Обзор экономико-математических методов. Применение стохастического программирования для решения экономических задач

Дипломная работа - Менеджмент

Другие дипломы по предмету Менеджмент

По условию необходимо максимизировать общее количество добытой электроэнергии, поэтому, объединяя (1) и (2), получаем основное уравнение для (N + 1)- этапного процесса:

 

(3) p1 [r1x + ?N ((1 - r1) x, y)]

?N+1 (x, y) = max [?А (x, y), ?В (x, y)] = max

p2 [r2y + ?N (x, (1 - r2) y)]

 

Используя функциональные уравнения (1) и (3), определим оптимальное поведение в трехэтапном процессе, если x = 500, y = 300, p1 = 0,6, r1 = 0,5, p2 = 0,7, r2 = 0,7.

Рассмотрим одноэтапный процесс [при этом используем уравнение (1)]. На 1-этапе работу можно начать либо на месторождении А, либо на месторождении В. В случае выбора месторождения А добыча электроэнергии составит в среднем ?1 (x, y) = p1r1x = 0,6*0,5*500 = 150 (ед.)

Если в течение 1-ого этапа машина не вышла из строя, то в начале 2-ого этапа необходимо сделать выбор: продолжить работу на месторождении А или начать работу на месторождении В на месторождении А добыто r1x ед. электроэнергии и её остаток составляет x- r1x (1- r1)x ед.; на месторождении В энергия осталась прежней.

Решая функциональное уравнение, получаем

 

p1r1 (1- r1)x 0,6*0,5*0,5*500

?1 [(1 - r1) x, y)] = max = max =

p2 r2y 0,7*0,7*300

75

= max = 147 (ед.)

147

 

Следовательно, на 2-м этапе машина должна работать на месторождении В.

В начале 3-его этапа следует сделать выбор: продолжать работу на месторождении В или на месторождении А на месторождении В добыто r2y ед. электроэнергии, её остаток составляет y- r2y = (1- r2)y ед. Имеем

 

p1r1 (1- r1)x 0,6*0,5*0,5*500

?1 [(1 - r1) x, (1- r2)y] = max = max =

p2 r2(1- r2)y 0,7*0,7*0,3*300

75

= max = 75 (ед.)

44,1

 

Следовательно, на 3-м этапе машина должна работать на месторождении А.

Таким образом, если на 1-м этапе работа начата на месторождении А, то оптимальное поведение состоит в том, что на 2-м этапе надо начать работу на месторождении В, а на третьем этапе - продолжать работу на месторождении А.

Пусть работа начата на месторождении В; тогда на 1-м этапе добыча электроэнергии составляет в среднем

 

?1 (x, y) = p2r2x = 0,7*0,7*300 = 147 (ед.)

В начале 2-ого этапа производим выбор:

 

p1r1x 150

?1 [ x, (1- r2)y] = max = max = 150 (ед.)

p2 r2(1- r2)y 44,1

 

т.е. работу следует начинать на месторождении А.

В начале 3-его этапа также производим выбор:

 

75

?1 [(1 - r1) x, (1- r2)y] = max = 75 (ед.)

44,1

 

т.е следует продолжать работу на месторождении А. Таким образом, если на 1-м этапе работа начата на месторождении В, то оптимальное поведение состоит в том, что на 2-м и 3-м этапах добыча ведется на месторождении А.

Рассмотрим двухэтапный и трехэтапный процессы. Полагая последовательно N = 1,2, из уравнения (3) определяем вид функций, необходимых для решения задачи.

При N = 1

 

(4) p1 [r1x + ?1 ((1 - r1) x, y)]

?2 (x, y) = max

p2 [r2y + ?1 (x, (1 - r2) y)]

 

При N = 2

 

(5) p1 [r1x + ?2 ((1 - r1) x, y)]

?3 (x, y) = max

p2 [r2y + ?2 (x, (1 - r2) y)]

 

(6) p1 [r1(1 - r1) x + ?1 ((1 - r1)2 x, y)]

?2 ((1 - r1) x, y) = max

p2 [r2y + ?1 ((1 - r1) x, (1 - r2)y)]

 

(7) p1 [r1x + ?1 ((1 - r1) x, (1 - r2)y)]

?2 (x, (1 - r2) y) = max

p2 [r2 + (1 - r2) y + ?1 (x, (1 - r2)2 y)]

 

Таким образом, кроме значений ?1 ((1 - r1) x, y), ?1 (x, (1 - r2) y) и ?1 ((1 - r1) x, (1 - r2)y), необходимо вычислить количество добытой электроэнергии в одноэтапном процессе для следующих случаев:

 

p1r1(1 - r1)2 x 0,6*0,5*0,25*500

а) ?1 (x, (1 - r2)2 y) = max = max =

p2 r2y 0,7*0,7*300

37,5

= max = 147 (ед.)

147

 

если на 1-м и 2-м этапах машина работала на месторождении А, а на 3-м на месторождении В;

 

p1r1x 0,6*0,5*500

б) ?1 (x, (1 - r2)2 y) = max = max =

p2 r2 (1 - r2)2 y) 0,7*0,7*0,09*300

150

= max = 150 (ед.)

13.23

 

если на 1-м и 2-м этапах машина работала на месторождении В, а на 3-м - на месторождении А подставляя найденные значения функций в уравнения (4) - (7), окончательно получаем:

для двухэтапного процесса:

 

0,6*(0,5*500+147) 208,2

?2 (x, y) = max = max = 252 (ед.)

0,7*(0,7*300+150) 252

 

0,6*(0,5*0,5*500+147) 163,2

?2 ((1 - r1) x, y) = max = max =252

0,7*(0,7*300+150) 252

 

0,6*(0,5*500+75) 195

?2 (x, (1 - r2) y) = max = max = 195

0,7*(0,7*0,3*300+150) 149,1

 

т.е работу на 1-м этапе надо начинать на месторождении В.

Таким образом, чтобы в трехэтапном процессе добыть максимального количества электроэнергии, необходимо: на 1-м этапе вести работу на месторождении В, а на 2-м и 3-м этапах - на месторождении А.

 

Выводы по результатам работы

 

В процессе работы были рассмотрены пять систем программирования для решения различных задач. Они использовались для нахождения оптимальных вариантов решения этих задач.

Динамическое программирование - один из разделов оптимального программирования, в котором пр