Оптимизация и управление технологическим процессом
Методическое пособие - Разное
Другие методички по предмету Разное
ном пространстве представляют в относительных величинах, максимальные (по модулю) значения, которые могут быть 1.
Число 1 обосновывается следующим образом. Так как методы планирования экспериментов первоначально разрабатывались для многокомпонентных смесей, то на значения переменных вводилось ограничение следующего вида:
где xi - относительное содержание i-го компонента смеси;
q - количество включенных в задачу компонентов.
Таким образом, численное значение каждого компонента может принимать значения в пределах от 0 до 1, 1 - будет соответствовать такому составу, в котором присутствует только этот компонент. Пример: содержание добавки в опыте намечено варьировать в пределах от 0,5 до 1,5% от массы цемента. Для перевода этих значений в относительные величины найдем интервал варьирования . Следовательно, 1% добавки соответствует значению 0 в относительных переменных; 0,5% соответствует - 1; 1,5% соответствует +1.
Вернемся к понятию гиперкуба.
В соответствии с вышеизложенным становится ясным, что если каждая из k-переменных варьируется на двух уровнях, а именно: - 1 и +1, то объем исследуемого пространства ограничен гиперкубом, координаты вершин которого задаются перестановкой чисел (1; 1; …; 1); радиус обследуемой сферы при этом равен .
Работы ученых-последователей Фишера были направлены на то, чтобы довести первоначальные идеи до практического применения, на обоснование методов нахождения оптимума. В частности, получили применение дробные реплики от факторного пространства, которые позволили значительно (в 2-? раза) сократить число опытов.
Получили распространение так называемые насыщенные планы, в которых путем введения дополнительных экспериментальных точек обеспечивается поиск оптимума.
Следующий этап планирования эксперимента связан с опубликованной в 1951 году работой Бокса и Уилсона, в которой рассмотрена методология последовательного экспериментального поиска оптимальных условий. В соответствии с этой методологией процесс поиска оптимума разбивается на отдельные этапы, на каждом из которых принимается решение, основанное на результатах, полученных на предыдущих этапах. При этом исследователь вначале ставит необходимую серию опытов (дробный факторный эксперимент) для локального описания малого участка поверхности отклика. Далее он двинется в направлении градиента линейного приближения, т.е. экспериментатор смотрит: приблизила ли новая серия опытов к оптимуму или не приблизила (идет получаемый результат на повышение относительно предыдущего или на понижение). Если движение не приводит к близлежащей к экстремуму области, то реализуют новую серию опытов и находят новое направление движения. Такой шаговый процесс продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в "почти стационарную" область (вершина горба или впадина на поверхности отклика). В окрестностях последнего шага ставится большая серия опытов с тем, чтобы окончательно установить оптимум. При этом поверхность отклика описывается полиномом второй или более высокой степени, производится исследование полинома на экстремум.
Дальнейшее развитие методов планирования экспериментов привело к ряду новых постановок задач: планирование отсеивающих экспериментов в задачах с большим числом независимых переменных; планирование экспериментов, направленных на изучение механизма явлений и др.
С 1959 года развивается концепция совместных эффективных оценок Кифера, опирающиеся на центральные идеи математической статистики, т.е. эффективность экспериментального поиска здесь уже обеспечивается не только оптимальным расположением точек в пространстве независимых переменных (предложены Д-оптимальные планы), но и оптимальным способом обработки результатов наблюдений.
Именно на оптимальных способах обработки результатов эксперимента построены все современные методы планирования экспериментов.
В дальнейшем остановимся конкретно на некоторых из них.
3.3 Основные термины и понятия математического планирования эксперимента
Факторами называют переменные величины, определяющие функционирование объекта.
Факторное пространство - многомерное пространство факторов, в котором находится искомая точка, соответствующая заданному набору уровней факторов.
Функция отклика: если между выходной переменной или откликом системы у и факторами (х1, х2, …xn) существует функциональная зависимость.
y= ? (х1, х2, …xn),
то функцию ? называют функцией отклика, а геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют поверхностью отклика.
Пример двухфакторного пространства G
С учетом представленного становиться очевидно, что эксперимент необходимо поставить так, чтобы при минимальном количестве опытов, варьируя значениями независимых переменных по специальным правилам, построить математическую модель системы и найти оптимальные значения свойств системы, то есть определить параметр оптимизации.
Вид математической модели может быть различным и его выбирают, исходя из конкретных требований постановки экспериментальных исследований. Но в любом случае модель должна быть наиболее простой и адекватной, то есть способной предсказывать значение выходной переменной (или результат эксперимента) с достаточной точностью.
Существуют полиномиальные, неполиномиальные модели, модели дисперсионного анализа и др.
Для эк?/p>