Вn, в яких існують кореспондентські рахунки для отримання b1, b2,...,bn грошових одиниць. Передбачається, що сума всіх переказів дорівнює сумі на таких рахунках, тобто
. (2.1)
Позначимо сij вартість переказу суми від кожного пункту відправлення, тобто нашого банку Аi до кожного пункту призначення Вj. Матриця вартостей С має вигляд
. (2.2)
Потрібно скласти такий план переказів, при якому всі заявки були б виконані й загальна вартість усіх переказів була мінімальною. Таким чином, у якості критерію обрана вартість перевезення вантажу. Критеріями в транспортній задачі можуть бути такі показники: відстань, час, потужність та ін. Транспортна задача, в якій виконується умова, називається закритою. Задача, у якій ця умова не виконується, називається відкритою.
Ми будемо розглядати саме такий випадок, бо 95% усіх крупних банківських переказів здійснюються строго з одного рахунку на інший.
Математичне формулювання транспортної задачі може бути подано у такому вигляді: нехай xij обєм переказу, що відправляється з i-го пункту відправлення Аi в j-й пункт призначення Вj (), xij 0. Змінні xij повинні задовольняти нерівностям (2.3. 2.9.).
Будь-яку сукупність значень xij ( ) називають планом переказів. План, що задовольняє умовам (2.3) - (2.9), називають припустимим. Ранг системи (2.3) - (2.8) дорівнює r = m + n 1, тоді в ній (m + n 1) базисних та (m1)(n1) вільних змінних. Тому план, у якому відмінно від нуля не більш m + n 1 змінних, а інші рівні нулю, називають опорним.
Оптимальний план це такий план, що серед усіх припустимих має найменшу вартість перевезень. Пошук оптимального плану виконується за допомогою транспортної таблиці 2.1.
Вартість переказу поміщають у правому верхньому куті клітин таблиці. Клітини таблиці, у яких будемо записувати відмінні від нуля перевезення , називаються базисними. Таких клітин не більш ніж m+n1. Порожні клітини називаються вільними, їх не менше (m1)(n1).
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
. (2.9)
Таблиця 2.1 Транспортна таблиця
Усі подальші дії по вирішенню транспортної задачі будуть зводиться до перетворення транспортної табл. 2.1, тобто до двох етапів:
а) відшукування першого розвязання методом „північно-західного кута”;
б) пошуку оптимального розвязання задачі за допомогою методу потенціалів.
Проте перед нами стоїть завдання залучити до математичної моделі такі обмеження, які неможливо задати в рамках транспортної задача, тому доцільним є використання іншого методу оптимізації методу Ньютона.
- Метод Ньютона
Якщо виходити з того, що необхідним етапом знаходження рішення задачі:
(2.10)
де f: Rm ? R, є етап знаходження стаціонарних точок, тобто точок, задовольняючих рівнянню:
(2.11)
(позначення F для f?? ми зберігатимемо), тож можна спробувати вирішувати рівняння (2.11) відомим методом Ньютона рішення нелінійних рівнянь:
xn+1 = xn ? [F?(xn)]?1F(xn). (2.12)
Для задачі (2.10) цей метод називається методом Ньютона безумовній оптимізації і задається формулою:
xn+1 = xn ? [f??(xn)]?1f?(xn). (2.13)
Формулу (2.12) можна вивести, виходячи з таких міркувань. Припустімо, що xn деяке наближене рішення рівняння (2.11). Тоді якщо замінити функцію F в рівнянні (2.11) її лінійним наближенням:
Стосовно задачі (2.10) ці міркування виглядають так. Нехай так само, у нас вже є деяке наближене рішення xn задачі (2.10). Замінимо в ній функцію f її наближенням другого порядку:
і як наступне наближення візьмемо рішення задачі:
(2.15)
Та на початку для подальшого використання виведених формул, необхідно довести деякі твердження - якщо f ??(xn) > 0, то рішення задачі (2.15) задається формулою (2.13).
Рисунок 2.1 - Геометрична інтерпретація формул (2.12) і (2.13) відповідно
Метод Ньютона відноситься до методів другого порядку, оскільки для обчислення кожної ітерації потрібне знання другої похідної функції f. По тих же міркуваннях градієнтний метод відносять до методів першого порядку. Підкреслимо, що тут йдеться не про порядок збіжності методу, а про порядок використовуються методом похідних функції, що мінімізується.
- Метод Льовенберга Маркардта
Цей метод заснований на наступній ідеї. Щоб уникнути розходження приближень метода Ньютона, викликаних невдалим вибором початкового наближення (див. рис. 2), можна спробувати заборонити наступній ітерації бути дуже далеко від попередньої. Для цього наступну іте