Обзор экономико-математических методов. Применение стохастического программирования для решения экономических задач
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
·адачи при любых реализациях случайных коэффициентов, и только такой план считать допустимым. В столь узкие рамки заключают решение в том случае, если малейшее нарушение хотя бы одного ограничений ведет к катастрофическим последствиям. Стохастическая задача с указанным определением допустимого плана называется жесткой. Она не позволяет корректировать найденное оптимальное решение, которое в силу этого всегда детерминировано.
Можно считать допустимым и такой план, который не удовлетворяет некоторым условиям системы ограничений. При этом нарушение условий допускается при таких наборах случайных параметров задачи, которые встречаются, не очень часто; величина нарушения (невязка) должна быть небольшой. Чтобы отыскать план, обеспечивающий минимум невязок они вводятся с некоторыми коэффициентами в целевую функцию: при решении на максимум - с минусом, на минимум - с плюсом. Произведение невязки на выбранный коэффициент называют штрафом. Следовательно, в процессе решения не только оптимизируется основной критерий, но одновременно минимизируется сумма штрафов. Такая постановка стохастической задачи называется нежесткой.
При формулировании некоторых задач система ограничений записывается в следующем виде:
Здесь Р, pt - символы вероятности. Под допустимым планом в данной задаче подразумевается такой набор значений неизвестных, который обеспечивает выполнение i-гo условия с вероятностью Р, не меньшей заданной вероятности pt. Для условий, выполнение которых очень важно, величина pt выбирается близкой к единице; для менее существенных условий она берется ближе к нулю.
Задача стохастического программирования является задачей с вероятностными ограничениям. Она тоже является нежесткой. Выбор вероятности pt равносилен назначению размера штрафа за невыполнение данного условия.
Нежесткие задачи лучше приспособлены к учету случайных факторов; их применение в сельскохозяйственном планировании представляется более реальным.
Существует также несколько различных формулировок целевой функции и соответственное число определений оптимального решения. Если планирование преследует цель получения максимума дохода или минимума издержек, то в стохастической задаче отыскивается максимум (минимум) математического ожидания соответствующей целевой функции.
Многие мероприятия, проводимые в сельском хозяйстве (в частности различные мелиорации), направлены на снижение колебаний производства продукции в благоприятные и неблагоприятные годы. При планировании таких мероприятий в стохастической задаче минимизируется дисперсия функции, выражающей объем производства.
Можно поставить задачу, в которой будет отыскиваться максимум дохода с одновременным снижением его возможных колебаний. Тогда целевая функция представит собой разность математического ожидания чистого дохода и его дисперсии, умноженной на некоторый коэффициент. Возможны и другие формулировки целевой функции.
Всякая стохастическая задача рядом преобразований сводится к детерминированной. Последняя обычно нелинейная. Решая преобразованную задачу, находят или непосредственно компоненты плана, если он детерминирован, или вспомогательные величины для вычисления компонент если план случаен.
В стохастическом программировании значительные трудности возникают не только при решении задач, но и при их формулировании и выборе нужных определений и критериев. Из всех разделов математического программирования данный раздел наименее разработан.
2. Практическое применение стохастического программирования
Задача добычи электроэнергии.
Пусть имеются два месторождения A и B электроэнергии, энергия которых соответственно равны x и y ед. Для добычи энергии используется одна машина, которая либо с определенной вероятностью добывает часть энергии, либо выходит из строя и в дальнейшем не используется. Если машина работает на месторождении A, то с вероятностью p1 она добывает часть r1 имеющейся энергии и с вероятностью 1 - p1 выходит из строя. Если машина работает на месторождении B, то с вероятностью p2 она добывает часть r2 имеющейся энергии и с вероятностью 1 - p2 выходит из строя.
В какой последовательности следует использовать машину на месторождениях, чтобы общее количество электроэнергии, добытой до выхода машины из строя, было максимальным?
Решение.
Разобьем период работы машины на этапы. Процесс использования машины можно начать либо с месторождения A, либо с месторождения B. Если машина не вышла из строя на предыдущем этапе, то необходимо решить, на каком из месторождений ее следует использовать на последующем этапе.
Исходя из критерия задачи, определим функцию ?N (x,y) как ожидаемое количество электроэнергии, добытой до выхода машины из строя.
В одноэтапном процессе в случае первоначального выбора для разработки месторождения A среднее количество добытой энергии составляет p1r1x и p2r2y при выборе месторождения B, следовательно, ?1 (x, y) = max [p1r1x, p2r2y]
Рассмотрим (N + 1)-этапный процесс. Каким бы ни был первоначальный выбор, его продолжение на оставшихся N этапах должно быть оптимально. Ожидаемое количество добытой электроэнергии в (N + 1)-этапном процессе при первоначальном выборе месторождения А
(1) ?А (x, y) = p1 [r1x + ?N ((1 - r1) x, y)],
а при выборе месторождения В
(2) ?В (x, y) = p2 [r2y + ?N (x, (1 - r2) y)]