Обзор экономико-математических методов. Применение стохастического программирования для решения экономических задач
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
По условию необходимо максимизировать общее количество добытой электроэнергии, поэтому, объединяя (1) и (2), получаем основное уравнение для (N + 1)- этапного процесса:
(3) p1 [r1x + ?N ((1 - r1) x, y)]
?N+1 (x, y) = max [?А (x, y), ?В (x, y)] = max
p2 [r2y + ?N (x, (1 - r2) y)]
Используя функциональные уравнения (1) и (3), определим оптимальное поведение в трехэтапном процессе, если x = 500, y = 300, p1 = 0,6, r1 = 0,5, p2 = 0,7, r2 = 0,7.
Рассмотрим одноэтапный процесс [при этом используем уравнение (1)]. На 1-этапе работу можно начать либо на месторождении А, либо на месторождении В. В случае выбора месторождения А добыча электроэнергии составит в среднем ?1 (x, y) = p1r1x = 0,6*0,5*500 = 150 (ед.)
Если в течение 1-ого этапа машина не вышла из строя, то в начале 2-ого этапа необходимо сделать выбор: продолжить работу на месторождении А или начать работу на месторождении В на месторождении А добыто r1x ед. электроэнергии и её остаток составляет x- r1x (1- r1)x ед.; на месторождении В энергия осталась прежней.
Решая функциональное уравнение, получаем
p1r1 (1- r1)x 0,6*0,5*0,5*500
?1 [(1 - r1) x, y)] = max = max =
p2 r2y 0,7*0,7*300
75
= max = 147 (ед.)
147
Следовательно, на 2-м этапе машина должна работать на месторождении В.
В начале 3-его этапа следует сделать выбор: продолжать работу на месторождении В или на месторождении А на месторождении В добыто r2y ед. электроэнергии, её остаток составляет y- r2y = (1- r2)y ед. Имеем
p1r1 (1- r1)x 0,6*0,5*0,5*500
?1 [(1 - r1) x, (1- r2)y] = max = max =
p2 r2(1- r2)y 0,7*0,7*0,3*300
75
= max = 75 (ед.)
44,1
Следовательно, на 3-м этапе машина должна работать на месторождении А.
Таким образом, если на 1-м этапе работа начата на месторождении А, то оптимальное поведение состоит в том, что на 2-м этапе надо начать работу на месторождении В, а на третьем этапе - продолжать работу на месторождении А.
Пусть работа начата на месторождении В; тогда на 1-м этапе добыча электроэнергии составляет в среднем
?1 (x, y) = p2r2x = 0,7*0,7*300 = 147 (ед.)
В начале 2-ого этапа производим выбор:
p1r1x 150
?1 [ x, (1- r2)y] = max = max = 150 (ед.)
p2 r2(1- r2)y 44,1
т.е. работу следует начинать на месторождении А.
В начале 3-его этапа также производим выбор:
75
?1 [(1 - r1) x, (1- r2)y] = max = 75 (ед.)
44,1
т.е следует продолжать работу на месторождении А. Таким образом, если на 1-м этапе работа начата на месторождении В, то оптимальное поведение состоит в том, что на 2-м и 3-м этапах добыча ведется на месторождении А.
Рассмотрим двухэтапный и трехэтапный процессы. Полагая последовательно N = 1,2, из уравнения (3) определяем вид функций, необходимых для решения задачи.
При N = 1
(4) p1 [r1x + ?1 ((1 - r1) x, y)]
?2 (x, y) = max
p2 [r2y + ?1 (x, (1 - r2) y)]
При N = 2
(5) p1 [r1x + ?2 ((1 - r1) x, y)]
?3 (x, y) = max
p2 [r2y + ?2 (x, (1 - r2) y)]
(6) p1 [r1(1 - r1) x + ?1 ((1 - r1)2 x, y)]
?2 ((1 - r1) x, y) = max
p2 [r2y + ?1 ((1 - r1) x, (1 - r2)y)]
(7) p1 [r1x + ?1 ((1 - r1) x, (1 - r2)y)]
?2 (x, (1 - r2) y) = max
p2 [r2 + (1 - r2) y + ?1 (x, (1 - r2)2 y)]
Таким образом, кроме значений ?1 ((1 - r1) x, y), ?1 (x, (1 - r2) y) и ?1 ((1 - r1) x, (1 - r2)y), необходимо вычислить количество добытой электроэнергии в одноэтапном процессе для следующих случаев:
p1r1(1 - r1)2 x 0,6*0,5*0,25*500
а) ?1 (x, (1 - r2)2 y) = max = max =
p2 r2y 0,7*0,7*300
37,5
= max = 147 (ед.)
147
если на 1-м и 2-м этапах машина работала на месторождении А, а на 3-м на месторождении В;
p1r1x 0,6*0,5*500
б) ?1 (x, (1 - r2)2 y) = max = max =
p2 r2 (1 - r2)2 y) 0,7*0,7*0,09*300
150
= max = 150 (ед.)
13.23
если на 1-м и 2-м этапах машина работала на месторождении В, а на 3-м - на месторождении А подставляя найденные значения функций в уравнения (4) - (7), окончательно получаем:
для двухэтапного процесса:
0,6*(0,5*500+147) 208,2
?2 (x, y) = max = max = 252 (ед.)
0,7*(0,7*300+150) 252
0,6*(0,5*0,5*500+147) 163,2
?2 ((1 - r1) x, y) = max = max =252
0,7*(0,7*300+150) 252
0,6*(0,5*500+75) 195
?2 (x, (1 - r2) y) = max = max = 195
0,7*(0,7*0,3*300+150) 149,1
т.е работу на 1-м этапе надо начинать на месторождении В.
Таким образом, чтобы в трехэтапном процессе добыть максимального количества электроэнергии, необходимо: на 1-м этапе вести работу на месторождении В, а на 2-м и 3-м этапах - на месторождении А.
Выводы по результатам работы
В процессе работы были рассмотрены пять систем программирования для решения различных задач. Они использовались для нахождения оптимальных вариантов решения этих задач.
Динамическое программирование - один из разделов оптимального программирования, в котором пр