Описание реализации базовой модели электрической цепи
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?торым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на метауровне при выборе технического решения.
Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.
Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).
При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.
Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.
Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.
Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным. (Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. - Мн.: 1997).
1.2 Численные методы в математическом моделировании
С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.
Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f (x) =0 строится график функции y=f (x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.
При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.
Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.
Дифференциальные уравнения, которые можно интегрировать известными методами, встречаются редко. Поэтому особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы бывают аналитическими, когда решения получают в виде аналитического выражения, и числовыми, если решения получают в виде таблицы численные методы.
Пусть требуется найти численное решение дифференциального уравнения:
(1)
удовлетворяющее начальному условию y (x0) =y0.
Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2, … yn решения уравнения y (x) в точках x1, x2, … xn. Точки x1, x2, … xn - узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h=xn+1-xn - шаг сетки (h>0).
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений одним из известных методов, а именно методом Рунге-Кутта.
Методом Рунге-Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге-Кутта. Предположим, что в точке x известно y (x).
Обозначим
где y (x+h) надо вычислить. Представим разность в виде сумм поправок" kj с коэффициентом Pj:
где
(2)
Коэффициенты Pj, получаются при сравнении разложения y и Ki по степеням h.
В случае
1=hf (x,y); K2=hf (x+h/2, y+K1/2); (3)3=hf (x+h/2, y+K2/2);4=hf (x+h, y+K3);
(4)
При x=x0 c помощью формул (2) - (4) находим
Аналогично получаем следующие приближения:
(i=1,2…) (5)
где yi=1/6 (K1 (i) +2K2 (i) +2K3 (i) +K4 (i)) (6)1 (i) =hf (xi,yi);2 (i) =hf (xi+h/2,yi+K1 (i) /2); (7)3 (i) =hf (xi+h/2,yi+K2 (i) /2);4 (i) =hf (xi+h,yi+K3 (i));
Для уравнения f (x,y) верна следующая оценка погрешности метода Рунге-Кутта:
|y1-y (x1) |< (8)
где M и N-постоянные, такие, что в области |x-x0|<a, |y-y0|<b выполняются неравенства.
|f (x,y) |<MN/Mk-1 (i+K<=3) (9)
|x-x0|N<1, aM<=b, h<=a
Аналогично метод Рунге-Кутта можно использовать при решении систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть дана система двух уравнений:
|=f (x,y,z); z|=q (x,y,z); (10)
с начальными условиями:
(x0) =y0, z (x0) =z0
Определяем параллельно числа по формулам:
=1/6 (K1+2K2+2K3+K4) (11)
=1/6 (l1+2l2+2l3+l4)
где
1=hf (xn,yn,zn);
K2=hf (xn+h/2,yn+K1/2,zn+l1/2);
K3=hf (xn+h/2,yn+K2/2,zn+l2/2); (12)4=hf (xn+h,yn+K3,zn+l3);1=hq (xn,yn,zn);